2019-2020学年百师联盟上学期期中数学（文）试题
一、单选题
1．（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据复数代数形式的四则运算法则，即可求出．
【详解】，故选：B．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，属于基础题．
2．已知全集，集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据补集定义先求出，再由交集的运算即可求出．
【详解】，所以，故选：A．
【点睛】
本题主要考查集合的交集，补集运算，属于基础题．
3．在抽样调查中，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性,给出下列三个抽样问题：
①高三（1）班想从8个班委中抽出2人参加会议；
②教育部门想了解某地区中小学学生近视情况，将在该地区全体学生中抽取2%的学生进行调查；
③工厂要检验某种产品合格情况，从一批产品中抽取1%进行检验.则这三个问题对应的抽样方法较为恰当的一组是（）
A．①简单随机抽样
②系统抽样
③分层抽样
B．①简单随机抽样
②分层抽样
③系统抽样
C．①系统抽样
②简单随机抽样
③分层抽样
D．①系统抽样
②分层抽样
③简单随机抽样
【答案】B
【解析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点与适用条件，即可作出判断．
【详解】
①样本容量为8，抽取样本数为2，用简单随机抽样方便快捷；
②由于年龄差异大，学生近视情况差异较大，应从每个年龄段抽取2%的学生，样本更能代表总体，所以应采用分层抽样方法．
③由于样本数较大，且个体无明显差异，可将这批产品随机编号，按系统抽样方法抽取1%进行检验，易操作，故选：B．
【点睛】
本题主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点与适用条件，属于基础题．
4．谢尔宾斯基三角形（Sierpinski
triangle）是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：
（1）取一个实心的等边三角形（图1）；
（2）沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；
（3）挖去中间的那一个小三角形（图2）；
（4）对其余三个小三角形重复（1）（2）（3）（4）（图3）.制作出来的图形如图4，….若图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据图形的特点，观察规律，即可归纳出相邻图形之间的面积关系，由此求出．
【详解】
设图1的面积为，图2被挖去的面积占图1面积的，则图2阴影部分的面积为，同理图3被挖去的面积占图2面积的，所以图3阴影部分的面积为，按此规律图1、图2、图3…的面积组成等比数列：,公比为．由已知图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为，故选：C．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，属于基础题．
5．正方形ABCD和矩形BEFC组成图1，G是EF的中点，BC=2BE.将矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，连接AG，DF，得到图2，则（）
图1.图2.A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】根据平面图形翻折前后，相关线段或直线的位置变化可知，并未改变，所以可知在一个平面内，又因为,所以是相交直线．再根据条件可得平面，所以，即．
【详解】
如图，连接，因为，且，同理，且,所以,且，故为平行四边形，所以在一个平面内．
又因为,所以是相交直线．由题知，所以平面．
故平面，所以，所以，即．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平面图形翻折前后相关线段或直线位置变化，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
6．已知的三个内角所对的边分别为,且，则的一定是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【解析】法一：根据变形，利用两角差的正弦公式即可得出，即可判断的一定是等腰三角形；
法二：利用同角三角函数商的关系可得，有，即可判断的一定是等腰三角形；
法三：根据正弦定理和余弦定理，即可得到，即可判断，一定是等腰三角形．
【详解】
解法一：因为，则，即，所以，所以一定是等腰三角形．
解法二：因为，所以,即，所以，所以的一定是等腰三角形．
解法三：由正弦定理，所以，由余弦定理得，所以，所以的一定是等腰三角形．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形形状的判断，涉及两角差的正弦公式，同角三角函数商的关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
7．执行下边的程序框图，如果输入的，则输出的值等于（）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】C
【解析】根据程序框图，执行循环，依次求出的值并判断，直至跳出循环，即可求出输出的值．
【详解】
第1次循环：是，；
第2次循环：是，；
第3次循环：是，；
第4次循环：否，输出，结束程序．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图的理解，属于基础题．
