成人高考专升本考试高等数学一和高等数学二的区别

第一篇：成人高考专升本考试高等数学一和高等数学二的区别

成人高考专升本考试高等数学一和高等数学二的区别

专升本层次的数学有《高等数学》

（一）、《高等数学》

（二）两类，都以考查《高等数学》的基本知识、基本方法、基本技能为主。《高数》

（一）是理工类考生的考试科目，《高数》

（二）是经济管理类考生的考试科目。

无论是《高数》

（一），还是《高数》

（二），总的来试题考查得都较全面，试题发布合理，主要贯穿极限、导数、积分这条主线。在考查基本概念的基础上，以考查基本计算能力为主，大多数考题都是常规计算题。

《高数》

（一）主要是以《高数》为重点，约有7章内容，主要贯穿微分学和积分学这两条主线，考生复习的重点也是微分学、积分学。《高数》

（二）是经济类、管理类的务必科目，试题主要有两部分，一部分为高等数学内容，约占92%；另一部分是概率论初步，约占8%。

《高数》

（一）和《高数》

（二）的区别主要是对知识的掌握程度要求不同。《高数》

（一）要求掌握求反函朱数的导数，掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，要掌握三角换元、正弦变换、正切变换和正割变换。《高数》

（二）只要求掌握正弦变换、正切变换等。从实际考试情况看，《高数》

（一）一般比《高数》

（二）多出约30%的考题，约占45分左右。所以，有的考生考《高数》

（一），但是跟着《高数》

（二）的辅导听课，也是可行的，丹考生必须把《高数》

（二）没涉及的知识补上，不然就会白白丢了30%的分数。

在试卷最后的大题中，《高数》

（一）和《高数》

（二）也有一定的区别。《高数》

（一）一般涉及导数的应用，如函数的性质和曲线形状、导数的几何意义、求曲线的切线方程和法线方程。定积分的应用主要是定积分的换元积分法的应用，用定积分换元积分法作证明题，还有定积分的几何应用，求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积等。

在《高数》

（二）的重点内容概率论初步里，考生复习的重点要放在4点上，一是理解随机现象、随机试验、随机事件的有关观念；二是概率的计算；三是离散形随机变量的数字特征——期望与方差。

考生在最后的复习阶段，要严格遵循教育部颁发的考试大纲安排学习。考试大纲是命题的唯一依据，也是指导考生考前复习的依据。

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第二篇：成人高考高等数学二

成人高考高等数学复习及考试方法

考生要在成人高考中取得好成绩，必须深刻理解《复习考试大纲》所规定的内容及相关的考核要求，在知识内容上要分清主次、突出重点。在考核要求方面，弄清要求的深度和广度。要全面复习、夯实基础，要将相关知识点进行横向和纵向的梳理，建立知识网络，对考试大纲所列知识点，力求做到心中有数、融会贯通。

高数一大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）：

高数二大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）：

一元函数、极限连续大概占20多分，这些都是每年必须要考到的。一元微积分、微分学，这个占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高数二，知识面考得少一些，集中一些，但是题的分量就重一些，比如说每年有二元的微积分，多元函数的微积分，这里面可能会出现比较难、刁钻一些的题。高数

一、数二，不像高中起点的，可能差异稍稍大一点。考生可以根据不同的专业、考试类别，不管怎么样，前面的一元函数、极限、一元函数的微分、积分是一个基本的东西，也是最拿分的东西，一定要把它们做熟了。比如说求极限的几种方式，求微分的几种方式，以及求倒数，都会面面俱到，学员还是要把握住历年的考题，把握住大纲的要求，把握住考试卷，就应该能把握住会考什么。

