2018-2019学年师大附中高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年师大附中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合,则为（）.A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据条件解出集合，再根据交集的概念即可求出.【详解】

解：集合，又集合所以.故选：C.【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.【详解】

解：

A.在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B.在定义域内为减函数，但不是奇函数.C.是偶函数，也不单调递减.D.是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3．函数与的图象只可能是下图中的（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】观察选项AC，均单调递增，则，则直线所过定点在1的上方，选项BD，单调递减，则，则直线所过的定点在1的下方且在y轴正半轴上，由此可以判断选项.【详解】

解：选项AC中，单调递增，则，过定点在（0,1）点上方，所以A、C不正确.选项BD中，单调递减，则，过定点在（0,1）点下方，所以B正确，D不正确.故选：B.【点睛】

本题考查指数函数和一次函数的图像，考查指数函数的性质，属于基础题.4．已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数存在“倍增区间”，若函数单调递增，则，若函数单调递减，则，根据条件逐个分析选项，求解即可.【详解】

解：对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确.对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确.对于C：，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若，仍然无解，所以C不正确.对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确.故选：B.【点睛】

本题考查函数新定义题型，考查函数的单调性以及构造函数求解问题，属于中档题.二、填空题

5．若幂函数为常数）的图象过点，则的值为_____.【答案】

【解析】根据函数所过定点，可以求出函数的解析式，只需代入即可求得的值.【详解】

解：因为幂函数为常数）的图象过点，所以，解得：，所以，则.故答案为：.【点睛】

本题考查根据图像所过点求幂函数的解析式问题，考查具体函数求值问题，属于基础题.6．设，,则按从小到大排列的顺序是_______.【答案】

【解析】因为，，所以根据函数值的范围即可比较出大小顺序.【详解】

解：，，所以按从小到大排列的顺序是.故答案为：.【点睛】

本题考查指对幂大小的比较，中间值法是常用的方法，属于基础图.7．已知集合若则实数的取值范围是_______.【答案】

【解析】由得，则可根据子集的定义列出不等式求解即可.【详解】

解：则，所以，解得：.故答案为：.【点睛】

本题考查子集的定义和运算，考查不等式的解法，属于基础题.8．函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.9．已知函数，则的值是______.【答案】1

【解析】根据条件，先代入，求得的值，再根据函数值代入相应的解析式计算，则可求出结果.【详解】

解：函数，所以，则

.故答案为：1

【点睛】

本题考查分段函数求值，比较范围，逐步代入解析式是解题的关键，属于基础题.10．若，则______

【答案】1

【解析】由求得，利用对数的运算法则化简即可.【详解】

因为，所以，则，故答案为1.【点睛】

本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.11．函数的最小值是______.【答案】2

【解析】令，对函数进行换元，则原式等价于求的最小值.对二次函数配方即可求函数的最小值.【详解】

解：令，则原式等价于求的最小值.，函数图像开口向上，对称轴为，所以当时，y有最小值为2.故答案为：2.【点睛】

本题考查求复合型二次函数的最小值，解题的关键是换元后注意范围的变化，属于基础题.12．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则满足的实数的取值范围是______.【答案】

【解析】函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，可以得出在区间上是单调减函数，又，所以，结合单调性即可求出的解，将整体代入，即可求出x的范围.【详解】

解：函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，所以在区间上是单调减函数，又，所以.的解为：，则的解为：，即.故答案为：.【点睛】

本题考查函数的奇偶性，考查函数奇偶性单调性的综合应用，考查整体代换和转化的思想，解题的关键是时刻注意函数的定义域，属于基础题.13．若函数在区间上有，则的单调减区间是_______.【答案】

【解析】由题意当时，又，得.则根据复合函数的单调性即可求出的单调减区间.【详解】

解：因为，所以，又，所以.根据复合函数单调性法则：的单调减区间为的单调增区间，又，所以的单调减区间为.故答案为：.【点睛】

本题考查对数函数的取值范围，考查求复合函数的单调区间，解题的关键是注意函数的定义域，属于基础题.14．设函数，则使得成立的实数的取值范围是_______.【答案】或.【解析】观察函数，可知函数为偶函数，且在区间上单调递增，则根据函数的奇偶性和单调性，若成立，则，求解即可得出的取值范围.【详解】

