小学数学
“鸽巢原理”(一)
知识梳理
把4本书放进3个抽屉中,为什么不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进2本书?
方法一:枚举法
把4本书放进3个抽屉中,一共有上面4种情况,每种情况总有一个抽屉里至少放进2本书。
方法二:数的分解法
把4分解成3个数,如下图所示:
把4分解成3个数,共4种情况,每种情况分得的3个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
方法三:假设法
把4本书放进3个抽屉中,假设先在每个抽屉中放1本书,那么3个抽屉就放了3本书,把剩下的1本书放入任何一个抽屉中,这个抽屉就有2本书了。
由此说明,把4本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进2本书。
1.关键词解析
“总有”是一定要有的意思;“至少”是指最小的限度,可能比已知情况多,也可能与已知情况相等。
2.“鸽巢原理”(一)
(1)把4本书放进3个抽屉中,总有一个抽屉中至少有2本书。同理,把5本书放进4个抽屉中,总有一个抽屉中至少有2本书。……
得出:只要放的书本数比抽屉的数量多1,就总有一个抽屉中至少放进2本书。
(2)如果放的书本数比抽屉的数量多2,也是总有一个抽屉中至少放进2本书。如果放的书本数比抽屉的数量多3,也是总有一个抽屉中至少放进2本书。……
得出:把书放进抽屉中,只要放的书本数比抽屉的数量多,就总有一个抽屉中至少放进2本书。
总结:把个物体任意分放进n个“鸽巢”中(>,和是非0自然数),那么一定有一个“鸽巢”中至少放进了2个物体。
例题1
某小学有367名2008年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?
解答过程:2008年是闰年,这年应有366天。把366天看作366个“鸽巢”,将367名小朋友看作367个物体。这样,把367个物体任意分放进366个“鸽巢”里,总有一个“鸽巢”里至少放进2个物体。因此至少有2名小朋友的生日相同。
答:至少有2名小朋友的生日相同。
技巧点拨:制造“鸽巢”是正确运用原理解题的关键。
例题2
11名学生到老师家借书,老师的书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类型的书,最少借一本。至少有几名学生所借的书的类型完全相同?
解答过程:列表找出借一本书和借两本不同类型的书的所有可能情况。
借一本书
A、B、C、D
4种
借两本不同类型的书
AB、AC、AD、BC、BD、CD
6种
合计
10种
把这10种类型看作10个“鸽巢”,把11名学生看作11个物体,所以至少有两名学生所借的书的类型完全相同。
答:至少有两名学生所借的书的类型完全相同。
技巧点拨:解答此题的关键是通过列表找到给定要求可能出现的情况总数。
例题3
在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?
解答过程:因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是3个“鸽巢”。一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“鸽巢”里。将四个自然数放入3个“鸽巢”,至少有一个“鸽巢”里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
技巧点拨:解答此题的关键是明确任意自然数除以3的余数只有3种不同的情况,即余数是0,1或2,且余数相同的两个不同自然数的差必定是3的倍数。
同步练习
(答题时间:15分钟)
关卡
解决问题
1.少年宫开办了语文、数学、英语、绘画这四个学习班,小林、小云、明明、军军、小芳5
个人去参加学习,试说明至少有2
个人在同一个学习班学习。
2.任意调查13个人,其中至少有2人的属相是相同的。为什么?
3.今天上午上了4节课,分别是:语文、数学、英语、美术,并且每科都留了作业。现在教室里有5名同学在做作业,试说明:至少有2名同学在做同一科作业。
4.在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?
5.用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见下图),每个小方格涂一种颜色。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?
答案
关卡
解决问题
1.将四个学习班看作4个“鸽巢”,将5个人看作5个“物体”,根据“鸽巢原理”(一)可知,必有一个“鸽巢”放入2个“物体”。
所以至少有2
个人在同一个学习班学习。
2.把12个生肖看作12个“鸽巢”,任意调查的13个人,看作13个物体,根据“鸽巢原理”(一)可知,至少有2个人的属相相同。所以至少有2人的属相是相同的。
3.把语文、数学、英语、美术这四种作业看作4个“鸽巢”,5名同学看作5个物体,根据“鸽巢原理”(一)可知,至少有2名同学在做同一科作业。
4.任何整数除以3的余数只能是0,1,2。现在,对于任意的五个自然数,根据“鸽巢原理”(一),至少有一个“鸽巢”里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形:有三个数在同一个“鸽巢”里,即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形:至多有两个数在同一个“鸽巢”里,那么每个“鸽巢”里都有数,在每个“鸽巢”里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。
5.用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色,只有下面四种情形:
将上面的四种情形看成四个“鸽巢”。根据“鸽巢原理”(一),将五列放入四个“鸽巢”,至少有一个“鸽巢”中有不少于两列,这两列的小方格中涂的颜色完全相同。