1、注意以《大纲》为依据。

弄清《高等数学》

（一）和《高等数学》(二)在知识内容及相关考核要求上的区别。这种区别主要体现在两个方面：其一是在共有知识内容方面，同一章中要求掌握的知识点，或同一知识点要求掌握的程度不尽相同。如在一元函数微分学中，《高等数学》(一)要求掌握求反函数的导数、掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，但上述知识点对《高等数学》(二)并不做要求；又如在一元函数积分学中，《高等数学》(一)要求掌握三角换元求不定积分，其中包括正弦变换、正切变换和正割变换，而《高等数学》(二)对正割变换不做考核要求。

其二是在不同的知识内容方面，《高等数学》

（一）考核内容中有二重积分，而《高等数学》(二)对二重积分并不做考核要求；再有《高等数学》

（一）有无穷级数、常微分方程，高数(二)均不做要求。从试卷中可以看出，高等数学

（一）比《高等数学》(二)多出来的这部分知识点，在考题中大约能占到30%的比例。共计45分左右。所以理科、工科类考生应按照《大纲》的要求全面认真复习。

2、对概念的理解。

考生要加强对高等数学中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高运用数学知识分析问题和解决问题的能力，特别是综合运用知识解决实际问题的能力。

3、要在学习方法上追求学习效益。

加强练习，注重解题思路和解题技巧的培养和训练，对基本概念、基本理论、基本性质能进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在练习中加强理解和记忆，理解和记忆是相辅相承的，理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，死记硬背是暂时的，只有理解愈深，才能记忆愈牢。

4、加强练习

熟悉考试中各种题型，要掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与技巧。练习中要注意分析、总结、归纳、类比，掌握思考问题和处理问题的正确方法，寻求一般性的解题规律，从而提高解题能力。

在专升本考试中，《高等数学》是一门重要的公共基础课程，也是考试成绩上升空间较大的一门课程。学好数学同学好其他学科一样，都要付出辛勤的汗水和艰辛的努力。

5、考前一个月冲刺备考建议 还有1个多月的时间，要是在这段时间里面设计一个自己复习计划，至少在前十天看看题，一步一个脚印踏踏实实的掌握这些概念、公式。考试之前该背的要背，要上口背，这样不容易忘。有的公式是根据特点去背，包括三角函数公式、导数公式、微积分的公式，这些都得背下来。不但背公式，还得掌握方法，方法如果会的话可以复习一下，如果不会的话可以从模仿入手。能够把公式运用起来，多做几道题对公式的运用和内涵就了解了。这个时候可以做一些做过的题，或者是做一些自己能做的题，不要抠难题。难题之所以难有两条，一个是综合性强，一个是技巧性。综合性太强的话，如果知识学的不牢固的话，我们还没有适应综合性的能力，往往会使你丧失信心。如果技巧性太强，技巧也有基本的方法，也有一些特殊的技巧。前两年专升本也好，高中起点也好，都可能从里面出一些小技巧的东西，这也是想把一般考生和好的考生区分开来，增加试卷区分度，如果过分强调技巧，往往会在基本概念里面丢分，这样会得不偿失。所以说基本的东西不能丢。做一做常见的题，做一做做过的题，做一做会做的题，温故而知新，做过的题要做懂了。考生把握住这两条，应该可以在考试中取得好成绩。

6、最后这段时间，单靠记公式行不行？

公式必须得会，历年考得就那么几道类型题，都弄会了也不是很难。建议考生循序渐进，一步一步的走，如果跳跃式学习，会觉得力不从心。所以一步一步的走，走到那儿是哪儿，这没关系，如果非得满分的话，也不现实，把自己会做的分都做出来。

7、考试过程中需要注意哪些地方

因为很多学员的高数学学习起来比较仓促，没有像高中或者初中的数学学习那么扎实，没做那么多作业，运算错误率特别高。有些比较相近的公式也容易记错了，这就会造成不应该丢的分丢了，会做的题目，知道怎么做，就要仔细。平时可能一分丢了，还看不出来不觉得，但考试的时候不是这样，这是要丢分的。还是要尽量少有失误，争取每做一道题，对一道题，不求做的多，只求做的准确。

