2018-2019学年市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合M＝{x∈Z|0＜x＜6}，N＝{x|x＞3}，P＝M∩N，则P的子集共有（）
A．1个
B．2个
C．4个
D．8个
【答案】C
【解析】化简集合,根据交集定义,求出交集,根据子集定义,列举出子集即可得到.【详解】
因为,N＝{x|x＞3}
所以P＝M∩N,其子集有,共4个.故选:C
【点睛】
本题考查了交集的运算,考查了求子集的个数,属于基础题.2．函数y的定义域是（）
A．（﹣1，+∞）
B．（﹣1，0）∪（0，+∞）
C．[﹣1，+∞）
D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
【答案】B
【解析】由解得结果即可得到答案.【详解】
由
得且,所以函数y的定义域是.故选:B
【点睛】
本题考查了求具体函数的定义域,容易漏掉,属于基础题.3．已知角α终边上一点P（1，），则cosα＝（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据余弦函数的定义可得结果.【详解】
因为角α终边上一点P（1，）,所以,所以,所以.故选:A
【点睛】
本题考查了余弦函数的定义,属于基础题.4．函数f（x）＝tan（2x）的最小正周期是（）
A．
B．π
C．2π
D．4π
【答案】A
【解析】根据周期公式,计算可得.【详解】
由周期公式.故选:A
【点睛】
本题考查了的周期公式,熟练掌握公式是解题关键,属于基础题.5．已知a，b为实数，集合M＝{b，1}，N＝{a，0}，f：x→x为集合M到集合N的映射，则a+b等于（）
A．﹣1
B．2
C．1
D．1或2
【答案】C
【解析】根据且,可得答案.【详解】
依题意可知且,所以，所以.故选:C
【点睛】
本题考查了映射的概念,考查了集合中元素的互异性,属于基础题.6．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，0）
【答案】A
【解析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】
设,则,即,所以,所以,所以的递减区间为,故选:A
【点睛】
本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.7．下列函数中偶函数是（）
A．y
B．y＝sinx+2|sinx|
C．y＝ln（x）
D．y＝ex+e﹣x
【答案】D
【解析】利用特值排除法可排除,利用偶函数的定义可得正确.【详解】
令,则,不正确;
令,则，,所以不正确;
令,则,所以不正确;
令,则,所以正确.故选:D
【点睛】
本题考查了特值排除法解选择题,考查了偶函数的定义,属于基础题.8．直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），则△AOB（O为坐标原点）重心坐标为（）
A．（0，0）
B．（1，1）
C．（1，）
D．（，2）
【答案】C
【解析】取的中点,则重心为的一个靠近的三等分点,根据中点公式求出的坐标,根据可以求得的坐标即可.【详解】
如图:
设的中点为,重心为,则,为的靠近的三等分点,即,设,则,所以且,解得,所以.故选:C
【点睛】
本题考查了重心的性质,考查了中点公式,考查了向量的线性运算的坐标表示,属于基础题.9．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜c＜b
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.【详解】
因为,且为增函数,所以,因为且为递减函数,所以，所以.故选:A
【点睛】
本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.10．已知函数f（x）（a∈R），若f[f（﹣1）]＝2，则a＝（）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】按照从内到外的顺序,先求得,再求得,解方程即可得到答案.【详解】
因为,所以,解得.故选:B
【点睛】
本题考查了求分段函数的函数值,对于有多层函数符号的,要按照从内到外的顺序计算是解题关键,属于基础题.11．若O点是△ABC所在平面内任一点，且满足，则△OBC与△ABC的面积比为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连并延长交于,设，根据向量减法的逆运算可得,结合已知可得,解得,由此可得结果.【详解】
如图所示:连并延长交于,设，则,所以,所以,又,所以,解得,所以,所以,所以.故选:C
【点睛】
本题考查了向量共线定理,考查了向量减法的逆运算,考查了平面向量基本定理,考查了三角形的面积,属于中档题.12．已知曲线C1：y＝sinx，C2：y＝cos（2x），则下面结论正确的是（）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】将变成后,根据周期变换和平移变换结论可得答案.【详解】
由,因此把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线是正确的.故选:D
