2021年中考复习数学几何训练:
全等三角形判定(动点专练)
1.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),若以B,O,C为顶点的三角形与△ABO全等,则点C的坐标不能为()
A.(0,﹣4)
B.(﹣2,0)
C.(2,4)
D.(﹣2,4)
2.△ABC中,AB=AC=12厘米,∠B=∠C,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为v厘米/秒,则当△BPD与△CQP全等时,v的值为
.
3.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为
秒时,△ABP和△DCE全等.
4.如图,AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动
分钟后△CAP与△PQB全等.
5.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=24,AC=12,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E经过
秒时,△DEB与△BCA全等.
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动;动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s,两点同时出发并开始计时,当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F,设运动时间为t秒,则当t=
秒时,△PEC与△QFC全等.
7.(多选)如图,AB=4cm,AC=BD=3cm,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设运动时间为t(s),则当△ACP与△BPQ全等时,点Q的运动速度为
cm/s.
A.;B.1;C.1.5;D.2.
8.如图,已知四边形ABCD中,AB=10厘米,BC=8厘米,CD=12厘米,∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为
时,能够使△BPE与△CQP全等.
9.如图,AB=4cm,AC=BD=3cm.∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设运动时间为t(s),则当点Q的运动速度为
cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
10.如图,∠C=90°,AC=20,BC=10,AX⊥AC,点P和点Q同时从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当AP=
时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC全等.
11.如图,D是△ABC的BC边上的一点,且CD=AB,∠BDA=∠BAD.AE是△ABD的中线,延长AE到F,使EF=AE,连接DF.求证:AE=AC.
12.如图(1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB垂足分别为A、B,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变,当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x的值.
13.如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
14.如图,已知△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,1秒钟时,△BPD与△CQP是否全等,请说明;
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD≌△CPQ?
(2)若点Q以②的运动速度从点C出发点,P以原来运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC的三边运动,求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
15.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点P从A点出发沿A→C→B路径运动到B点,点Q从B点出发沿B→C→A路径运动到A点.点P和点Q分别以2cm/秒和3cm/秒的速度同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F.设运动时间为t(秒).
(1)如果PC=2QC,那么t=
秒;
(2)当△PEC与△QFC全等时,求t的值.
16.如图,在四边形ABCD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,点E从点D出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度,沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒.
(1)试证明:AD∥BC;
(2)在移动过程中,小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次?并分别求出此时移动时间和G点的移动距离.
17.已知:如图,∠B=90°AB∥DF,AB=3cm,BD=8cm,点C是线段BD上一动点,点E是直线DF上一动点,且始终保持AC⊥CE.
(1)试说明:∠ACB=∠CED;
(2)当C为BD的中点时,△ABC与△EDC全等吗?若全等,请说明理由;若不全等,请改变BD的长(直接写出答案),使它们全等;
(3)若AC=CE,试求DE的长;
(4)在线段BD的延长线上,是否存在点C,使得AC=CE?若存在,请求出DE的长及△AEC的面积;若不存在,请说明理由.
18.如图所示,两根旗杆间相距12m,某人从B点沿BA走向A,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM=DM,已知旗杆AC的高为3m,该人的运动速度为1m/s,求这个人运动了多长时间?
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M为AC上一点且AM=BC,过A点作射线AN⊥CA,A为垂足,若一动点P从A出发,沿AN运动,P点运动的速度为2cm/秒.
(1)经过几秒△ABC与△PMA全等;
(2)在(1)的条件下,AB与PM有何位置关系,并加以说明.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是边AC,BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)若点P,Q分别从A,B两点同时出发,沿AC,BC向点C匀速运动,运动速度都为每秒1个单位,其中一点到达终点C后,另一点也随之停止运动,在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等?判断并说明理由;
(2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t为何值时,△APD和△QBE全等?
21.如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t秒:
(1)PC=
cm.(用t的代数式表示)
(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP?
(3)当点P从点B开始运动,同时,点Q从点C出发,以vcm/秒的速度沿CD向点D运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.
22.如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D点出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.
(1)试证明:AD∥BC.
(2)在移动过程中,小明发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,△DEG与△BFG全等.
23.(1)如图1,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
(2)如图2,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.
24.如图,已知四边形ABCD中,AB=10厘米,BC=8厘米,CD=12厘米,∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPE与△CQP是否全等?请说明理由.
(2)当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等.