8、基本公式

一、基本初等函数

1.常数函数： y=c，(c为常数)2.幂函数： y=xn ,(n为实数)3.指数函数： y=ax ,(a＞0、a≠1)4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x 二、三角函数公式 1 两角和公式 1 2

倍角公式 半角公式

4、和差化积

三、两个重要极限

四、导数与微分 1 求导与微分法则1、2、3、（u +v）’=u’+ v’ 导数及微分公式

五、不定积分表（基本积分）

1、

第三篇：2008年成人高考(专升本)高等数学二考试试题和参考答案

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2008年成人高考（专升本）高等数学二考试试题和参考答案

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第四篇：成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

第一章节公式

由

（1）对数的性质：

①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。

（2）对数的运算法则：

①

②

③

④

3、对数换底公式：

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则

如果那么

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，有极限，则：

特别地，如果C是常数，那么

函数极限的四算运则

如果那么

推论设都存在，为常数，为正整数，则有：

无穷小量的比较：

x与n同时趋向+¥

由夹挤准则

第二章节公式

1.导数的定义：

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝

.2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝

＝f′(x0)．

3．导函数(导数)

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝

.4．几种常见函数的导数

(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

5．函数的和、差、积、商的导数

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+

uvw′

微分公式：

（1）

(7),(8)

(9),(10)

(11),(12)

6．微分的四算运则

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝v

du＋udv

d(ku)＝kdu(k为常数)．

洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

7.导数的应用：

=0的点为函数的驻点，求极值；

(1)时，;，;

(2)时，;，;

(3)

;

=0的点为函数的拐点，求凹凸区间；

第三章知识点概况

不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作，并称为积分符号，函数为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。

不定积分的性质：

基本积分公式：

换元积分（凑微分）法：

1.凑微分。对不定积分，将被积表达式g(x)dx凑成2.作变量代换。令3.用公式积分，并用换式中的u

常用的凑微分公式主要有：

分部积分法：适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。

一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。

定积分:

(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有

（2）在定积分的定义中，我们假定a

如果a=b,则规定：

（3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有

为奇函数

为偶函数

定积分的性质：

定积分的计算：

一、变上限函数

设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数

记为

推理：

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为

图

5-11

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：

设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

定积分的换元公式：

计算要领是：定积分的分部积分法：

y

a

o

b

x

图5.8

5.4.2定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.下面用微元法求面积.①取为积分变量，.②在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素

.③写出积分表达式，即

.⑶求由两条曲线，及直线所围成平

o

x

y

d

y+dy

y

c

面图形（如图5.9）的面积.这里取为积分变量，用类似

(2)的方法可以推出：

.例5.4.1

求由曲线与

图5.9

所围图形的面积.解

先画出所围的图形（如图5.10）

由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得

.o

x

A(2,-2)

y

B(8,4)

图5.11

o

x

y

A

(1,1)

图5.10

例5.4.2

求曲线与所围图形的面积.解

画出所围的图形（如图5.11）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为

.注

本题若以为积分变量，由于图形在两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：

.显然，对于例5.4.2选取作为积分变量，不如选取作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.3．定积分求体积

(1)旋转体的体积

旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为

.o

a

x

x+dx

b

x

y

图5.15

o

x

y

d

y+dy

y

y

图5.16

c

类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为

.例5.4.5

求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解

(1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量，由公式所求椭球体的体积为

.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图5.18所示）,取为积分变量，由公式所求椭球体体积为

