专题04 初识非负数
例1 -2或-8
例2 B 提示:|a-b|,|a-c|中必有一个为0,一个为1,不妨设|a-b|=0,|a-c|=1,则a=b,|b-c|=1,原式=0+1+1=2.
例3 6 提示:由题意得x1=1,x2=1,…,x2003=2003,原式=2-22-23-…-22002-22003=22003-22002-…-23-22+2=22002(2-1)-22001-…-22+2=22002-22001-…-22+2=…=24-23-22+2=23(2-1)-22+2=23-22+2=6.
例4 -1或7 提示:分下列四种情形讨论:
(1)若a,b,c均为正数,则ab>0,ac>0,bc>0,原式==7;
(2)若a,b,c中恰有两个正数,不失一般性,可设a>0,b>0,c<0,则ab>0,ac<0,bc<0,abc<0,则原式=-1;
(3)若a,b,c中只有一个正数,不失一般性,可设a>0,b<0,c<0,则ab<0,ac<0,bc>0,abc>0,则原式=-1;
(4)若a,b,c均为负数,则ab>0,bc>0,ac>0,abc<0,原式=-1.
例5 根据绝对值的几何意义,题意可理解为“从数轴上点1出发,每次走一个整点,分别到达点2,点3,点4,点5,点6,最后回到点1,最少路程为多少?”为避免重复,从左到右走到6,再从右到左走到1为最短路线,取x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5,x6=6,则S=1+1+1+1+1+5=10,(也可以取x1=1,x2=4,x3=6,x4=5,x5=3,x3=2).
例6 根据|2a-b-1|=0知2a-b-1=0,即b=2a-1.代人原式中,得(3a-1)2+|2a+4|=2a+4.对3a-1的取值分情况讨论为:
(1)当3a-1>0,即a>时,∵(3a-1)2>0,|2a+4|>0,2a+4>0.∴(3a-1)2+|2a+4|>2a+4,矛盾.
(2)当3a-1<0,即a<时,①若2a+4≤0,而(3a-1)2+|2a+4|>0,矛盾.②若2a+4>0,则(3a-1)2+|2a+4|>2a+4,矛盾.
(3)当3a-1=0,即时,(3a-1)2+|2a+4|=2a+4成立,得b=-.
综上可知a=,b=-,ab=-.
A级
1.(4)2.-
3.1-2c+b 提示:-1
4.2 提示:原式变形为|b-2|=2-b,|a-b|=b-a.
∴b-2≤0,a-b≤0.又∵a≠b,∴a
5.4 6.A 7.A 8.B 9.D 10.A
11.-1 提示:a,b,c中不能全为正值,也不能全为负数,只能是一正二负或二正一负,原式值都为-1.
12.∵|a-b|<9,|c-d|≤16,故|a-b|+|c-d|<25.
又∵25=|a-b-c+d|=|(a-b)+(d-c)|≤|a-b|+|c-d|<25,∴|a-b|=9,|c-d|=16,故原式=9-16=-7.
B级
1.1 2. 3.2 4.1或-3 5.-94
6.C 提示:利用绝对值的几何意义,结合数轴进行分析,当x取15时,原式有最小值15.
7.A 提示:b=-ka且k>0.故|b| =k|a|,代人原式中,原式=.
当a>0时,原式=;
当a<0时,原式=.
故原式=3.
8.B 提示:分0≤a≤2,2 9.B 10.C 11.提示:a,b,c中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即,,∴,中必有两个同号,另一个符号与其相反,即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,1=1,原式=1902.