25.如图(1),在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛,它们同时出发分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点s时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,P处,请问:
(1)在爬行过程中,BD和AP始终相等吗?为什么?
(2)问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化?请证明你的结论.
(3)若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行,BD与AP交于点Q,其他条件不变,如图(2)所示,蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗?若无变化,请证明.若有变化,请直接写出∠DQA的度数.
26.如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
27.如图,AB=AC=16cm,BC=10cm,点D为AB的中点,点P在边BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动,同时,点M在边CA上由点C向点A匀速运动.
(1)当点M的运动速度与点P的运动速度相同,经过1秒后,△BPD与△CMP是否全等?请说明理由;
(2)若点M的运动速度与点P的运动速度不相等,当点M的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CMP全等?
28.如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
29.如图①,AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由A向B运动.同时点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等?请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
(2)如图②,将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,其他条件不变,设点Q运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应x,t的值;若不存在,说明理由.
30.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,∠ABC=∠ACB,BC=16cm,点D是AB的中点.点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动,且点Q的运动速度与点P的运动速度相等.经过几秒后,△BPD与△CQP全等?请说明理由.
31.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,P,Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且PQ=AB,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等.
32.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,一条直线MN=AB,M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动.问点M运动到什么位置,才能使△ABC和△AMN全等?并证明你的结论.
33.如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)用含t的代数式表示PC的长度;
(2)若点P、Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
34.如图,AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动,同时,点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)设点Q的运动速度为xcm/s(x≠2),是否存在实数x,使△ACP与△BPQ全等?若存在,请画出示意图,将全等的三角形用符号表示出来,并直接写出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.
35.如图,已知△ABC中,点E为AC的中点,CD∥AB交BE的延长线于点D,求证:AB=CD.
36.已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且DE∥AC,DF∥AB,求证:BE=DF,DE=CF.
37.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
(1)若∠B=60°,求∠C的值;
(2)求证:AD是∠EAC的平分线.
38.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
参考答案
1.解:如图所示:
∵点A(2,0),B(0,4),∴OB=4,OA=2,∵△BOC与△AOB全等,∴OB=OB=4,OA=OC=2,∴C1(﹣2,0),C2(﹣2,4),C3(2,4).
综上可知,点C的坐标为(﹣2,0)或(2,4)或(﹣2,4),故选:A.
2.解:当BD=PC时,△BPD与△CQP全等,∵点D为AB的中点,∴BD=AB=6cm,∵BD=PC,∴BP=8﹣6=2(cm),∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,∴运动时间时1s,∵△DBP≌△PCQ,∴BP=CQ=2cm,∴v=2÷1=2;
当BD=CQ时,△BDP≌△CQP,∵BD=6cm,PB=PC,∴QC=6cm,∵BC=8cm,∴BP=4cm,∴运动时间为4÷2=2(s),∴v=6÷2=3(m/s),故答案为:2或3.
3.解:
设点P的运动时间为t秒,则BP=2t,当点P在线段BC上时,∵四边形ABCD为长方形,∴AB=CD,∠B=∠DCE=90°,此时有△ABP≌△DCE,∴BP=CE,即2t=2,解得t=1;
当点P在线段AD上时,∵AB=4,AD=6,∴BC=6,CD=4,∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16,∴AP=16﹣2t,此时有△ABP≌△CDE,∴AP=CE,即16﹣2t=2,解得t=7;
综上可知当t为1秒或7秒时,△ABP和△CDE全等.
故答案为:1或7.
4.解:∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,∴∠A=∠B=90°,设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;
则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12﹣x)m,分两种情况:
①若BP=AC,则x=4,AP=12﹣4=8,BQ=8,AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ;
②若BP=AP,则12﹣x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时△CAP与△PQB不全等;
综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等;
故答案为:4.
5.解:设点E经过t秒时,△DEB与△BCA全等;此时AE=3t,分情况讨论:
(1)当点E在点B的左侧时,△DEB≌△BCA,则BE=AC,∴24﹣3t=12,∴t=4;
(2)当点E在点B的右侧时,①△DEB≌△BCA,BE=AC时,3t=24+12,∴t=12;
②△EDB≌△BCA,BE=AB时,3t=24+24,∴t=16.
(3)当点E与A重合时,AE=0,t=0;
综上所述,点E经过0秒,4秒,12秒,16秒时,△DEB与△BCA全等.
故答案为:0,4,12,16.
