北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》优生自主提升训练

2021年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》优生自主提升训练（附答案）

1．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（）

A．6

B．8

C．10

D．12

2．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）

A．三边中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三边上高的交点

D．三边垂直平分线的交点

3．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）

A．α

B．4α﹣360°

C．α+90°

D．180°﹣α

4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（）

A．4

B．6

C．8

D．10

5．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）

A．4cm

B．10cm

C．7或10cm

D．4或10cm

6．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）

A．22.5°

B．67.5°

C．67°

50＇

D．22.5°或67.5°

7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）

A．3

B．4

C．5

D．6

8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（）

A．4

B．5

C．7

D．10

9．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（）

A．65°

B．60°

C．56°

D．50°

10．如图，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分线AD交BE于点F，若∠AFE＝32°，则∠FBD＝

°．

11．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝

．

12．如图，已知△ABC的周长是15，点F，G分别是AC，BC上的点，将△CFG沿着直线FG折叠，点C落在点C′处，且点C′在三角形的外部，则阴影部分图形的周长是

．

13．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为

．

14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，S△ABC＝12，则DE的长为

．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，连接AD、CD，则∠ADB的度数为

．

16．顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该三角形的底角为

．

17．如图，已知△ABC中，∠BAC＝135°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为

．

18．如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为

．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠ADE＝

．

20．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为

．

21．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为

．

22．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：

．

（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．

23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．

（1）求证：△DEC是等腰三角形．

（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．

24．如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，将纸片沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF．△CDE中有两个内角相等．

（1）若∠A＝50°，求∠BDF的度数；

（2）若△BDF中也有两个内角相等，求∠B的度数．

25．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．

（1）求线段QM、QN的长；

（2）求线段QR的长．

26．如图，△ABC的角平分线AE，BF交于O点．

（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝；

（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上．

（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数．

27．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A＇B＇C＇．

（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．

28．已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B＇处．

（1）如图1，若∠ADB＇＝125°，求∠CEB＇的度数；

（2）如图2．试探究∠ADB＇与∠CEB＇的数量关系，并说明理由；

（3）连接CB＇，当CB＇∥AB时，直接写出∠CB＇E与∠ADB＇的数量关系为

．

参考答案

1．解：连接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．

故选：D．

2．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．

故选：D．

3．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．

4．解：∵BC＝10，CD＝6，∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，∴点D到AC的距离＝BD＝4．

故选：A．

5．解：分情况考虑：

①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；

②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．

故选：A．

6．解：有两种情况；

（1）如图1，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，（2）如图2，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，∵∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°．故选：D．

7．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝2AB，∵AC＝AB，∴BF＝2，∴BF＝4，故选：B．

8．解：过E作EF⊥BC于点F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，故选：B．

9．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，∴∠A＝∠C＝31°，∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，∴EA＝EB，QB＝QC，∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，故选：C．

10．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵∠AFE＝32°，∴∠BFD＝32°，∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°，故答案为：58．

11．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；

解法二：

连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；

故答案为：78°．

12．解：∵将△CFG沿着直线FG折叠，点C落在点C′处，∴CF＝C＇F，CG＝C＇G，则阴影部分图形的周长＝AB+AF+BG+C′F+C′G

＝AB+AF+BG+CF+CG

＝AB+BC+AC

＝△ABC的周长

＝15；

故答案为：15．

13．解：作点P关于OB的对称点P＇，点P关于OA的对称点P＇＇，连接P＇P＇＇与OA，OB分别交于点M与N

则P＇P＇＇的长即为△PMN周长的最小值，连接OP＇，OP＇＇，过点O作OC⊥P＇P＇＇于点C

由对称性可知OP＝OP＇＝OP＇＇，∵OP＝2，∠AOB＝60°，∴∠P＇＝∠P＇＇＝30°，OP′＝OP＇＇＝2，∴OC＝＝1；

故答案为1．

14．解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∴×AB×DF+×BC×DE＝S△ABC，即×5×DE+×7×DE＝12，解得，DE＝2，故答案为：2．

15．解：如图，作∠AB

D′＝∠ABD，B

D′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝82°，∴∠ABC＝49°，∵∠DBC＝38°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，∵在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′（SAS），∴∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C（SSS），∴∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°，故答案为：30°．

16．解：如图1，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠C＝∠ABC＝＝70°．

故答案为：70°．

17．解：如图，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°；

由折叠的性质得：∠B＝∠DAB（设为α），∠C＝∠EAC（设为β），则α+β＝45°，∠ADE＝2α，∠AED＝2β，∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣90°＝90°，故答案为：90°．

