成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

第一章节公式

由

（1）对数的性质：

①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。

（2）对数的运算法则：

①

②

③

④

3、对数换底公式：

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则

如果那么

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，有极限，则：

特别地，如果C是常数，那么

函数极限的四算运则

如果那么

推论设都存在，为常数，为正整数，则有：

无穷小量的比较：

x与n同时趋向+¥

由夹挤准则

第二章节公式

1.导数的定义：

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝

.2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝

＝f′(x0)．

3．导函数(导数)

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝

.4．几种常见函数的导数

(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

5．函数的和、差、积、商的导数

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+

uvw′

微分公式：

（1）

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

6．微分的四算运则

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝v

du＋udv

d(ku)＝kdu(k为常数)．

洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

7.导数的应用：

=0的点为函数的驻点，求极值；

(1)时，;，;

(2)时，;，;

(3)

;

=0的点为函数的拐点，求凹凸区间；

第三章知识点概况

不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作，并称为积分符号，函数为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。

不定积分的性质：

基本积分公式：

换元积分（凑微分）法：

1.凑微分。对不定积分，将被积表达式g(x)dx凑成2.作变量代换。令3.用公式积分，并用换式中的u

常用的凑微分公式主要有：

分部积分法：适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。

一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。

定积分:

(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有

（2）在定积分的定义中，我们假定a

如果a=b,则规定：

（3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有

为奇函数

为偶函数

定积分的性质：

定积分的计算：

一、变上限函数

设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数

记为

推理：

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为

图

5-11

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：

设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

定积分的换元公式：

计算要领是：定积分的分部积分法：

y

a

o

b

x

图5.8

5.4.2定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.下面用微元法求面积.①取为积分变量，.②在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素

.③写出积分表达式，即

.⑶求由两条曲线，及直线所围成平

o

x

y

d

y+dy

y

c

面图形（如图5.9）的面积.这里取为积分变量，用类似

(2)的方法可以推出：

.例5.4.1

求由曲线与

图5.9

所围图形的面积.解

先画出所围的图形（如图5.10）

由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得

.o

x

A(2,-2)

y

B(8,4)

图5.11

o

x

y

A

(1,1)

图5.10

例5.4.2

求曲线与所围图形的面积.解

画出所围的图形（如图5.11）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为

.注

本题若以为积分变量，由于图形在两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：

.显然，对于例5.4.2选取作为积分变量，不如选取作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.3．定积分求体积

(1)旋转体的体积

旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为

.o

a

x

x+dx

b

x

y

图5.15

o

x

y

d

y+dy

y

y

图5.16

c

类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为

.例5.4.5

求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解

(1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量，由公式所求椭球体的体积为

.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图5.18所示）,取为积分变量，由公式所求椭球体体积为

b

o

x

y

图5.18

.当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)平行截面面积为已知的立体体积

设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图5.19）.o

a

x

x+dx

b

x

图5.19

取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作

为底，为高的柱片，从而得

到体积元素.于是该物体的体积为.第四章知识点多元函数微分学

§4.1

偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

1.二元函数的定义：

2.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

Z=ax+by+c表示一个平面；

表示球心在原点、半径为R的上半个球面；，表示开口向上的圆锥面；，表示开口向上的旋转剖物面。

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

则称

在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：

1.2.㈥.隐含数的偏导数：

1.2.㈦.二阶偏导数：

（八）隐函数的导数和偏导数

(九).二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

☆

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

而非充分条件。

例：

∴驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：

求二元极值的方法：

二倍角公式：(含万能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：

第六章概率论

符号

概率论

集合论

样本空间

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的对立事件

A的余集

事件A发生导致

事件B发生

A是B的子集

A=B

A与B两事件相等

集合A与B相等

事件A与事件B

至少有一个发生

A与B的并集

事件A与事件B同时发生

A与B的交集

A-B

事件A发生而事件B不发生

A与B的差集

事件A与事件B互不相容

A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组

n个事件，如果满足下列条件：

（1）；

（2），则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。

概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性

一般地说,P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量

1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即

（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。

离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则。

随机变量的数字特征

1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C

②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即

方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，则X的方差为

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0

②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④

1、数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：

（1），（2），则

定理1.4

若数列{xn}单调有界，则它必有极限。

2、数列极限的四则运算定理。

（1）

（2），（3）当时，3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

4、函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：

（1），（2），则有。

推论

：（1）

（2），（3）

5、无穷小量的基本性质

性质1　有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2　有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4　无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

6、等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

7、重要极限Ⅰ

8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则

（1）f（x）±g（x）

在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续

（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=

x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=

x0处连续。

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）

闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C11、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C12、推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得

f（ξ）=013、初等函数的连续性

定理1.18　初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。

14、可导与连续的关系

定理2.1　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

15、由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

16、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

17、微分的计算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：

（1）d（c）=0（c为常数）

（2）（为任意实数）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不变性

设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为

dy=f′(u)du19、常用的凑微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的换元类型有：

被积函数类型

所用代换

代换名称

正弦代换

正切代换

根式代换

21、定积分的基本性质

（1）。（k为常数）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在区间[a,b]上总有f（x）≤g（x），则。

（5）

（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有

（7）积分中值定理　如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

22、变上限定积分求导定理

1.变上限定积分定义

定义

积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有

2.变上限定积分求导定理

定理

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

推论　①，②

③

23、计算定积分

1.牛顿——莱布尼茨公式

如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有

推论：(1)若f(x)为奇函数，则

(2)若f(x)为偶函数，则

2、定积分的分部积分法

24、定积分的应用

1.计算平面图形的面积

(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A为。

(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平面图形的面积A为。

2.旋转体的体积

(1)X型

由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a

(2)Y型

由连续曲线和直线y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隐函数

设三元方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。

27、概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1，特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

29、概率的乘法公式，30、（1）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C，②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0；②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)；

④