2020届江西师大附中高三上学期期中数学（文）试题
一、单选题
1．已知全集，，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出中方程的解，确定集合，根据全集求出的补集，找出与补集的交集即可．
【详解】
解：由中的方程变形得：，解得：或，即，全集，则，故选：．
【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
2．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】复数为纯虚数，则且，解得，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件．
故选．
3．已知向量，则向量在上的投影为（）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】设向量与的夹角为，求得的值，只根据向量在上的投影为，计算求得结果．
【详解】
解：由题意可得，，设向量与的夹角为，则，向量在上的投影为，故选：．
【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．
4．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（）
A．1030人
B．1050人
C．950人
D．970人
【答案】D
【解析】根据样本容量和男生比女生少6人，可得样本中男生数，再根据抽取的比例可得总体中的男生人数．
【详解】
解：样本容量为200，男生比女生少6人，样本中男生数为97人，又分层抽样的抽取比例为，总体中男生数为人．
故选：．
【点睛】
本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键，属于基础题．
5．在双曲线中，已知c，a，b成等差数列，则该双曲线的离心率等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由等差数列的中项的性质，可得，由，的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】
解：因为，成等差数列，可得，即，即为，即，．
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等差数列的中项的性质，考查双曲线的基本量的关系，以及运算能力，属于基础题．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案
【详解】
解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积，高，故体积；
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于基础题．
7．将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得的表达式，进而求得的最小值．
【详解】
将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍后解析式变为
因为图像关于直线对称
所以
代入化简得，k∈Z
所以当k=0时，取得最小值为
所以选D
【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．
8．已知图是下列四个函数之一的图象，这个函数是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令与验证，排除，而中，当时，函数值恒小于，不符合；选．
【详解】
解：令与验证，中，，不符合；
中，，不符合；
中，当时，即函数值恒小于，不符合；
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数的图象与函数解析式之间的关系，从特殊值入手，用排除法解选择题是有效的方法．
9．抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，垂足为A，若直线AF的斜率为，则等于（）
A．8
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】求出直线的方程，求出点和的坐标，利用抛物线的定义即可求的值．
【详解】
解：抛物线方程为，焦点，准线方程为，直线的斜率为，直线的方程为，当时，可得点坐标为，为垂足，点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，利用抛物线的定义是解决本题的关键，属于中档题．
10．设等比数列的前n项和为，若，则数列的前100项和为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通过与作差可得，进而可知，利用裂项相消法计算即得结论．
【详解】
解：，当时，两式相减得：，又，数列为等比数列，即，，所求值为，故选：．
【点睛】
本题考查数列的通项及前项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．
11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名.无论是否把我算在内，下面说法都是对的.在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生.”请你推断说话的人的性别与职业是（）
A．男医生
B．女医生
C．男护士
D．女护士
【答案】A
【解析】设女护士人数为，男护士人数为，女医生人数为，男医生人数为，根据已知构造不等式组，推理可得结论．
【详解】
解：设女护士人数为，男护士人数为，女医生人数为，男医生人数为，则有：
①；②；③；④；⑤；
得出：
假设：
仅有：，，时符合条件，又因为使中任意一个数减，依然符合条件，只有符合，即为男护士，假设：
则没有能满足条件的情况
综上，这位说话的人是男护士，故选：．
【点睛】
本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，属于中档题.12．函数上任意一点处的切线，在其图像上总存在异与点A的点，使得在B点处的切线满足，则称函数具有“自平行性”.下列有关函数的命题：
①函数具有“自平行性”；②函数具有“自平行性”；
③函数具有“自平行性”的充要条件为实数；
④奇函数不一定具有“自平行性”；⑤偶函数具有“自平行性”.其中所有叙述正确的命题的序号是（）
A．①③④
B．①④⑤
C．②③④
D．①②⑤
【答案】A
【解析】根据已知中函数具有“自平行性”的定义，逐一分析5个函数是否具有“自平行性”，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
解：函数具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量，总存在，使得．
对于①，具有周期性，必满足条件，故①正确；
对于②，对任意，不存在，使得成立，故②错误；
对于③，当时，而时，解得（舍去）或，则，故③正确；
对于④，不符合定义，故④正确；
对于⑤，同④，其导函数为偶函数，故⑤不正确．
故选：．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数具有“自平行性”的定义，正确理解函数具有“自平行性”的定义，是解答的关键．
二、填空题
13．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是.【答案】23
【解析】试题分析：执行程序框图，依次得到，符合条件，输出，其值为23.【考点】程序框图.14．在等差数列中，对任意正整数n，都有﹐则________.【答案】2015.【解析】设等差数列的公差为，根据，得到，两式相减得到，再令，求出，问题得以解决．
【详解】
解：设等差数列的公差为，，，当时，，故答案为：2015．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．已知x，y满足，且的最小值为8，则正实数a的取值范围为________.【答案】.【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据的最小值为8，确定直线满足的条件即可得到结论．
【详解】
解：设，则的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，圆心到直线的距离，此时，满足的最小值为8，即切点在区域内，即在的上方，的斜率为，的斜率，即的直线方程为，由，解得，即，则满足，解得，，故答案为：．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定直线满足的条件，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于中档题
16．已知棱长等于的正方体，它的外接球的球心为O﹐点E是AB的中点，则过点E的平面截球O的截面面积的最小值为________.【答案】.【解析】当过球内一点的截面与垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值．
【详解】
解：棱长等于的正方体，它的外接球的半径为3，当过点的平面与垂直时，截面面积最小，，故答案为：．
【点睛】
本题考查过点的平面截球的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．
三、解答题
17．在中，角，的对边分别为，，且满足.（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）;（2）
【解析】试题分析：（1）由平面向量的数量积定义与正弦定理进行化简的值，进而求教B;（2）利用余弦定理与基本不等式进行求解．
试题解析：（1）由题意得（a－c）cosB＝bcosC．
根据正弦定理有（sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin（C＋B），即sinAcosB＝sinA．
因为sinA>0，所以cosB＝，又B∈（0，π），所以B＝．
（2）因为||＝，所以
即b＝
根据余弦定理及基本不等式得
6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－）ac（当且仅当a＝c时取等号），即ac≤3（2＋）．
故△ABC的面积S＝acsinB≤．
【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．
18．汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2015年开始，将对排放量超过130g/km的型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类型品牌抽取5辆进行排放量检测，记录如下（单位：g/km）：
甲
120
140
150
乙
120
x
y
160
经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为.（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆排放量超标的概率是多少?