6.解:由题意得,AP=2t,BQ=3t,∵AC=6cm,BC=8cm,∴CP=6﹣2t,CQ=8﹣3t,①如图1,当Q在BC上,点P在AC上时,当△PEC≌△CFQ时,则PC=CQ,即6﹣2t=8﹣3t,解得:t=2;
②如图2,当点P与点Q重合时,当△PEC与△QFC全等,则PC=CQ,∴6﹣2t=3t﹣8.
解得:t=;
③如图3,当点Q与A重合时,当△PEC≌△CFQ,则PC=CQ,即2t﹣6=6,解得:t=6;
当综上所述:当t=2秒或秒或6秒时,△PEC与△QFC全等,故答案为:2或或6.
7.解:当△ACP≌△BPQ时,则AC=BP,AP=BQ,∵AC=3cm,∴BP=3cm,∵AB=4cm,∴AP=1cm,∴BQ=1cm,∴点Q的速度为:1÷(1÷1)=1(cm/s);
当△ACP≌△BQP时,则AC=BQ,AP=BP,∵AB=4cm,AC=BD=3cm,∴AP=BP=2cm,BQ=3cm,∴点Q的速度为:3÷(2÷1)=1.5(cm/s);
故选:B、C.
8.解:设点P运动的时间为t秒,则BP=3t,CP=8﹣3t,∵∠B=∠C,∴①当BE=CP=5,BP=CQ时,△BPE与△CQP全等,此时,5=8﹣3t,解得t=1,∴BP=CQ=3,此时,点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒;
②当BE=CQ=5,BP=CP时,△BPE与△CQP全等,此时,3t=8﹣3t,解得t=,∴点Q的运动速度为5÷=厘米/秒;
故答案为:3厘米/秒或厘米/秒.
9.解:设点Q的运动速度是xcm/s,∵∠CAB=∠DBA,∴△ACP与△BPQ全等,有两种情况:
①AP=BP,AC=BQ,则1×t=4﹣1×t,解得:t=2,则3=2x,解得:x=1.5;
②AP=BQ,AC=BP,则1×t=tx,4﹣1×t=3,解得:t=1,x=1,故答案为:1或1.5.
10.解:∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°,∴∠C=∠PAQ=90°,分两种情况:
①当AP=BC=10时,在Rt△ABC和Rt△QPA中,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当AP=CA=20时,在△ABC和△PQA中,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL);
综上所述:当点P运动到AP=10或20时,△ABC与△APQ全等;
故答案为:10或20.
三.解答题(共28小题)
11.证明:∵AE是△ABD的中线,∴BE=ED,在△ABE与△FDE中,∴△ABE≌△FDE(SAS),∴AB=FD,∠BAE=∠EFD,∠B=∠EDF,∵DC=AB,∴FD=DC,∵∠ADC是△ADB的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD,∵∠ADF=∠BDA+∠EDF,∵∠B=∠EDF,∠BAD=∠BDA,∴∠ADC=∠ADF,在△ADF与△ADC中,∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AF=AC,∵AF=AE+EF,AE=EF,∴AC=2AE.
12.解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.
理由如下:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∵AP=BQ=2,∴BP=5,∴BP=AC,在△ACP和△BPQ中,∴△ACP≌△BPQ(SAS);
∴∠C=∠BPQ,∵∠C+∠APC=90°,∴∠APC+∠BPQ=90°,∴∠CPQ=90°,∴PC⊥PQ;
(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得:5=7﹣2t,2t=xt
解得:x=2,t=1;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得:5=xt,2t=7﹣2t
解得:x=,t=.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或.
13.解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,在△ACP和△BPQ中,∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直.
(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,解得;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,解得;
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
14.解:(1)①∵t=1(秒),∴BP=CQ=3(厘米)
∵AB=12,D为AB中点,∴BD=6(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6(厘米)
∴PC=BD
∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD与△CQP中,∴△BPD≌△CQP(SAS),②∵VP≠VQ,∴BP≠CQ,又∵∠B=∠C,要使△BPD≌△CPQ,只能BP=CP=4.5,∵△BPD≌△CPQ,∴CQ=BD=6.
∴点P的运动时间t===1.5(秒),此时VQ===4(厘米/秒).
(2)因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇,依题意得4x=3x+2×12,解得x=24(秒)
此时P运动了24×3=72(厘米)
又∵△ABC的周长为33厘米,72=33×2+6,∴点P、Q在BC边上相遇,即经过了24秒,点P与点Q第一次在BC边上相遇.