【点睛】
本题考查了诱导公式,考查了三角函数图像的周期变换和平移变换,属于基础题.二、填空题
13．若的圆心角所对的弧长为3π，则该扇形的面积为_____.【答案】6π
【解析】先用弧长公式求得半径,再用面积公式求得面积即可.【详解】
设弧长为,半径为,则,所以,所以扇形的面积为.故答案为:.【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式,考查了扇形的面积公式,属于基础题.14．若函数y＝cos（ωx）（ω＞0）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为_____.【答案】2
【解析】根据余弦函数的对称中心为,列式可解得ω＝6k+2,进一步可求得正数的最小值.【详解】
令ω（k∈Z），整理得ω＝6k+2（k∈Z），当k＝0时，ω的最小值为2．
故答案为:
【点睛】
本题考查了余弦函数的对称中心,令ω是解题关键,属于基础题.15．已知函数f（x），若f（x）的最大值为3，则a＝_____.【答案】2
【解析】根据f（t）是递减函数,将问题转化为t＝ax2﹣4x+1有最小值,再根据二次函数知识可得答案.【详解】
由题意，f（t）是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小值使得f（t）的最大值为3；
即3，那么tmin＝﹣1，所以且,解得：a＝2.故答案为:
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性,考查了二次函数的最值,属于基础题.16．设f（x）＝x2+bx+c，方程f（x）＝x的两根是x1和x2，且x1＞0，x2﹣x1＞1．若0＜t＜x1，则f（t）_____x1（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】作差后分解因式,根据韦达定理以及已知条件可判断出差的符号.【详解】
因为方程f（x）＝x的两根是x1和x2
即的两根为,所以,又∵x1是方程f（x）＝x的根，∴f（x1）＝x1，∴f（t）﹣x1＝f（t）﹣f（x1）＝（t﹣x1）（t+x1+b）＝（t﹣x1）（t+1﹣x2），∵x1+x2＝1﹣b，0＜t＜x1，∴t﹣x1＜0，又x2﹣x1＞1，即x1+1﹣x2＜0，∴t+1﹣x2＜x1+1﹣x2＜0，故f（t）﹣x1＞0，即f（t）＞x1．
故答案为:
＞
【点睛】
本题考查了差值法比较大小,考查了韦达定理,属于中档题.三、解答题
17．计算：（1）[（1﹣log63）2+log62×log618]×log46；
（2）sin（﹣120°）cos210°+cos（﹣60°）sin150°+tan225°．
【答案】（1）1
（2）2
【解析】(1)利用对数的运算性质计算可得;
(2)利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算可得.【详解】
（1）原式＝[（log62）2+log62×（2﹣log62）]×log46＝2log62×log46＝log64×log46＝1；
（2）原式＝﹣sin60°cos（180°+30°）+cos60°sin30°+tan（180°+45°）
＝sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°
11＝1+1＝2．
【点睛】
本题考查了对数的运算性质,考查了诱导公式,考查了特殊角的三角函数值,属于基础题.18．已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}．
（1）若a＝﹣1，求A∩（∁RB）；
（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|﹣1≤x＜2}
（2）（1，2）
【解析】(1)根据集合的补集和交集概念运算可得;
(2)根据并集结果列式可得.【详解】
（1）a＝﹣1时，A＝{x|﹣4＜x＜2}，且B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴∁RB＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x＜2}；
（2）∵A∪B＝R，∴，解得1＜a＜2，∴a的取值范围为（1，2）．
【点睛】
本题考查了集合补集和交集运算,考查了根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.19．已知点A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．
（1）若A，B，C三点共线，求x的值；
（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围；
（3）若x＝﹣2，求在方向上的投影．
【答案】（1）x＝9
（2）x＞﹣1且x≠9
（3）
【解析】(1)转化为∥,利用坐标表示可得答案;
(2)利用•且与不平行可得答案;
(3)根据方向投影的概念计算可得.【详解】
（1）∵A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．
∴（1，2），（4，x﹣1）