18．解：取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF，∵B为AD的中点，∴BF为△ACD的中位线，∴BF∥AC，AC＝2BF，∴∠CBF＝∠ACB，∵AB＝AC，E为AB的中点，∴AE＝BE＝BF，∠ABC＝∠ACB＝∠CBF，∵CB＝CB，∴△CEB≌△CFB（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠BCD，故②正确；

∴CD＝2CE，故④正确；

∵∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠BDC+∠BCD，∠ABC＝∠ACE+∠ECB，∴∠ACE+∠ECB＝∠BDC+∠BCD，∵∠ECB＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BDC，故③正确；

根据已知条件无法证明BC＝BD，故①错误．

故答案为②③④．

19．解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x，则∠DAE＝∠DEA＝∠C+∠EDC＝x+10°，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴20°+10°+x+2x＝180°，∴x＝50°，∴∠DAE＝∠DEA＝60°，∴∠ADE＝60°，故答案为60°．

20．解：∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，∴BD＝CD，∵AB＝6cm，AC＝8cm，∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝6+8＝14（cm），故答案为：14cm．

21．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝130°

∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．

故答案为100°．

22．（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵DE⊥AC，∴∠AHC＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，∴∠CAH＝∠EDC，∴∠BAC＝2∠EDC．

故答案为∠BAC＝2∠EDC．

（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．

理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵DE⊥AC，∴∠AHC＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，∴∠CAH＝∠EDC，∴∠BAC＝2∠EDC．

（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，∵KE⊥EC，∴∠E＝90°，∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．

23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；

（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．

24．解：（1）∵∠C＝90°，且△CDE中有两个内角相等，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∵△EDF是由△EAF翻折得到，∠A＝50°，∴∠EDF＝∠A＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣50°＝85°；

（2）设∠EDF＝∠EAF＝x°，∴∠BDF＝180°﹣45°﹣x°＝（135﹣x）°，∠B＝（90﹣x）°，∴∠BFD＝180°﹣（135﹣x）°﹣（90﹣x）°＝（2x﹣45）°，∵△BDF中有两个内角相等，可分三种情况讨论：

①当∠BDF＝∠B时，令135﹣x＝90﹣x，则方程无解，∴此情况不成立，舍去；

②当∠BFD＝∠B时，令2x﹣45＝90﹣x，解得x＝45，∴∠B＝90°﹣45°＝45°；

③当∠BFD＝∠BDF时，令2x﹣45＝135﹣x，解得x＝60，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，综上所述，若△BDF中也有两个内角相等，则∠B的度数可能为45°或30°．

25．解：（1）∵P，Q关于OA对称，∴OA垂直平分线段PQ，∴MQ＝MP＝4，∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．

（2）∵P，R关于OB对称，∴OB垂直平分线段PR，∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．

26．解：（1）∵∠ACB＝70°，∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°，∵△ABC的角平分线AE，BF交于O点，∴，∴∠ABO+∠BAO＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝125°，故答案为：125°；

（2）过O作OD⊥BC于D，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴OG＝OH，OG＝OD，∴OD＝OH，∴点O在∠ACB的角平分线上．

（3）连接OC，在Rt△OED与Rt△OFH中，∴Rt△OED≌Rt△OFH，（HL），∴∠EOD＝∠FOH，∴∠DOH＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；

27．解：（1）如图，△A＇B＇C＇即为所求；

（2）△ABC的面积为：3×2＝3；

（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．

所以点P即为所求．

28．解：（1）如图1中，连接BB′．

由翻折的性质可知，∠DBE＝∠DB′E＝80°，∵∠ADB′＝∠DBB′+∠DB′B＝125°，∴∠EBB′+∠EB′B＝160°﹣125°＝35°，∴∠CEB′＝∠EBB′+∠EB′B＝35°．

（2）结论：∠CEB′＝∠ADB′+20°．

理由：如图2中，∵∠ADB′+∠BEB′＝360°﹣2×（180°﹣80°），∴∠ADB′+180°﹣∠CEB′＝160°，∴∠CEB′＝∠ADB′+20°．

（3）如图1﹣1中，当点D在线段AB上时，结论：∠CB′E+80°＝∠ADB′

理由：连接CB′．

∵CB′∥AB，∴∠ADB′＝∠CB′D，由翻折可知，∠B＝∠DB′E＝80°，∴∠CB′E+80°＝∠CB′D＝∠ADB′．

如图2中，当点D在AB的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′＝80°．

理由：连接CB′．

∵CB′∥AD，∴∠ADB′+∠DB′C＝180°，∵∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠DB′E＝100°，∴∠CB′E+100°+∠ADB′＝180°，∴∠CB′E+∠ADB′＝80°．

综上所述，∠CB＇E与∠ADB＇的数量关系为∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°．

故答案为：∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°