（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的的排放量的稳定性要好，求x的范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意逐个列出从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的排放量结果及事件包含的结果，利用古典概型事件的概率公式即可求得；
（Ⅱ）由题意算出甲乙的平均值，并算出方差，利用乙类品牌的车的排放量稳定性比甲类品牌的车的排放量的稳定性好，建立方程求解．
【详解】
解：（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的排放量结果：，，，，，设“至少一辆不符合排放量”为事件，则包含以下种结果：，，，所以.（Ⅱ）因为，所以，.因为，所以
由乙类品牌的车的排放量稳定性比甲类品牌的车稳定性要好，得
即，所以，解得
所以的取值范围为
【点睛】
本题考查了古典概型的事件的概率，还考查了方差的意义及利用方差意义建立方程，还考查了一元二次方程的求解，属于中档题．
19．已知四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，.（Ⅰ）求证：平面平面PAC；
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为，求的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）结合，由面面垂直的判定定理易证；
（Ⅱ）利用等体积法，结合题目所给条件即可得出所求的值．
【详解】
（Ⅰ）证明：平面，平面，在菱形中，有，平面，平面，平面，又平面，平面平面
（Ⅱ）解：，在中，有．
在中，，，．的值为．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查等体积法的运用，属于中档题．
20．如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，证明见解析.【解析】（Ⅰ）由已知得，数形结合求得的坐标，代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设，由，是切点，可知、、、四点共圆．分别写出以为直径的圆的方程与圆的方程，联立可得所在直线方程求出直线在，轴上的截距，结合在椭圆上可得的值是定值．
【详解】
解：（Ⅰ）依题意知：椭圆的长半轴长，则，设椭圆的方程为
由椭圆的对称性知，又，为等腰直角三角形，点C的坐标为，点B的坐标为，将C的坐标代入椭圆方程得
所求的椭圆的方程为
（Ⅱ）设点，由，是的切点知，，、、、四点在同一圆上，且圆的直径为OP则圆心为，其方程为，即
①
即点，满足方程①，又点，都在上，坐标也满足方程
②
②①得直线的方程为，令，得，令得，，又点Р在椭圆E上，即为定值.【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
21．已知为常数，函数，（其中是自然对数的底数）.（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；
（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【答案】(1)
;(2)
.【解析】试题分析：（1）先对函数求导，可得切线的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函数，可证；（2）由，先研究函数，则，由在上是减函数，可得，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求出参数范围.试题解析：（1）（），所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故．
（2），设，则，易知在上是减函数，从而．
①当，即时，在区间上是增函数，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∴在区间上是减函数，所以满足题意．
②当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，又∵，∴，又∵，∴在内有唯一一个零点，当时，当时，.从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.∴不合题意．综上①②得，．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t是参数，），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）当时，曲线和相交于M、N两点，求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，进行代换即得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）联立，的方程消去得，求出，圆心，即可得到以线段为直径的圆的直角坐标方程．
【详解】
解：（Ⅰ）对于曲线消去参数得；
当时，；当时，.对于曲线，则
（Ⅱ）当时，曲线的方程为，联立，的方程消去得，即，圆心为，即，从而所求圆方程为.【点睛】
本题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系等基本方法，属于基础题．
23．已知函数定义域为R.（Ⅰ）求实数m的取值范围;
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由函数定义域为，可得恒成立，利用绝对值几何意义求出其最小值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，变形，利用基本不等式的性质即可得．
【详解】
（Ⅰ）定义域为．，根据绝对值的几何意义，可得：，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
.当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】
本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
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