8．如图是某棱锥的三视图，其主视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边的长为1，则该棱锥的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据三视图还原几何体，即可求出该棱锥的体积．
【详解】
三视图为一个三棱锥，将三棱锥放在一个棱长为1的正方体中，如图，故该三棱锥的高为1，底面积为，所以该棱锥的体积为，故选：C．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体以及棱锥的体积公式应用，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．
9．抛物线的焦点为F，准线为，点在上，经过点且平行于轴的直线交于点，若，则（）
A．3
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：利用勾股定理可求出点的纵坐标，然后由点在抛物线上，即可求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求出．
法二：根据平面几何知识可得，∽，所以，即可求出．
【详解】
由抛物线可得．
解法一：因为，所以．设，代入方程得，所以，由抛物线定义知，．
解法二：设与轴的交点为，则为的中点，又因为，所以，则∽，所以，即，所以．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10．已知，为的中点，且，则的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，求出点的坐标，设出点，求得，即可求出的最大值．
【详解】
因为，所以在以为圆心半径为1的圆上．
以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，因为，为的中点，所以．
则，设，则，所以，因为，当与重合，即时，．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用解析法求解向量数量积的最值问题，解题关键是通过建系将向量关系转化为函数关系，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
11．已知数列的前项和为，且，则（）
A．1010
B．1011
C．2019
D．2020
【答案】D
【解析】对关系式进行赋值，即可求出，根据合情推理得，所以．
【详解】
因为，令，则，又，所以；
令，则，所以，即，所以．
所以，根据合情推理得，所以．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查赋值法和合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．
12．记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项．
【详解】
不妨设，因为，设，则,所以在单调递增，所以，即，从而．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题．
二、解答题
13．已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_______；
【答案】
【解析】设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，即可求出轨迹方程．
【详解】
设，则，因为,所以，即，当，即，即．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．
14．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；
【答案】
【解析】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的下底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，分别求出，即可得到该模型的表面积．
【详解】
如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆柱、圆锥侧面积的公式应用，属于基础题．
15．甲、乙、丙三位同学周末参加一项志愿者服务，有A，B两处场地可供选择，且每个人只能选择一处场地，则甲、乙、丙选择同一处场地的概率为_____；
【答案】
【解析】先列举出甲、乙、丙三位同学选择志愿服务场地的所有情况，再找出甲、乙、丙选择同一处场地的情况，根据古典概型的概率计算公式，即可求出．
【详解】
甲、乙、丙三位同学选择志愿服务的场地情况共有：；
甲、乙、丙三位同学选择同一处场地有．所以．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题．
16．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____；
【答案】
【解析】根据函数在上单调递增，可知在上恒成立，即在上恒成立，即可求解．
【详解】
因为，所以，函数在上单调递增，可知在上恒成立，即，所以，即，则实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与其导数的关系应用，属于基础题．
17．已知数列是等差数列，是递增等比数列，满足：.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，根据题意列出两个方程，即可解出，由此得到数列的通项公式；
（2）根据的形式，采用错位相加法可求出数列的前项和．
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题设知．
