第十章
微分方程
作业20
微分方程基本概念
1．写出下列条件所确定的微分方程：
（1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分；
解：法线方程为，法线与轴的交点
由已知
（2）曲线上任意点处的切线与线段垂直；
解：切线的斜率为，线段的斜率为
由已知
（3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的三角形的面积为常数．
解：切线方程为，点与原点的连线为
切线与轴即直线的交点，由已知
2.．求曲线簇
所满足的微分方程．
解：由已知，两边对自变量求导
两边再对自变量求导
3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．
解：由已知，作业21
可分离变量的微分方程
1．解微分方程．
解：微分方程即
分离变量
两边积分
从而
2.求解初值问题：
．
解：微分方程即
分离变量
两边积分
从而
由，3．当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量+，且，求．
解：由已知，从而
分离变量
两边积分
由，4．解微分方程．
解：微分方程即
分离变量
两边积分
5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程．
解：由已知
当
分离变量
两边积分
由，6．设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．
解：设曲线为
由已知
微分方程即
从而
由，作业22
齐次方程
1．解微分方程．
解：令则
微分方程，即，分离变量
两边积分
2．求解初值问题．
解：令则
微分方程，即，分离变量，两边积分
由，3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：
（1）；
解：令
（2）；
解：令，则
再令，再令
从而
（3）．
解：令，则，分离变量，两边积分
4．求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．
解：可设在轴上且过原点的任何圆为，则
由已知曲线应满足
令则，作业23
一阶线性微分方程
1．解微分方程
．
解：对照标准的一阶线性微分方程
2．解微分方程
．
解：微分方程即
3．解微分方程
．
解：观察发现，微分方程等价为
4．求解初值问题，．
解：对照标准的一阶线性微分方程，由，5．设曲线积分
在右半平面（内与路径无关，其中可导，且，求．
解：由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知，由，6．解微分方程．
解：微分方程化为
令为一阶线性微分方程
作业24
全微分方程
1．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：
（1）；
解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而
（2）；
解：方程即
因为且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个函数的全微分，即
从而微分方程的通解为
（3）
．
解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数的全微分，可用曲线积分法求一个来。
从而微分方程的通解为
作业25
可降阶的高阶微分方程
1．求下列微分方程的通解
（1）；
解：
（2）；
解：令
分离变量，两边积分，分离变量，两边积分
（3）；
解：令
分离变量，两边积分，分离变量，两边积分
(4).解：令
分离变量，两边积分，分离变量，两边积分，2．求解初值问题．
解：令
分离变量，两边积分，由，分离变量，两边积分，由，从而
3．设第一象限内的曲线对应于一段的长在数值上等于曲边梯形：，的面积，其中是任意给定的，求．
解：由已知
由，作业26
线性微分方程解的结构
1．已知是齐次线性方程的一个解，求此方程的通解．
解：方程即
由刘维尔公式
由解的结构定理可知，方程的通解
2．若,，是二阶非齐次线性微分方程（1）的线性无关的解，试用，表达方程（1）的通解．
解：由解的结构定理可知，均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，而且现行无关。
从而：由解的结构定理方程（1）的通解为
3．已知都是二阶线性非齐次方程的解，求此方程的通解．
解：易知线性无关，从而为二阶线性齐次方程的线性无关的特解，由解的结构定理，二阶线性非齐次方程的通解为
作业27
二阶常系数齐次线性微分方程
1．求下列微分方程的通解
（1）；
解：特征方程为
从而通解为
（2）；
解：特征方程为
从而通解为
（3）；
解：特征方程为
从而通解为
（4）．
解：特征方程为
从而通解为
2．求方程满足所给初始条件，的特解．
解：特征方程为
从而通解为，由得
由，得
因此
3．设可微函数满足方程，求．
解：由已知，特征方程为
从而通解为，由得
由，得
因此
作业
二阶线性非齐次微分方程
1．求下列各方程的通解
（1）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式比较得
对比特征根，推得，从而
代入方程得
从而通解为
（2）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式比较得
对比特征根，推得，从而
代入方程得
从而通解为
（3）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式比较得
对比特征根，推得，从而
代入方程得,（4）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式
比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为
代入方程得
（5）．
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项利用解的结构定理知特解形式可设为
代入方程得
2．求方程满足初始条件，的特解．
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式比较得
对比特征根，推得，从而
代入方程得
从而通解为，要的特解为
3．已知二阶线性非齐次微分方程的三个特解为，．试求方程满足初始条件，的特解．
解：由这个三个解的线性无关性，以及解的结构理论，得通解为，由得
及得
所要特解为
4．设，其中连续，求．
解：，对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式
比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为
代入方程得，由，由
因此
第十章《微分方程》测试题
1．填空题
（1）函数是常系数线性微分方程的解的充分必要条件是；
（2）曲线簇（为任意常数）满足的一阶微分方程是；
（3）已知二阶线性齐次方程的两个解，则该方程为；
（4）方程的通解为；
（5）设，都是方程的解，则方程的通解为．
2．求下列各方程的通解
（1）；
解：令，则
原方程化为，分离变量，两边积分得
从而
（2）；
解：原方程化为，从而
（3）；
解：令，则原方程化为，分离变量，两边积分得
从而
（4）；
解：令，则原方程化为，从而
（5）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式
比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为
代入方程得
（6）；
解：方程可化为，从而
因此
（7）；
解：对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式比较得
对比特征根，推得，从而
代入方程得
从而通解为
(8)
．
解：令，则
再令，再令
从而
即
3.设具有二阶连续导数，且，并且
为一全微分方程，求．
解：由已知
对应齐次方程特征方程为
非齐次项，与标准式
比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为
从通解为，由,因此
4．已知方程有形如的解，试求出这个解．
解：因为
特征方程为
因而，这个解为
5．设函数在内具有连续导数，且满足，求．
解：由极坐标
从而，即
由，得
6．设函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出．
解：由已知
从而，因此，由于，故
7．设函数（）二阶可导，且，过曲线上任一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1．求此曲线的方程．
解:过曲线上任一点作该曲线的切线为
当，从而
由已知，令
从而，由于，因此
点击咨询