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴x﹣1＝8，即x＝9．
（2）与夹角为锐角知，•4+2（x﹣1）＝2x+2＞0，∴x＞﹣1；
由（1）知，x＝9时∥，不符合题意，∴x＞﹣1且x≠9．
（3）x＝﹣2时，（1，2），（4，﹣3），在方向上的投影．
【点睛】
本题考查了平面向量平行的坐标表示,考查了向量的夹角,考查了向量在向量上的投影的概念,属于基础题.20．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．
（1）判断并证明函数（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（3x+2）+f（x）＞0．
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）（）
【解析】(1)根据诱导公式，以及奇函数的定义可证;
(2)先判断函数为（﹣1，1）上的单调性,然后根据奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】
（1）定义域为（﹣1，1），∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．
∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（2）∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），y＝sinx在（﹣1，1）上均为单调递增的函数，∴f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx在（﹣1，1）上单调递增，∵f（3x+2）+f（x）＞0，∴f（3x+2）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴1＞3x+2＞﹣x＞﹣1，解可得，即不等式的解集为（）
【点睛】
本题考查了用定义证明函数为奇函数,考查了诱导公式,考查了利用奇偶性和单调性解不等式,属于中档题.21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[，]，求函数f（x）的值域．
【答案】（1）f（x）＝sin（）
（2）[，1]
【解析】(1)根据图像可得最大值,周期,根据最大值和周期可得和,根据五点作图法中的第一个关键点可得;
(2)根据正弦函数的性质可得最大最小值,进一步可得值域.【详解】
（1）由图象知函数的最大值为1，即A＝1，3﹣（﹣1）＝4，即周期T＝8，即8，得ω，则f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法得1+φ，得φ，即f（x）＝sin（）．
（2）若x∈[，]，则∈[，]，∴当时，即x时，f（x）最小，最小值为f（），当时，即x＝1时，f（x）最大，最大值为f（1）＝1，∴f（x）的值域为[，1]．
【点睛】
本题考查了由图像求解析式,考查了求正弦型函数在指定区间上的值域,属于中档题.22．已知函数f（x）＝x2．
（1）证明：函数f（x）在（0，）上单调递减，在+∞）上单调递增；
（2）讨论函数g（x）＝4x3﹣4ax+1在区间（0，1）上的零点个数．
【答案】（1）证明见解析
（2）见解析
【解析】(1)根据单调函数的定义证明即可;
(2)将问题转化为讨论在上的实根个数,根据(1)问中函数的单调性,讨论可得答案.【详解】
（1）证明：∀x1，x2，假设x1＜x2，则；
∵，∴；
∴4x1x2（x1+x2）﹣1＜0；
∴f（x1）﹣f（x2）0；
即f（x）在（0，）上单调递减；
同理f（x）在（，+∞）上单调递增．
（2）由g（x）＝0得：a．
由（1）知：f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
∴；
①当a，则，∴f（x）＝a在（0，1）上无解，即g（x）在（0，1）上无零点，②当a，则a，∴f（x）＝a在（0，1）上有且仅有一个解；即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；
③当，由，f（x）在（0，）上单调递减可知，f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；
由，a，且f（x）在（，+∞）上单调递增；
f（x）＝a在（，1）上有且只有一解；
即g（x）在（0，1）上有2个零点；
④当a时，则时，f（x），∴f（x）＝a在（，1）上无解，∵，f（x）在（0，）上单调递减，∴f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；
即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；
综上所述：①当a，g（x）在（0，1）上无零点，②当a或a时，g（x）在（0，1）上有且只有一个零点，③当，g（x）在（0，1）上有2个零点．
【点睛】
本题考查了用定义证明函数的单调性,考查了求函数的零点个数,解题关键是转化为讨论函数与函数的交点个数,属于难题
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