中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）

设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。

解：由定义，有：

（2）

试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：，有

形式上我们有：

因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。

由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。

（3）

设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，问过程是否为正态过程，为什么？

解：任取，则有：

由平稳增量和独立增量性，可知并且独立

因此是联合正态分布的，由

可知是正态过程。

（4）

设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：

故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5）

设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？

解：泊松过程的转移率矩阵为：

其相关函数为：，由于在，连续，故均方积分存在。

（6）

在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。

（7）

设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：

（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；

（b）求步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？

为什么？

解：（a）略

（b）

（c）此链不具遍历性

（8）

设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：

问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。

由于：

故是平稳过程。

（9）

设，其中与独立，都服从

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。

（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a）任取，则有：

由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量

服从正态（高斯）分布，所以过程是正态（高斯）过程。

（b）由：

由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。

（10）

设，是零初值、强度的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数；

（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。

解：（a）

（b）先求相关函数：

对任意的，在处连续，故均方连续，因此均方可积，存在。

将代入计算积分即可。

由，得：

（11）

设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。

（c）令，求。

解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。

（b）

（c）即求首达概率，注意画状态转移图。

（12）

考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；

（b）若与独立，求与的互相关函数。

解：（a），（b）

（13）

令谐波随机信号：

式中为固定的实数；是内均匀分布的随机变量，考察两种情况：

（a）幅值为一固定的正实数；

（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；

试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？

（a）如12题（b）略

（14）

设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和相关函数。

解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：

（15）

研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

（a），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；

（b），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为。

略

（16）

求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。

（a），其中是参数为1的Wienner过程。

（b）,其中是参数为的Wienner过程。

解：（a）

连续，故均方连续，均方可积。

（b）

均方连续，均方可积。

（17）

讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

解：略。

（18）

设有平稳随机过程，它的相关函数为，其中为常数，求（为常数）的自协方差函数和方差函数。

解：略。

（19）

设有实平稳随机过程，它的均值为零，相关函数为，若，求的自协方差函数和方差函数。

解：

（20）

设和是参数分别为和的时齐Poission过程，证明在的任一到达时间间隔内，恰有个事件发生的概率为：

证明：令为的任一到达时间间隔并且，即的分布密度为：

由此可知：

（21）

设随机振幅、随机相位正弦波过程，其中随机变量和相互独立，且有分布：

令：

试求过程的均值函数。

解：由定义，随机过程的均值函数为：

而

由于当时，随机变量的分布密度为：

因此有：

即：

（22）

设有一泊松过程，固定两时刻，且，试证明

证明：由于，有

其中

所以

（23）

设为零均值的标准布朗运动，和为两个待定的正常数（），问在什么情况下仍为标准的布朗运动？说明理由。

解：由为标准布朗运动可知为正态过程，由正态分布的性质可知为正态过程，令，则有

因此，要使仍为标准的布朗运动，必须，即：

（24）

设有无穷多只袋子，各装有红球只，黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令

（a）试求的分布；

（b）试证为马氏链，并求一步转移概率。

解：（a）的分布为：

（b）的一步转移概率为：

（25）

设有随机过程，与是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为和。证明过程均方可导，并求导过程的相关函数。

证明：计算得：

由于相关函数的导数为：

它是一连续函数，因此过程均方可导，导过程的相关函数由上式给出。

（26）

设是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数。

解：由标准维纳过程的定理：设为标准维纳过程，则对任意，的联合分布密度为：

其中：

可知：当时，的联合分布密度为：的分布密度为：

因此

（27）

设有微分方程，初值为常数，是标准维纳过程，求随机过程在时刻的一维概率密度。

解：方程的解：

由于为维纳过程，故为正态过程，因此有：

故的一维概率密度为：

（28）

设给定随机过程及实数，定义随机过程

试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二维分布函数来表示。

解：由均值函数的定义，有：

由自相关函数的定义，有：

（29）

设是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问是否仍为平稳过程，为什么？

不是平稳过程

（30）

设为平稳过程，其自相关函数是以为周期的函数，证明：是周期为的平稳过程。

证明：由于

由切比雪夫不等式有：

由相关函数的周期性，可知：对于，有：

因此

即是周期为的平稳过程。