15.解:(1)①当点P在AC上,点Q在BC上时,∵AC=6,AP=2t,BC=8,BQ=3t,∴CP=6﹣2t,CQ=8﹣3t,∵PC=2QC,∴6﹣2t=2(8﹣3t),解得:t=,②当点Q在AC上,点P在BC上时,不存在PC=2QC,故如果PC=2QC,那么t=秒;
③当P、Q都在AC上时,∵PC=2QC,∴6﹣2t=2(3t﹣8),解得:t=2.75,故答案为:或2.75;
(2)分为三种情况:①如图1,P在AC上,Q在BC上,∵PE⊥l,QF⊥l,∴∠PEC=∠QFC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,∴∠EPC=∠QCF,则△PCE≌△CQF(AAS),∴PC=CQ,即6﹣2t=8﹣3t,t=2;
②如图2,P在BC上,Q在AC上,∵由①知:PC=CQ,∴2t﹣6=3t﹣8,t=2;
2t﹣6<0,即此种情况不符合题意;
③当P、Q都在AC上时,如图3,CP=6﹣2t=3t﹣8,t=;
④当Q到A点停止,P在BC上时,AC=PC,2t﹣6=6时,解得t=6>(不会题意舍去).
P和Q都在BC上的情况不存在,∵P的速度是每秒2cm,Q的速度是每秒3cm;
综上所述:t的值为2秒或秒.
16.(1)证明:
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB,∴∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC;
(2)解:
设G点的移动距离为y,当△DEG与△BFG时有:∠EDG=∠FBG,∴DE=BF,DG=BG,或DE=BG,DG=BF,当F由C到B,即0<t≤时,则有,解得,或,解得(舍去),当F由B到C,即时,有,解得,或,解得,综上可知共有三次,移动的时间分别为2秒、4秒、5秒,移动的距离分别为6、6、5.
17.解:(1)∵∠B=90°,AB∥DF,∴∠D=∠B=90°,∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,∴∠ECD+∠CED=90°,∠ACB+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠CED;
(2)当C为BD的中点时,△ABC与△EDC不全等,当BD的长是6时,它们全等,理由是:∵BD=6,C为BD中点,∴BC=CD=3=AB,在△ABC和△CDE中,∴△ABC≌△CDE(AAS);
(3)∵在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE(AAS),∴AB=CD=3cm,∴DE=BC=8cm﹣3cm=5cm;
(4)
∵∠B=90°AB∥DF,∴∠CDE=∠B=90°,∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,∴∠ECD+∠ACB=90°,∠ACB+∠BAC=90°,∴∠ECD=∠BAC;
当CD=AB=3cm时,AC=CE,∵在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AC=CE,DE=BC,∵AB=3cm,BC=BD+CD=8cm+3cm=11cm,∴在Rt△ABC中,由勾股定理得;AC==(cm),∵∠ACE=90°,∴△AEC的面积是×AC×CE=××=65(cm2).
18.解:∵∠CMD=90°,∴∠CMA+∠DMB=90度,又∵∠CAM=90°
∴∠CMA+∠ACM=90°,∴∠ACM=∠DMB,又∵CM=MD,∴Rt△ACM≌Rt△BMD,∴AC=BM=3,∴他到达点M时,运动时间为3÷1=3(s).
答:这人运动了3s.
19.解:(1)∵△ABC和△PMA全等,∴AM=BC=6cm,∠C=∠MAP=90°,∴只能是AP=AC=8cm,即2t=8
∴t=4(s),即经过4秒△ABC与△PMA全等;
(2)AB与PM有何位置关系是AB⊥PM,理由是:
∵△ABC≌△PMA,∴∠BAC=∠APM,∵∠MAP=90°,∴∠CAB+∠BAP=90°,∴∠BAP+∠APM=90°,∴∠PDA=180°﹣90°=90°,∴AB⊥PM.
20.解:(1)△ADP≌△QBE,理由:∵∠C=90°,PD⊥AB,QE⊥AB,∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°,∴∠APD=∠B,∠ADP=∠QEB=90°,∵AP=BQ=t,在△ADP与△QBE中,∴△ADP≌△QBE;
(2)①0≤t时,点P从C到A运动,则AP=AC=CP=8﹣3t,BQ=t,当△ADP≌△QBE时,则AP=BQ,即8﹣3t=t,解得:t=2,②t时,点P从A到C运动,则AP=3t﹣8,BQ=t,当△ADP≌△QBE时,则AP=BQ,即3t﹣8=t,解得:t=4,综上所述:当t=2s或4s时,△ADP≌△QBE.