b

o

x

y

图5.18

.当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)平行截面面积为已知的立体体积

设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图5.19）.o

a

x

x+dx

b

x

图5.19

取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作

为底，为高的柱片，从而得

到体积元素.于是该物体的体积为.第四章知识点多元函数微分学

§4.1

偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

1.二元函数的定义：

2.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

Z=ax+by+c表示一个平面；

表示球心在原点、半径为R的上半个球面；，表示开口向上的圆锥面；，表示开口向上的旋转剖物面。

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

则称

在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：

1.2.㈥.隐含数的偏导数：

1.2.㈦.二阶偏导数：

（八）隐函数的导数和偏导数

(九).二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

☆

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

而非充分条件。

例：

∴驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：

求二元极值的方法：

二倍角公式：(含万能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：

第六章概率论

符号

概率论

集合论

样本空间

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的对立事件

A的余集

事件A发生导致

事件B发生

A是B的子集

A=B

A与B两事件相等

集合A与B相等

事件A与事件B

至少有一个发生

A与B的并集

事件A与事件B同时发生

A与B的交集

A-B

事件A发生而事件B不发生

A与B的差集

事件A与事件B互不相容

A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组

n个事件，如果满足下列条件：

（1）；

（2），则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。

概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性

一般地说,P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量

1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即

（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。

离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则。

随机变量的数字特征

1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C

②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即

方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，则X的方差为

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0

②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④

1、数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：

（1），（2），则

定理1.4

若数列{xn}单调有界，则它必有极限。

2、数列极限的四则运算定理。

（1）

（2），（3）当时，3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

4、函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：

（1），（2），则有。

推论

：（1）

（2），（3）

5、无穷小量的基本性质

性质1　有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2　有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4　无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

6、等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

7、重要极限Ⅰ

8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则

（1）f（x）±g（x）

在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续

（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=

x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=

x0处连续。

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）

闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C11、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C12、推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得

f（ξ）=013、初等函数的连续性

定理1.18　初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。

14、可导与连续的关系

定理2.1　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

15、由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

16、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

17、微分的计算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：

（1）d（c）=0（c为常数）

（2）（为任意实数）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不变性

设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为

dy=f′(u)du19、常用的凑微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的换元类型有：

被积函数类型

所用代换

代换名称

正弦代换

正切代换

根式代换

21、定积分的基本性质

（1）。（k为常数）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在区间[a,b]上总有f（x）≤g（x），则。

（5）

（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有

（7）积分中值定理　如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

22、变上限定积分求导定理

1.变上限定积分定义

定义

积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有

2.变上限定积分求导定理

定理

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

推论　①，②

③

23、计算定积分

1.牛顿——莱布尼茨公式

如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有

推论：(1)若f(x)为奇函数，则

(2)若f(x)为偶函数，则

2、定积分的分部积分法

24、定积分的应用

1.计算平面图形的面积

(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A为。

(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平面图形的面积A为。

2.旋转体的体积

(1)X型

由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a

(2)Y型

由连续曲线和直线y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隐函数

设三元方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。

27、概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1，特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

29、概率的乘法公式，30、（1）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C，②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0；②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)；

④

第五篇：成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式

第一章

函数、极限和连续

§1.1

函数

一、主要内容

㈠

函数的概念

1.函数的定义:

y=f(x),x∈D

定义域:

D(f),值域:

Z(f).2.分段函数:

3.隐函数:

F(x,y)=

0

4.反函数:

y=f(x)

→

x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数:

y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是严格单调增加(或减少)的；

则它必定存在反函数：

y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡

函数的几何特性

1.函数的单调性:

y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加（）；

若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少（）；

若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加（）；

若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少（）。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性：

|f(x)|≤M,x∈(a,b)

㈢

基本初等函数

1.常数函数：

y=c，(c为常数)

2.幂函数：

y=xn,(n为实数)

3.指数函数：

y=ax,(a＞0、a≠1)

4.对数函数：

y=loga

x,(a＞0、a≠1)

5.三角函数：

y=sin

x,y=con

x

y=tan

x,y=cot

x

y=sec

x,y=csc

x

6.反三角函数：y=arcsin

x,y=arccon

x

y=arctan

x,y=arccot

x

㈣

复合函数和初等函数

1.复合函数：

y=f(u),u=φ(x)

y=f[φ(x)],x∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2

极

限

一、主要内容

㈠极限的概念

1.数列的极限:

