第九章
曲线积分与曲面积分
作业13
对弧长的曲线积分
1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．
解：可以分解为及
2．，其中为星形线在第一象限内的弧．
解：为
原式
3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．
解：
4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．
解：为
5．计算，其中L：．
解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．
解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分
从而
作业14
对坐标的曲线积分
1．计算下列第二型曲线积分：
(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；
解：为
原式
(2)，其中是从点到点的一段直线；
解：是
原式
(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；
解：是
原式
(4)
计算曲线积分,其中为由点A
(-1,1)沿抛物线到点O
(0,0),再沿x轴到点B
(2,0)的弧段．
解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；
原式
2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．
解：
3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中
为：
(1)
在平面内沿直线从点到点；
(2)
沿抛物线从点到点．
解：（1）
（2）
作业15
格林公式及其应用
1．填空题
(1)
设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12
．
(2)
设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．
（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．
其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．
2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．
解：L加上构成区域边界的负向
3．计算,其中为椭圆
正向一周．
解：原式
4．计算曲线积分
其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．
解：令
则，原式
5．计算,其中为
（1）圆周（按反时针方向）；
解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式
（2）闭曲线（按反时针方向）．
解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式
6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式
（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式
（3）．
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式
7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．
解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式
8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则
从而，（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式
可取
（3）
解：可取折线作曲线积分
9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．
证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为
由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．
作业16
对面积的曲面积分
1．计算下列对面积的曲面积分：
(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；
解：为，原式
（2）,其中为球面．
解：为两块，原式
2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．
解：为两块，原式
（或由，而积分微元反号推出）
3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．
解：为两块，原式
4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．
解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为
5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．
解：
作业17
对坐标的曲面积分
1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．
解：
原式=
2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．
解：
原式=
3．计算
其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．
解：分片积分。
原式=（由轮换对称性）
4．把对坐标的曲面积分
化为对面积的曲面积分：
（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；
（2）是抛物面在面上方的部分的上侧．
解：（1）
原式=
（2）
原式=
5．计算曲面积分,其中为旋转抛物面下侧介于平面z=0及z=2之间的部分．
解：
原式=（两类曲面积分的互化）
（第二类曲面积分投影法计算）
（用了重积分的对称性）
．已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面与平面所围成锥体表面向外流出的流量．
解：
同样。
作业18
高斯公式和斯托克斯公式
1．利用高斯公式计算曲面积分：
(1)，其中是平面，及所围成的立体的表面外侧；
解：原式
（2），其中为柱面及平面，所围成的立体的表面外侧；
解：原式
(3)
计算,其中，是由曲面绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于．
解：加上右侧，构成封闭区域的外侧。
原式
2．设函数有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分，式中是下半球面的上侧．
解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。
原式
3．利用斯托克斯公式计算曲面积分：
（1）
式中是圆周，从轴正向看去,取逆时针方向．
解：原式
（2），其中为圆周，从轴的正向看去，取逆时针方向．．
解：原式
作业19
场论初步
1．求下列向量场通过曲面指定一侧的通量：
（1），为由平面与，所围成立体的表面，流向外侧；
解：
（2），为以点(3,-1,2)为球心，半径的球面，流向外侧．
解：
2．求向量场沿闭曲线的环流量(从z轴正向看
依逆时针的方向),其中为圆周．
解：
3．求向量场在点M
(1,-1,2)处的散度和旋度．
解：
4．证明向量场为平面调和场，并求势函数．
解：由于
因此是无源场且为无旋场从而为调和场
由为势函数
5．验证下列向量场为保守场，并求其势函数：
（1）；
解：由于
因此为无旋场从而为有势场
由
为势函数
（2）
解：由于
因此为无旋场从而为有势场
由
为势函数
6．设具有二阶连续偏导数，计算
解：由于
从而
由于具有二阶连续偏导数，从而
第九章《曲线积分与曲面积分》测试题
1．填空题
（1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是，其中为有向曲线弧在点处的切向量的方向角；
（2）设为取正向的圆周则曲线积分；
（3）设曲线积分.与积分路径无关，其中
一阶连续可导，且，则；
（4）=_0_，其中为单位球面的外侧；
（5）设，则
0，．
2．计算下列曲线积分：
（1）计算，其中为球面与平面的相交部分．
解：由轮换对称性
（2），其中是，．
解：用球坐标表达是
原式
（3）其中为椭圆由点经点到点的弧段；
解：参数表达是
原式
（4），其中是与的交线，其方向与轴正向成右手系；
解：参数表达是
原式
（5），其中为上半圆周，沿逆时针方向；
解：加上形成半圆区域的正向边界
原式
（6），其中是以点为定点，，的正方形的整个边界（取正向）．
解：正向
原式
3．计算下列曲面积分：
（1）,为锥面介于之间的部分．
解：原式
（2）计算．
解：为两片
令
原式
（3）其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。是上半球面的上侧；
解：为
原式
（4），其中为锥面的外侧；
解：加上上侧，构成封闭区域的外侧。
原式
（5），其中是圆周，若正对着轴正向看去，取逆时针方向；
解：由STOCHS公式，原式
（6），其中是曲线绕轴旋转所得旋转曲面的上侧．
解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。
原式
4．设曲线积分与路径无关，其中，且
求．
解：曲线积分与路径无关，连续可导
从而，又
故
5．设具有连续的导数，且使表达式是某函数的全微分，求，并求一个．
解：由已知，是某函数的全微分，从而，又
故
6．证明在右半平面内，力所做的功与所走的路径无关，并计算由点到所做的功．
解：
8．证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．
解：由于且偏导数在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是连续的，从而在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，函数如
9．求向量通过的边界曲面流向外侧的通量．
解：
11．求向量场在点处的散度．
解：
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