2020届省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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2020届级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中考试数学(文)试题

一、单选题

1.已知复数z满足,则()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】将化为后,两边取模即可求得答案.【详解】

因为,所以,所以.故选:C

【点睛】

本题考查了复数的模的运算,化为后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题.2.若函数与的定义域分别为和,则()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】根据使函数解析式有意义的原则,分别求出,根据集合交集运算定义,即可得到答案.

【详解】

解:

解:函数的定义域

函数的定义域

故选:.

【点睛】

本题以集合的交集运算为载体,考查了函数的定义域问题,其中根据使函数解析式有意义的原则,分别求出,是解答的关键

3.已知,,则、、的大小关系为()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】本题首先可以结合对数函数以及指数函数性质得出以及,然后根据得出,即可得出结果。

【详解】

由题意可知:,因为,,所以,即,故选:B.【点睛】

本题考查指数与对数比较大小,需要熟练掌握指数与对数函数的图像与性质,考查推理能力,是中档题。

4.已知等差数列的前3项和为30,后3项和为90,且前项和为200,则()

A.9

B.10

C.11

D.12

【答案】B

【解析】依题意,利用等差数列下标和性质求出,代入前项和公式即可求出的值.

【详解】

解:依题意,,所以,所以,所以,解得.

故选:.

【点睛】

本题考查了等差数列的前项和,考查了等差数列的性质,属于基础题.

5.函数的大致图像为()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】

函数的定义域为,当时,排除B和C;

当时,排除A.故选:D.【点睛】

本题考查图象的判断,取特殊值排除选项是基本手段,属中档题.6.设数列前项和为,已知,则()

A.1009

B.

C.1010

D.

【答案】C

【解析】逐步求出推出周期为4,即可求得前2020项的和.【详解】

由已知得:,.故选:C

【点睛】

本题考查根据数列的递推公式研究数列的周期性与单调性,属于基础题.7.已知,且,则()

A.

B.7

C.或-7

D.或7

【答案】D

【解析】由题意按和分类讨论得,进而得的值即可.【详解】

已知,且,当,∴cosα==,则,∴;

当,∴cosα==,则,∴;

综上:或7

故选:D

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式的合理运用,分类讨论思想,易错点是三角函数的符号容易出错,属于基础题.

8.若非零向量、满足且,则与的夹角为()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由垂直关系可得,因为,所以,求解即可.【详解】

设与的夹角为,由已知得:,则,,解得.故选:C

【点睛】

此题考查向量的数量积运算,涉及垂直关系的向量表示,属于基础题.9.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现.现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱,则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为()

A.

B.

C.2

D.

【答案】B

【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为,由圆柱和球的体积公式能求出比值.

【详解】

解:设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为,.

故选:.

【点睛】

本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用,考查圆柱、球的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

10.已知、、为平面内三点,满足,点在直线上,且,则的最小值为()

A.

B.4

C.

D.

【答案】A

【解析】由已知推出为等腰三角形,求出向量的夹角的余弦值,首先计算,利用二次函数的单调性即可求得最小值.【详解】

因为,所以为等腰三角形,当时,取得最小值3,此时,,当时,取得最小值,所以的最小值为.故选:A

【点睛】

本题考查向量的数量积与向量的模,属于中档题.11.已知的内角、、的对边分别为、、,且,点是的重心,则的外接圆半径为()

A.

B.3

C.

D.

【答案】A

【解析】首先利用正弦定理进行边角互化并化简可得,求出角A,由重心的性质得,同时平方可求出,从而三角形是等边三角形,再利用正弦定理即可求出外接圆半径.【详解】

由已知得:,利用正弦定理可得,又,所以,点是的重心,化简得,解得,所以是等边三角形,则的外接圆半径为,.故选:A

【点睛】

此题考查运用正弦定理解三角形,重心的性质,综合性强,属于中档题.12.已知函数的图象在点处的切线为直线,若直线与函数,的图象相切,则必满足条件()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】求出函数的图像在点处的切线及在处的切线,由题意知方程有解,利用函数零点存在定理确定范围.【详解】

函数的图像在点处的切线的斜率,所以切线方程:即;,设切点为,切线的斜率;

所以切线方程:,即,若直线与函数,的图像相切,则方程组有解,所以有解,构造函数,显然在上单调递增,且;;

所以.故选:D

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程,函数与方程的应用,零点存在定理判断函数零点的分布,属于中档题.二、填空题

13.曲线在点处的切线方程为________.【答案】

【解析】求出导函数,求出切线斜率,利用点斜式可得切线方程.【详解】,令x=0,切线斜率为-1,所以曲线在点处的切线方程为.故答案为:

【点睛】

本题考查应用导数求切线,属于基础题.14.若函数在定义域内有递减区间,则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】根据题意,求出函数的导数,分析可知在内能成立,利用参变量分离法,转化为

在上能成立,设,利用换元法分析可得答案.

【详解】

根据题意,函数,其导数,若函数在定义域内存在单调递减区间,则在上有解;

若,变形可得,则在上能成立,设,则,则,则必有,故的取值范围为;

故答案为:.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.属于中档题.

15.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是________.