称数列以常数A为极限;

或称数列收敛于A.定理:

若的极限存在必定有界.2.函数的极限：

⑴当时，的极限：

⑵当时，的极限：

左极限：

右极限：

⑶函数极限存的充要条件：

定理：

㈡

无穷大量和无穷小量

1.无穷大量：

称在该变化过程中为无穷大量。

X再某个变化过程是指：

2.无穷小量：

称在该变化过程中为无穷小量。

3.无穷大量与无穷小量的关系：

定理：

4.无穷小量的比较：

⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；

⑵若

（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；

⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；

⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。

定理：若：

则：

㈢两面夹定理

1．数列极限存在的判定准则：

设：

（n=1、2、3…）

且：

则：

2．函数极限存在的判定准则：

设：对于点x0的某个邻域内的一切点

（点x0除外）有：

且：

则：

㈣极限的运算规则

若：

则：①

②

③

推论：①

②

③

㈤两个重要极限

1．或

2．§1.3

连续

一、主要内容

㈠

函数的连续性

1.函数在处连续：在的邻域内有定义，1o

2o

左连续：

右连续：

2.函数在处连续的必要条件：

定理：在处连续在处极限存在3.函数在处连续的充要条件：

定理：

4.函数在上连续：

在上每一点都连续。

在端点和连续是指：

左端点右连续；

右端点左连续。

a+

0

b-

x

5.函数的间断点：

若在处不连续，则为的间断点。

间断点有三种情况：

1o在处无定义；

2o不存在；

3o在处有定义，且存在，但。

两类间断点的判断：

1o第一类间断点：

特点：和都存在。

可去间断点：存在，但，或在处无定义。

2o第二类间断点：

特点：和至少有一个为∞，或振荡不存在。

无穷间断点：和至少有一个为∞

㈡函数在处连续的性质

1.连续函数的四则运算：

设，1o

2o

3o

2.复合函数的连续性：

则：

3.反函数的连续性：

㈢函数在上连续的性质

1.最大值与最小值定理：

在上连续在上一定存在最大值与最小值。

y

y

+M

M

f(x)

f(x)

0

a

b

x

m

-M

0

a

b

x

a)

有界定理：

在上连续在上一定有界。

3.介值定理：

在上连续在内至少存在一点，使得：，其中：

y

y

M

f(x)

C

f(x)

0

a

ξ

b

x

m

0

a

ξ1

ξ2

b

x

推论：

在上连续，且与异号在内至少存在一点，使得：。

b)

初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章

一元函数微分学

§2.1

导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

1．导数：在的某个邻域内有定义，2．左导数：

右导数：

定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；

则：

（或：）

3.函数可导的必要条件：

定理：在处可导在处连续

4.函数可导的充要条件：

定理：存在，且存在。

5.导函数：

在内处处可导。

y

6.导数的几何性质：

是曲线上点

处切线的斜率。

o

x0

x

㈡求导法则

1.基本求导公式：

2.导数的四则运算：

1o

2o

3o

3.复合函数的导数：，或

☆注意与的区别：

表示复合函数对自变量求导；

表示复合函数对中间变量求导。

4.高阶导数：

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

1.微分：在的某个邻域内有定义，其中：与无关，是比较高

阶的无穷小量，即：

则称在处可微，记作：

2.导数与微分的等价关系：

定理：

在处可微在处可导，且：

3.微分形式不变性：

不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。

§2.2

中值定理及导数的应用

一、主要内容

㈠中值定理

1.罗尔定理:

满足条件:

y

a

o

ξ

b

x

a

o

ξ

b

x

2.拉格朗日定理：满足条件:

