2019-2020学年市一中高三第五次模拟考试
数学试题（文科）
（满分：150分
时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知为虚数单位，复数，则（）.A.B.C.D.2.已知，则（）.A.B.C.D.3.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（）.A.B.C.D.4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）.A.B.C.D.5.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（）.A.1
B.2
C.4
D.6
6.直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是（）.A.B.C.D.7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）.A.B.C.D.8.函数的大致图象是（）.A.B.C.D.9.设，满足约束条件则目标函数的最大值为（）.A.B.3
C.4
D.10.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（）.A.2
B.4
C.6
D.8
11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）.A.24里
B.12里
C.6里.D.3里
12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：①当时，；
②函数有2
个零点；
③的解集为；
④，都有.其中真命题的序号是（）.A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在区间上随机取一个数，则的值介于0与之间的概率为_____．
14.已知数列满足，，那么成立的的最大值为______
15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是______．
16.设，分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）
17.已知向量，，设．
（1）求函数的解析式及单调增区间；
（2）在中，，分别为角，的对边，且，，求的面积．
18.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为.（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率．
19.如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，.（1）求证：；
（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积．
20.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，.（1）求椭圆的方程；
（2）以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
21.已知函数.（1）当时，求证：若，则；
（2）当时，试讨论函数的零点个数.选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点．
（1）求的值；
（2）求点到、两点的距离之积．
23.（1）已知实数，满足，证明：.（2）已知，求证：.数学试题（文科）参考答案与解析
1.D
2.B
3.D
4.B
5.B
6.A
7.D
8.D
9.B
10.A
11.C记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列,，∴，∴.12..D由题意可知时，，可见命题①是错误的；时，此时有1个零点，当，此时有1个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有3个零点，即命题②不成立；当时，可求得解集为，当时，可求得解集为，所以命题③成立；当时，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则当时的值域为，所以有.13.14.5
15.1
16.设交轴于点，则，由，得，即，则，所以，又是的角平分线，则有，代入整理得，所以离心率为.17.解：（1），由，可得，所以函数的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴.由，得，∴，∴.18.解：（1）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和．
依题意得，解得.所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为0.05.（2）由（1）得这些产品质量指标值落在区间，内的频率依次为0.3，0.2，0.1.用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，则在区间内应抽取件，记为，.在区间内应抽取件，记为，.在区间内应抽取件，记为.设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件，则所有的基本事件有：，，，，，，，，共15种。事件M包含的基本事件有：，，，，，共10种．
所以这2件产品都在区间内的概率为.19.解：（1）连接，交于点，∵底面是正方形，∴且为的中点，又∵，∴平面，由于平面，故，又∵，故.（2）设的中点为，连接，则，∴四边形为平行四边形，∵平面，∴平面，∴，的中点为，∴，由平面可得，又∵，∴平面，∴，又∵，∴平面，故三棱锥的体积为．
20.解：（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．
（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点，联立方程组，消去，得，所以，则，所以直线的方程为，因为直线，分别与轴交于点，令，得，即点，同理可得点，所以.设的中点为，则点的坐标为．
则以为直径的圆的方程为，即.令，得，即或.故以为直径的圆经过两定点，.21.解：解：（1）当时，则，则
①，令，得，当时，∴，即，∴函数在上为增函数，即当时，∴函数在上为增函数，即当时，.（2）由（1）和①式知，当时，∴，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，∴，∴，即②，（I）当时，又，∴，∴由②式得，即，∴函数在上为增函数，又，∴当时，当时，∴函数在上有且仅有一个零点.（II）当时，ⅰ）当时，，∴，函数在时单调递减，∴，故时，函数在上无零点；
ⅱ）当时，由，得，函数在上单调递增，当时，∴由函数零点存在性定理知，使，故当时，当时，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又，∴对，又当时，∴，由，∴，再由函数零点存在性定理知，使得，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点．
22.解析：（1）曲线的普通方程为，则的普通方程为，则的参数方程为：（为参数）
代入得，.（2）.23.（1）证明：证法一∵，∴，∴，.∴，即，∴，∴，即，∴.证法二：要证，只需证
只需证
只需证，即.∵，∴，∴成立．
∴要证明的不等式成立．
（2）证明：要证，只需证，只需证，即证，只需证，即证，此式显然成立．
∴原不等式成立.
点击咨询