【答案】

【解析】由对恒成立可得,又,由此可求出,代入原式即可求出的单调递增区间.【详解】

由对恒成立可得,则,即,又,即,易得k为奇数,则,所以=

令,解得,所以的单增区间是.故答案为:.【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质,由题意得到是解题的关键,属中档题.16.若、表示直线,、、表示不同平面,下列四个命题:

①,,则;

②,,则;

③,,则;

④,与、所成的角相等,则.其中真命题的有________.(请填入编号)

【答案】②

【解析】根据空间中线面关系的判定及性质逐项分析,即可得出答案.【详解】

①若,,如图,则与不一定垂直,①错误;

②若,,则,②正确;

③三棱柱的三个侧面分别记为、、,,但与相交,③错误;

④当直线m与n平行时,直线m与两平面、所成的角也相等均为,④错误.【点睛】

本题考查空间中线面、线线关系和面面关系,要证明一个结论是错误的只需举出反例即可,属于基础题.三、解答题

17.设命题:不等式对恒成立;命题:方程有两个不同的正根.当命题和命题不都为假命题时,求实数的取值范围.【答案】

【解析】命题p为真时利用三角不等式求出a的范围,命题q为真时利用判别式及韦达定理求出a的范围,命题和命题不都为假命题时即为真,两范围取并集即可.【详解】

∵,∴,解得;

∵方程有两不同正根,∴,利用判别式和韦达定理可得:

解得,∵为真,∴.【点睛】

本题考查根据“或“的真假求参数范围,涉及三角不等式,韦达定理,属于中档题.18.已知正项等差数列满足,等比数列的前项和满足,其中是常数.

(1)求以及数列、的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

【答案】(1),;,;(2)

【解析】(1)根据等差数列的性质得,结合,求出,进而求出的通项公式;由已知等比数列的前项和,利用通项与前项和关系,可求出结论;

(2)由,用错位相减法,即可求解.【详解】

解:(1)数列为正项等差数列,公差,又,,可得,即可得;

当时,当时,②

①②即可得,又为等比数列,即可得,;

(2)由题意得,③,④

③④可得:.

【点睛】

本题考查等差数列通项基本量的运算,考查已知等比数列的前求参数及通项,考查错位相减法求数量的前和,属于中档题.19.在三角形中,、、分别为角、、的对边,且.

(1)求角的大小;

(2)若,求面积的最大值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)根据题意化简得到,计算得到答案.(2)根据余弦定理得到,再利用均值不等式得到,代入面积公式得到答案.【详解】

(1)由题意得,化简得,∴,即可得,∴;

(2)∵,由余弦定理得

即可得,∴

当时等号成立.【点睛】

本题考查了三角恒等变换,余弦定理,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.20.如图,已知四棱锥的底面为菱形,且,是中点.

(1)证明:平面;

(2)若,求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】(1)连接BD交AC于F,连接EF,证明EF∥PB得到结论.(2)先确定AP⊥BP且△ABC为正三角形,取AB中点M,连接PM、CM,证明PM⊥平面ABCD,根据得到答案.【详解】

(1)连接BD交AC于F,连接EF

∵四边形ABCD为菱形,∴F为AC中点,那么EF∥PB

又∵平面ACE,平面ACE∴PB∥平面ACE;

(2)由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC为正三角形,∵E为DP中点,∴,取AB中点M,连接PM、CM,由几何性质可知PM=1,又∵PC=2,∴PC2=PM2+MC2,即PM⊥MC,∵PM⊥AB,∴PM⊥平面ABCD,∴,∴.

【点睛】

本题考查了线面平行,体积的计算,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.为庆祝建国70周年,某高中准备设计一副宣传画,要求画面面积为,画面高与宽的比为,画的上下部分各留出的空白,左右部分各留出的空白.(1)当时,该宣传画的高和宽分别为多少?

(2)如何确定画面的高与宽,使得宣传画所用纸张面积最小,并求出此时的值.【答案】(1)54,126(2)画面的高为,宽;

【解析】(1)设画面的高为,宽,由面积列出方程求出x即可得解;(2)

设画面的高为,则宽为,求出面积表达式利用基本不等式即可求得最小值.【详解】

(1)设画面的高为,宽,由题意得,解得,∴该画的高为:,宽为:;

(2)设画面的高为,则宽为,根据题意得

当且仅当即时等号成立,此时宽为,∴.【点睛】

本题考查函数的实际应用,涉及基本不等式求和的最小值,属于基础题.22.设函数为常数

(1)若函数在上是单调函数,求的取值范围;

(2)当时,证明.【答案】(1)

;(2)

证明见解析.【解析】(1)对函数求导,单调分单调增和单调减,利用或在上恒成立,求得实数的取值范围;

(2)利用导数研究函数的单调性,求得结果.【详解】

(1)由得导函数,其中.当时,恒成立,故在上是单调递增函数,符合题意;

当时,恒成立,故在上是单调递减函数,符合题意;

当时,由得,则存在,使得.当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,故在上是不是单调函数,不符合题意.综上,的取值范围是.(2)由(1)知当时,即,故.令,则,当时,所以在上是单调递减函数,从而,即.【点睛】

该题考查的是有关导数的应用,涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围,利用导数证明不等式,属于中档题目.

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