2018-2019学年市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合，那么
()
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解出集合B，利用交集的运算求解即可得到答案.【详解】,，则
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．sin70°cos40°﹣cos70°sin40°的值等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】
.故选：A
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.3．下列函数中与函数是同一个函数的是（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据同一函数的定义,从定义域、对应关系两方面入手进行判断即可.【详解】
解：的定义域为，对应法则是“函数值与自变量相等”．
选项：的定义域为,定义域与的定义域不同；
选项：，定义域与对应关系与相同；
选项：,而,对应关系与不同；
选项：的定义域为,定义域与的定义域不同．
故选：B
【点睛】
本题考查了同一函数的定义,求函数的定义域、判断对应关系是否一不致是解题的关键.4．幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（）
A．
B．64
C．2
D．
【答案】A
【解析】设出幂函数，求出幂函数代入即可求解.【详解】
设幂函数为，且图象过点（4，2），解得，所以，故选：A
【点睛】
本题考查幂函数，需掌握幂函数的定义，属于基础题.5．在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
【答案】C
【解析】由零点存在性定理即可得出选项.【详解】
由函数为连续函数，且，所以，所以零点所在的区间为，故选：C
【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，在运用零点存在性定理时，函数为连续函数，属于基础题.6．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2rad，则这个扇形的面积为（）
A．25cm2
B．5cm2
C．cm2
D．cm2
【答案】C
【解析】首先由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式即可求解.【详解】
扇形的弧长，所以周长，即，所以，故选：C
【点睛】
本题主要考查弧长公式、扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.7．如果角θ的终边经过点（3，﹣4），那么sin（θ）cos（π﹣θ）的值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义求出、的值，再利用诱导公式即可求解.【详解】
角θ的终边经过点（3，﹣4），，故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题.8．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
A．①②④
B．④②③
C．①②③
D．④①②
【答案】D
【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；
【详解】
离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为，故应先选图像（4）；
途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；
后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.9．将函数f（x）＝cos（2x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，那么所得图象的函数表达式为（）
A．y＝cosx
B．y＝cos（4x）
C．y＝cos4x
D．y＝cos（x）
【答案】A
【解析】根据图像的平移伸缩变换即可求解.【详解】
函数f（x）＝cos（2x）的图象向右平移个单位，得，将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得
故选：A
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移伸缩变化，平移变换的法则：相对且“左加右减”，属于基础题.10．已知两个向量||＝1，||＝2，（）2，则向量与的夹角为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据向量的数量积即可求出夹角.【详解】
设向量与的夹角为
由
所以，解得，故选：C
【点睛】
本题考查了向量的数量积求向量的夹角，需掌握向量数量积的定义以及计算公式，属于基础题.11．若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（）
A．b＞c＞a
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【答案】D
【解析】把化为以为底的指数和对数，利用中间值“”以及指数函数的单调性即可比较大小.【详解】，，又因为为增函数，所以，即
综上可得，a＞c＞b
故选：D
【点睛】
本题考查了利用中间值以及函数的单调性比较数的大小，属于基础题.12．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图像可以知道，故，其中，考虑函数为单调减函数，所以其值域为，选D.点睛：此问题为多变量问题，我们需要通过函数的图像找出各个变量的之间的关系，把目标函数转化为一元函数，注意的取值范围.二、填空题
13．_____．
【答案】1
【解析】由指数幂以及对数的运算性质即可求解.【详解】
.故答案为：1
【点睛】
本题主要考查指数与对数的运算，要熟记对数的运算性质，属于基础题.14．函数f（x）满足f（x），则f（3）的值为_____．
【答案】﹣2
【解析】将代入表达式，得到，然后再求出的值即可.【详解】
由，所以，又，所以，故答案为：
【点睛】
本题主要考查分段函数求值，属于基础题.15．已知函数的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.【答案】.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得的值，利用周期公式求出，利用当时函数取得最大值1，求出，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，所以，当时取得最大值1，所以，结合，解得，所以函数的解析式是.点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数由最值和周期所决定，由特殊点所确定，最后求得结果.16．函数y＝cosπx的图象在y轴右侧的第一个最高点为A，第一个最低点为B，O为坐标原点，则tan∠OAB的值为_____．
【答案】