因为，则，消去得，解得或（舍去）．
当时，所以．
（2）由（1）得
则,所以，两式相减得,所以，故．
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的运算能力，属于中档题．
18．已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数.（1）求；
（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据的图象关于直线对称，可得，又因为
在上为单调函数，所以，故可求出；
（2）先利用辅助角公式求出，然后求出，根据正弦函数的图象可得，即可求出．
【详解】
（1）因为函数的图像关于直线对称．
则，所以．
又在上为单调函数，所以，即，当满足题意，当或不满足题意．故．
（2）设，则，由（1）得，因为，则，所以．
故．所以取值范围是．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，辅助角公式的应用以及正弦型函数在闭区间上的值域求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19．某企业为了解某产品的销售情况，选择某个电商平台对该产品销售情况作调查.统计了一年内的月销售数量（单位：万件），得到该电商平台月销售数量的茎叶图.（1）求该电商平台在这一年内月销售该产品数量的中位数和平均数；
（2）该企业与电商签订销售合同时规定：如果电商平台当月的销售件数不低于40万件，当月奖励该电商平台10万元；当月低于40万件没有奖励，用该样本估计总体，从电商平台一个年度内高于该年月销售平均数的月份中任取两个月，求这两个月企业发给电商平台的奖金为20万元的概率.【答案】（1）中位数为33（万件），平均数为32.5；（2）
【解析】（1）由茎叶图可知，12个数据中间两个数据为32,34，所以中位数为33，由平均数公式可计算出电商平台的月销售数量的平均数；
（2）一年内月销售量高于平均数的月份有6个，其中这6个月能获奖励的月份有3个月，记为，不能获奖励的份为，列举出从这6个月抽出的两个月的所有可能情况，再找出抽到的两个月都获奖励的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】
（1）由茎叶图知，电商平台的月销售数量的中位数为33（万件），电商平台的月销售数量的平均数为：
（万件）．
（2）由题知，一年内月销售量高于平均数的月份有6个，其中这6个月能获奖励的月份有3个月，记为，不能获奖励的份为．
记从一个年度内高于该年月销售平均数的月份中抽到的两个月都获奖励的事件为．
则从一个年度内高于该年月销售平均数的月份中抽出的两个月的所有可能为：
．
共有15种可能．抽到的两个月都获奖励的可能为：，共有3种，所以．
所以，这两个月企业发给电商平台的奖金为20万元的概率为．
【点睛】
本题主要考查根据茎叶图求中位数和平均数以及计算古典概型的概率，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题．
20．在三棱锥中，已知是等边三角形，分别是的中点，且.（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）欲证，只需证明平面．易证平面，可得，再根据勾股定理可证，所以平面，即得证；
（2）设点到平面的距离为，由等积法得，即，分别求出，以及，即可求出．
【详解】
（1）证明：连接，因为是的中点，所以．
同理，所以平面．又平面，所以．故，又，所以为等腰直角三角形．在等边中，可求得，所以，而，则．故平面，又因为平面，所以．
（2）取的中点，连接，则，所以，因为为的中点，所以．
设点到平面的距离为，所以，又，故．
所以点到平面的距离．
【点睛】
本题主要考查异面直线垂直的证明以及点到面的距离的求法，涉及线面垂直的定义、判定定理的运用以及点到面的距离的求法----等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力．
21．已知直线，点是直线上的动点，过点作直线，线段的垂直平分线交于点，记点运动的轨迹为.（1）求的方程；
（2）已知，且点满足，经过的直线交于两点，且为的中点，证明：为定值.【答案】（1）；（2）定值12，见解析
【解析】（1）设出点，直接利用，列出方程化简即可得的方程；
（2）设出，由可得，又为的中点，所以，最后根据抛物线的焦半径公式可得．
【详解】
（1）设，则，因为点在线段的垂直平分线上，则．
则，化简得．
所以的方程为．
（2）设，则，因为，所以，可得，又为的中点，所以，则．
因为在抛物线上，．
所以．
【点睛】
本题主要考查利用直接法或者定义法求抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质的应用，涉及设而不求，整体思想的运用，属于中档题．
22．已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据导数的几何意义，可知，即可解出的值；
（2）构造函数，要恒成立，即要恒成立，只需
即可，利用导数，分类讨论函数的单调性，求出最值即可求得的取值范围．
【详解】
（1）函数的定义域为，而，所以，令，解得．
（2）因为，构造函数，要恒成立，即要恒成立．又．
当时，所以在上单调递增，而，不满足题意．
②当时，），则，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故时，取得最大．令，即，解得．
综上，所求的取值范围是
【点睛】
本题主要考查导数几何意义的应用以及利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题．
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