21.解:(1)点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,点P的运动时间为t秒时,BP=2t,则PC=(10﹣2t)cm;
故答案为:(10﹣2t);
(2)当△ABP≌△DCP时,则BP=CP=5,故2t=5,解得:t=2.5;
(3)①如图1,当△ABP≌△QCP,则BA=CQ,PB=PC,∵PB=PC,∴BP=PC=BC=5,2t=5,解得:t=2.5,BA=CQ=6,v×2.5=6,解得:v=2.4(cm/秒).
②如图2,当△ABP≌△PCQ,则BP=CQ,AB=PC.
∵AB=6,∴PC=6,∴BP=10﹣6=4,2t=4,解得:t=2,CQ=BP=4,v×2=4,解得:v=2;
综上所述:当v=2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP与△PQC全等.
22.(1)证明:在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB,∴∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC;
(2)解:设运动时间为t,点G的运动速度为v,当0<t≤时,若△DEG≌△BFG,则,∴,∴,∴v=3;
若△DEG≌△BGF,则,∴,∴
(舍去);
当<t≤时,若△DEG≌△BFG,则,∴,∴,∴v=1.5;
若△DEG≌△BGF,则,∴,∴,∴v=1.
综上,点G的速度为1.5或3或1.
23.解:(1)如图①,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,∴∠BDA=∠AFC=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∠ABD+∠CAF=90°,∴∠ABD=∠CAF,在△ABD和△CAF中,∴△ABD≌△CAF(AAS);
(2)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,在△ABE和△CAF中,∴△ABE≌△CAF(ASA);
(3)∵△ABC的面积为15,CD=2BD,∴△ABD的面积是:×15=5,由(2)中证出△ABE≌△CAF,∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于△ABD的面积,是5.
24.解:
(1)全等,理由如下:
当运动1秒后,则BP=CQ=3cm,∴PC=BC﹣BP=8cm﹣3cm=5cm,∵E为AB中点,且AB=10cm
∴BE=5cm,∴BE=PC,在△BPE和△CQP中
∴△BPE≌△CQP(SAS);
(2)∵△BPE与△CQP全等,∴有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ,当△BEP≌△CQP时,则BP=CP,CQ=BE=5cm,设P点运动的时间为t秒,则3t=8﹣3t,解得t=秒,∴Q点的速度=5÷=(cm),当△BEP≌△CPQ时,由(1)可知t=1(秒),∴BP=CQ=3,∴Q点的速度=3÷1=3(cm),即当Q点每秒运动cm或3cm时△BEP≌△CQP.
25.解:(1)在爬行过程中,BD和AP始终相等,理由是:∵△ABC是等边三角形,∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°,AB=BC,在△BDC和△APB中,∴△BDC≌△APB(SAS),∴BD=AP.
(2)蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化,理由:∵△BDC≌△APB,∴∠CBD=∠BAP,∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°,即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化,始终是60°.
(3)蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化,理由是:根据题意得:BP=CD,∵BC=AC,∴CP=AD,∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠CAB=∠ACB=60°,∵∠ACP+∠ACB=180°,∠DAB+∠CAB=180°,∴∠ACP=∠BAD,在△ABD和△ACP中,∴△ABD≌△ACP(SAS),∴∠CAP=∠ABD,∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB
=180°﹣∠CAB
=180°﹣60°
=120°,即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化,等于120°.
26.解:根据三角形全等的判定方法HL可知:
①当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°,在Rt△ABC与Rt△QPA中,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=5cm;
②当P运动到与C点重合时,AP=AC,在Rt△ABC与Rt△QPA中,∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),即AP=AC=10cm,∴当点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
综上所述,当点P位于AC的中点处或当点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
27.解:(1)结论:,△BPD与△CMP全等
理由:t=1s时,PB=2,CM=2,BD=AB=8,PC=10﹣2=8,∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BDP和△CPM中,∴△BDP≌CPM.
(2)由题意△BPD与△CMP全等,∵CM≠PB,∴CM=BD=8,PC=PB=5,∴t=,∴点M的运动速度=8÷=cm/s.