【解析】首先求出点的坐标以及向量、的坐标，再根据向量的数量积求出的余弦，由同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】
由题意可知：O（0，0），A（2，1），B（1，﹣1）；
∴，；
∴，∴；
∴tan∠OAB.故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数的性质、向量的坐标运算、向量的数量积求夹角、同角三角函数的基本关系，综合性比较强，三、解答题
17．已知不共线向量与，其中（2，m），（1，2）．
（1）若（）⊥，求m的值；
（2）若向量2与2共线，求m的值．
【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）由向量垂直的坐标运算：即可求解.（2）由向量共线的坐标运算：即可求解.【详解】
（1）（2，m），（1，2），则，∵，∴，解得；
（2），又与共线，∴3（m+4）﹣4（2m﹣2）＝0，解得m＝4．
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，需掌握向量垂直、共线的坐标表示，属于基础题.18．设全集U＝R，A＝（x∈R|m≤x≤2}，B＝（x|1≤x＜3}．
（1）若m＝1，求（∁UA）∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|2＜x＜3}；（2）[1，+∞）．
【解析】（1）由集合的基本运算即可求解.（2）由A∪B＝B可得A⊆B，然后分情况讨论：①A＝∅；②A≠∅即可求出实数m的取值范围．
【详解】
（1）m＝1时，A＝{x|1≤x≤2}，且B＝{x|1≤x＜3}，U＝R，∴∁UA＝{x|x＜1或x＞2}，∴（∁UA）∩B＝{x|2＜x＜3}；
（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B，且A＝{x|m≤x≤2}，①A＝∅时，m＞2；
②A≠∅时，1≤m≤2，∴m的取值范围为[1，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算、考查了集合的基本关系以及由包含关系求参数的取值范围，属于基础题.19．已知f（x）sinxcosx﹣3cos2x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值和最小值，并写出函数取最值时相对应的x的值．
【答案】（1）[，]，k∈Z；（2）当
x时，最大值；x＝0时，最小值.【解析】（1）由二倍角公式以及辅助角公式化简函数求得，再由正弦函数的单调递增区间即可求解.（2）由x∈[0，]求出2x∈[，]，再由正弦函数的最值即可求解.【详解】
∵f（x）sinxcox﹣3cos2x，，sin（2x），（1）由2x，可得，k∈z，f（x）的单调递增区间[，]，k∈Z.（2）由x∈[0，]可得，2x∈[，]，当2x即x时，函数取得最大值，当2x即x＝0时，函数取得最小值．
【点睛】
本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，需熟记公式与性质，此题属于基础题.20．已知：函数，（1）求函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）（﹣∞，0）∪（0，+∞），奇函数，理由见解析；（2）增函数，证明见解析．
【解析】（1）使函数表达式有意义即可求出定义域；由函数的奇偶性定义即可判断；
（2）由函数单调性定义即可证明.【详解】
（1）定义域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，∵f（﹣x）＝﹣xxf（x），∴函数f（x）是奇函数；
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）（）＝（x1﹣x2）（1），∵x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞），∴x1﹣x2＜0，10，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
【点睛】
本题考查了函数的定义域、奇偶性以及单调性，注意在判断单调性时，首先判断定义域是否关于原点对称，此题属于基础题.21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】【详解】
【解】（1）当时，设，所以当时，.当时，将(14，81)代入，得
于是
（2）解不等式组得
解不等式组得
故当时，答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．
22．已知函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求实数k的取值范围；
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求实数m的取值范围．（附：函数g（t）＝t在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）
【答案】（1）﹣1；（2）0≤t
；（3）m≤﹣3或m≥3．
【解析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.（2）采用换元把方程化为t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为
t与2+2k在[1，2]上有交点即可求解.（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把问题转化为1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究关于的函数h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.【详解】
（1）函数f（x）＝x2﹣2x+1+a对称轴为x＝1，所以在区间[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根据题意函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．
所以a＝﹣1．
（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若关于x的方程f（log2x）+1﹣2k•log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]
则f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，t2+2k在[1，2]上有解，令函数g（t）＝t，在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
所以g（1）≤2+2k≤g（2），即2≤2+2t，解得0≤t．
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，则1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.
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