㈡罗必塔法则：（型未定式）

定理：和满足条件：

1o；

2o在点a的某个邻域内可导，且；

3o

则：

☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o若不满足法则的条件，不能使用法则。

即不是型或型时，不可求导。

3o应用法则时，要分别对分子、分母

求导，而不是对整个分式求导。

4o若和还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：

5o若函数是型可采用代数变

形，化成或型；若是型可

采用对数或指数变形，化成或型。

㈢导数的应用

1．切线方程和法线方程：

设：

切线方程：

法线方程：

2．曲线的单调性：

⑴

3.函数的极值：

⑴极值的定义：

设在内有定义，是内的一点；

若对于的某个邻域内的任意点，都有：

则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。

⑵极值存在的必要条件：

定理：

称为的驻点

⑶极值存在的充分条件：

定理一：

当渐增通过时，由（+）变（-）；

则为极大值；

当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。

定理二：

若，则为极大值；

若，则为极小值。

☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

4．曲线的凹向及拐点：

⑴若；则在内是上凹的（或凹的），（∪）；

⑵

；则在内是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

5。曲线的渐近线：

⑴水平渐近线：

⑵铅直渐近线：

第三章

一元函数积分学

§3.1

不定积分

一、主要内容

㈠重要的概念及性质：

1．原函数：设：

若：

则称是的一个原函数，并称是的所有原函数,其中C是任意常数。

2．不定积分：

函数的所有原函数的全体，称为函数的不定积分；记作：

其中：称为被积函数；

称为被积表达式；

称为积分变量。

3.不定积分的性质：

⑴

或：

⑵

或：

⑶

—分项积分法

⑷

(k为非零常数)

4.基本积分公式：

㈡换元积分法：

⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）

常用的凑微元函数有：

1o

2o

3o

4o

5o

6o

2.第二换元法：

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。

一般有以下几种代换：

1o

(当被积函数中有时)

2o

(当被积函数中有时)

3o

(当被积函数中有时)

4o

(当被积函数中有时)

㈢分部积分法：

1.分部积分公式：

2.分部积分法主要针对的类型：

⑴

⑵

⑷

⑷

⑸

其中：

（多项式）

3.选u规律：

⑴在三角函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“三多选多”。

⑵在指数函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“指多选多”。

⑶在多项式乘对数函数中，令，其余记作dv;简称“多对选对”。

⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数

为u，其余记作dv;简称“多反选反”。

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数

为u，其余记作dv;简称“指三任选”。

㈣简单有理函数积分：

1.有理函数：

其中是多项式。

2.简单有理函数：

⑴

⑵

⑶

§3.2定积分

f(x)

一．

主要内容

（一）.重要概念与性质

1.定积分的定义：

O

a

x1

x2

xi-1

ξi

xi

xn-1

b

x

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。

定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。

x轴上方的面积取正号，y

x

轴下方的面积取负号。

+

+

a

0

b

x

2.定积分存在定理：

若：f(x)满足下列条件之一:

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

3.牛顿——莱布尼兹公式：

牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。

4.原函数存在定理：

5.定积分的性质：

y

y

y

f(x)

g(x)

f(x)

0

a

c

b

x

0

a

b

x

0

a

b

x

y

y

M

f(x)

f(x)

m

0

a

b

x

0

a

ξ

b

x

（二）定积分的计算：

1.换元积分

2.分部积分

3.广义积分

4.定积分的导数公式

(三)定积分的应用

1.平面图形的面积:

与x轴所围成的图形的面积

y

f(x)

①.求出曲线的交点，画出草图；

②.确定积分变量，由交点确定积分上下限；

③.应用公式写出积分式，并进行计算。

2.旋转体的体积

及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：

0

a

b

x

及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

第四章

多元函数微积分初步

§4.1

偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

c)

二元函数的定义：

d)

二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

㈢.偏导数：

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

㈤.复全函数的偏导数：

1.2.㈥.隐含数的偏导数：

1.2.㈦.二阶偏导数：

㈧.二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

两个一阶偏导数存在，则：

★

而非充分条件。

例：

∴驻点不一定是极值点。

e)