解：函数为偶函数，且在区间上单调递增，所以若成立，则，变形为：解得：或.故答案为：或.【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.三、解答题

15．计算

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据指数的运算性质化简即可.（2）根据对数的运算性质化简即可求出答案.【详解】

解：（1）=.（2）=.【点睛】

本题考查指数函数，对数函数的运算性质，解题的关键是牢记公式并且灵活运用，属于基础题.16．已知全集，集合（1）求；

（2）设实数，集合,若求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出集合B，根据并集的定义和运算求出即可.（2），又，所以，则根据交接为空集列出不等关系求解即可.【详解】

解：（1）=，又集合，所以.（2）集合，又，所以.，则或，解得：或.【点睛】

本题考查并集的概念和运算，考查根据交集为空求解，涉及到指数函数的运算，属于基础题.17．已知函数

（1）求函数的定义域

（2）求不等式成立时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)

函数的定义域为和

定义域的交集，求出函数和的定义域，再求交集即可求出结果.(2)

等价于，解不等式，再结合定义域即可求出实数的取值范围.【详解】

解：（1）的定义域为，的定义域为.所以函数的定义域为.（2）不等式，等价于，即：，解得：.又定义域为，所以实数的取值范围为.【点睛】

本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，属于基础题.18．已知定义在上的函数的图像关于原点对称

（1）求实数的值;

（2）求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，代入即可求出m的值.（2）由（1）可求，结合指数函数的性质即可求值域.【详解】

解：（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则有，所以.证明，当时，关于原点对称，所以成立.（2），由于，所以，所以.所以的值域为.【点睛】

本题考查了函数奇偶性的应用，同时考查了指数函数值域的求解，属于中档题.19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：.如图，学校在点处，商店在点,小明家在点处，某日放学后，小明沿道路从学校匀速步行到商店，已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行分钟时，小明与家的距离为个单位长度.（1）求关于的解析式;

（2）做出中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，从A到B直线行走，起始点的横坐标为1，所以步行分钟后，横坐标为，不变，则根据距离的新定义可求出关于的解析式.（2）根据解析式做出图像，由图像解方程即可求出结果.【详解】

解：（1）步行分钟时，小明仍在AB之间，所以小明的坐标为，则小明与家的距离为.所以关于的解析式为：

.（2）图像如图：.当

故当小明离家的距离不大于7个单位长度时，.【点睛】

本题考查函数与解析式新定义题型，考查根据解析式做出函数图像，解题的关键是对新定义一定要理解深刻，属于中档题.20．设M为满足下列条件的函数构成的集合，存在实数，使得.（1）判断是否为M中的元素，并说明理由；

（2）设，求实数a的取值范围；

（3）已知的图象与的图象交于点，,证明：是中的元素，并求出此时的值（用表示）.【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）x0＝，证明见解析

【解析】根据集合M的定义，可根据函数的解析式f（x0+1）＝f（x0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符合集合M的定义；

（2）设h（x）＝∈M，则存在实数x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立，解出a的取值范围即可；

（3）利用f（x0+1）＝f（x0）+f（1）和y＝2ex（x＞）的图象与y＝为图象有交点，即对应方程有根，与求出的值进行比较即可解出x0．

【详解】

解：（1）设g（x）为M中的元素，则存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）；

即（x+1）2＝x2+1，∴x＝0，故g（x）＝x2是M中的元素．

（2）设h（x）＝∈M，则存在实数x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立；

即lg＝lg+lg；

∴＝；∴（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2＝0，当a＝2时，x＝﹣；

当a≠2时，则△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；

解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；

∴实数a的取值范围为：[3﹣，3+]．

（3）设m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2∈M，则m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

∴ln[3（x0+1）﹣1]﹣（x0+1）2＝ln（3x0﹣1）﹣x02+ln2﹣1；

∴ln＝2x0；

∴＝；∴＝2；

由于y＝2ex（x＞）的图象与y＝为图象交于点（t，2et），所以2et＝；

令t＝2x0，则2＝＝；

即存在x0＝，使得则m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

故m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2是M中的元素，此时x0＝．

【点睛】

本题主要利用元素满足恒等式进行求解，根据指数和对数的性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析解决问题的能力，属于中档题．