作业14
对坐标的曲线积分
1．计算下列第二型曲线积分：
(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；
解：为
原式
(2)，其中是从点到点的一段直线；
解：是
原式
(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；
解：是
原式
(4)
计算曲线积分,其中为由点A
(-1,1)沿抛物线到点O
(0,0),再沿x轴到点B
(2,0)的弧段．
解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；
原式
2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．
解：
3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中
为：
(1)
在平面内沿直线从点到点；
(2)
沿抛物线从点到点．
解：（1）
（2）
作业15
格林公式及其应用
1．填空题
(1)
设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12
．
(2)
设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．
（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．
其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．
2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．
解：L加上构成区域边界的负向
3．计算,其中为椭圆
正向一周．
解：原式
4．计算曲线积分
其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．
解：令
则，原式
5．计算,其中为
（1）圆周（按反时针方向）；
解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式
（2）闭曲线（按反时针方向）．
解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式
6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式
（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式
（3）．
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式
7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．
解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式
8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：
（1）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则
从而，（2）；
解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式
可取
（3）
解：可取折线作曲线积分
9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．
证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为
由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．
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