极值的充分条件：

求二元极值的方法：

极值点。

二倍角公式：(含万能公式)

①

②

③

④

⑤

第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

组合：从n个不同元素里，任取个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总数记为，计算公式：

第六章概率论

符号

概率论

集合论

样本空间

全集

不可能事件

空集

基本事件

集合的元素

A

事件

子集

A的对立事件

A的余集

事件A发生导致

事件B发生

A是B的子集

A=B

A与B两事件相等

集合A与B相等

事件A与事件B

至少有一个发生

A与B的并集

事件A与事件B同时发生

A与B的交集

A-B

事件A发生而事件B不发生

A与B的差集

事件A与事件B互不相容

A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组

n个事件，如果满足下列条件：

（1）；

（2），则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为。

概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性

一般地说,P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量

1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即

（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。

离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则。

随机变量的数字特征

1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C

②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即

方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，则X的方差为

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0

②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④

基本公式

由

（1）对数的性质：

①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。

（2）对数的运算法则：

①

②

③

④

3、对数换底公式：

由换底公式推出一些常用的结论：

（1）

（2）

（3）

（4）

三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，1、数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：

（1），（2），则

定理1.4

若数列{xn}单调有界，则它必有极限。

2、数列极限的四则运算定理。

（1）

（2），（3）当时，3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

4、函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：

（1），（2），则有。

推论

：（1）

（2），（3）

5、无穷小量的基本性质

性质1　有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2　有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4　无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

6、等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

7、重要极限Ⅰ

8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：

9、（2）

（3）

（4）

10、函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则

（1）f（x）±g（x）

在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续

（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=

x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=

x0处连续。

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）

闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C11、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

f（ξ）=C12、推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得

f（ξ）=013、初等函数的连续性

定理1.18　初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。

14、可导与连续的关系

定理2.1　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

15、由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

16、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

（1）（C）＇=0

（2）（xμ）＇=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）＇=axlna（a＞0,a≠1）

（6）（ex）＇=ex

（7）（8）

（9）（sinx）＇=cosx

（10）（cosx）＇=

-sinx

（11）（12）

（13）（secx）＇=secx·tanx

（14）（cscx）＇=

-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有

（1）（u±v）＇=u＇±v＇

（2）（u·v）＇=u＇·v+u·v＇

（3）（cu）＇=c·u＇

（4）

（5）

（6）（u·v·w）＇=u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇

3.复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

17、微分的计算

dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：

（1）d（c）=0（c为常数）

（2）（为任意实数）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sin

x）=cos

xdx

（8）d（cos

x）=-sin

xdx

（17）d（c·u）=cdu18、微分形式不变性

设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为

dy=f′(u)du19、常用的凑微分公式：

1）、②，③

④，⑤，⑥

①，②③，④，⑤

⑥　⑦

20、常用的换元类型有：

被积函数类型

所用代换

代换名称

正弦代换

正切代换

根式代换

21、定积分的基本性质

（1）。（k为常数）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在区间[a,b]上总有f（x）≤g（x），则。

（5）

（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有

（7）积分中值定理　如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

22、变上限定积分求导定理

1.变上限定积分定义

定义

积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有

2.变上限定积分求导定理

定理

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

推论　①，②

③

23、计算定积分

1.牛顿——莱布尼茨公式

如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有

推论：(1)若f(x)为奇函数，则

(2)若f(x)为偶函数，则

2、定积分的分部积分法

24、定积分的应用

1.计算平面图形的面积

(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A为。

(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平面图形的面积A为。

2.旋转体的体积

(1)X型

由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a

(2)Y型

由连续曲线和直线y=c,y=d(c

25、全微分

26、二元隐函数

设三元方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。

27、概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1，特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

28、条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

29、概率的乘法公式，30、（1）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C，②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b　④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0；②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)；

④