28.解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,在△ACP和△BPQ中,∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直.
(2)存在,理由:①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,则,解得;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,则,解得:;
综上所述,存在或,使得△ACP与△BPQ全等.
29.解:(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∵∠A=∠B=90°,在△ACP和△BPQ中,∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直.
(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,解得;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,解得;
综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.
30.解:经过1秒后,△BPD与△CQP全等,理由是:设经过x秒后,使△BPD与△CQP全等,∵点D是AB的中点,AB=AC=20cm,∴BD=10cm,∵∠ABC=∠ACB,∴要使△BPD与△CQP全等,必须BD=CP
即10=16﹣6x,解得:x=1,故经过1秒后,△BPD与△CQP全等.
31.解:根据三角形全等的判定方法HL可知:
①当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°,在Rt△ABC与Rt△QPA中,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=5cm;
②当P运动到与C点重合时,AP=AC,在Rt△ABC与Rt△QPA中,∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),即AP=AC=10cm,∴当点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
综上所述,当P运动到AP=BC、点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等.
32.解:
当点C和点M重合或AM=2时两个三角形全等,证明如下:
∵PA⊥AC,∴∠BCA=∠MAN=90°,当点C、点M重合时,则有AM=AC,在Rt△ABC和Rt△MNA中,∴Rt△ABC≌Rt△MNA(HL),当AM=BC=2时,在Rt△ABC和Rt△MNA中,∴Rt△ABC≌Rt△MNA(HL),综上可知当点C和点M重合或AM=2时两个三角形全等.
33.解:(1)BP=2t,则PC=BC﹣BP=6﹣2t;
(2)△BPD和△CQP全等
理由:∵t=1秒,∴BP=CQ=2×1=2厘米,∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米,∵AB=8厘米,点D为AB的中点,∴BD=4厘米.
∴PC=BD,在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△CQP(SAS).
34.(1)VQ=2VP=2m/s,∵t=1s,∴AP=1cm,DQ=2cm,∴BP=AB﹣AP=3cm,BQ=BD﹣DQ=1cm,在△CAP和△PBQ中,∴△CAP≌△PBQ(SAS),∴∠APC=∠BQA,∵∠BQP+∠QPB=90°,∴∠APC+∠QPB=90°,∴∠CPQ=180°﹣90°=90°,∴CP⊥PQ;
(2)若点P在AB上,点Q在BN上,且△APC≌△BPQ,如图
1,t=2,x=3,若点P在AB上,点Q在BN上,且△APC≌△BQP;
如图2:t=1,x=4,△APC≌△BQP;
如图3,若点P在BM上,点Q在BN上,t=7,x=,△APC≌△BQP;
.
35.证明:∵点E为AC的中点,∴AE=CE,∵CD∥AB,∴∠A=∠ECD,∵在△ABE和△CDE中,∴△ABE≌△CDE(ASA),∴AB=CD.
36.证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵DF∥AB,∴∠B=∠CDF,∵DE∥AC,∴∠C=∠BDE,在△BDE和△DCF中,∴△BDE≌△DCF(ASA),∴BE=DF,DE=CF.
37.(1)解:∵∠B=60°,∠BDA=∠BAD,∴∠BAD=∠BDA=60°,∴AB=AD,∵CD=AB,∴CD=AD,∴∠DAC=∠C,∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C,∵∠BAD=60°,∴∠C=30°;
(2)证明:延长AE到M,使EM=AE,连接DM,在△ABE和△MDE中,∴△ABE≌△MDE,∴∠B=∠MDE,AB=DM,∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM,在△MAD与△CAD,∴△MAD≌△CAD,∴∠MAD=∠CAD,∴AD是∠EAC的平分线.
38.解:(1)①∵t=1s,∴BP=CQ=3×1=3cm,∵AB=10cm,点D为AB的中点,∴BD=5cm.
又∵PC=BC﹣BP,BC=8cm,∴PC=8﹣3=5cm,∴PC=BD.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△CQP(SAS).
②∵vP≠vQ,∴BP≠CQ,若△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,则BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm,∴点P,点Q运动的时间s,∴cm/s;
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得x=3x+2×10,解得.
∴点P共运动了×3=80cm.
△ABC周长为:10+10+8=28cm,若是运动了三圈即为:28×3=84cm,∵84﹣80=4cm<AB的长度,∴点P、点Q在AB边上相遇,∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇.