2018-2019学年市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合，1，，则（）
A．，B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接利用交集的定义可得解.【详解】，1，；，．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了交集的定义，属于基础题.2．直线的斜率为（）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将直线转化为斜截式可直接得斜率.【详解】
由，得．
直线的斜率为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了斜率的概念，属于基础题.3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.【详解】
．函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，故错误，．函数为偶函数，当时，函数为减函数，不满足条件．故错误，．函数为奇函数，在上为减函数，不满足条件．故错误，．，函数是偶函数，当时，是增函数，满足条件．故正确
故选：．
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.4．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解析】结合三视图分析每层小正方体的个数即可得解.【详解】
解：由俯视图可得所有小正方体共6摞，每摞小正方体的个数如下图所示：
故这些正方体货箱的个数为8个，故选：．
【点睛】
本题主要考查了识别几何体的三视图，考查了空间想象力，属于基础题.5．设，，则，大小关系正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用指数和对数函数的单调性比较三个数和0,1的关系即可得解.【详解】，；
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了指数、对数的比较大小，考查了函数的单调性，属于基础题.6．当时，下列选项中，函数和的大致图象正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】结合判断两个函数的单调性即可得解.【详解】
当时，则是减函数，是过原点的增函数，故选：．
【点睛】
本题主要考查了对数函数和一次函数的单调性，属于基础题.7．将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接由圆锥的体积公式求解即可.【详解】
旋转成的几何体是圆锥，其底面半径为，高为，如图所示；
则圆锥的体积为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了圆锥的体积的计算，属于基础题.8．已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为（）
A．
B．，C．
D．，【答案】D
【解析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】
依题意对称轴，解得，故选：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.9．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）
A．或
B．或
C．或
D．
【答案】B
【解析】分直线过原点与不过原点两种情况求解，不过原点时只需斜率为-1即可.【详解】
直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，当截距为0时，直线方程为：；
当直线不过原点时，斜率为，直线方程：．
直线方程为或．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了直线的截距的概念，容易忽略过原点的情况，属于易错题.10．已知，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】通过分析线面和面面的位置关系，通过找反例可知A,B,D不正确，由线面垂直的判断得C.【详解】
由，是两条不同的直线，，是三个不同的平面，知：
在中，若，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，则与相交或平行，故错误；
在中，若，则由面面垂直的判定定理得，故正确；
在中，若，则与相交、平行或，故错误．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了线面和面面的位置关系，考查了空间想象力，属于基础题.11．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，若实数满足（1），则的取值范围为（）
A．，B．，C．，D．，【答案】D
【解析】由奇偶性和单调性可得，从而得解.【详解】
函数是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递减，（1），等价为（1），即．即，得，即实数的取值范围是，故选：．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.12．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出的图象如图，令，问题转化为函数有两个零点，结合二次抛物线的图象根据根的分布列不等式求解即可.【详解】
作出的图象如图：
设，则由图象知当时，有两个根，当时，只有一个根，若函数有三个零点，等价为函数有两个零点，其中或，当时，此时另一个根为满足题意；
当时，则满足，得，得，综上：.故选：．
【点睛】
本题主要考查了复合型方程的根的个数问题，进行合理的等价转化是解题的关键，属于中档题.二、填空题
13．__．
【答案】
【解析】直接利用对数的运算法则求解即可.【详解】
原式．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了对数的运算，属于基础题.14．已知直线与相互平行，则两直线与之间的距离为__．
【答案】
【解析】由平行得，再利用平行线的距离公式可得解.【详解】
直线与相互平行，此时，两直线与之间的距离为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了直线的平行求参数及平行线的距离公式，属于基础题.15．已知函数，为常数），若，则__．
【答案】
【解析】设，可得函数为奇函数，从而可得，即得，代入条件即可得解.【详解】
根据题意，设，有，则函数为奇函数，则，即，变形可得，则有，则；
故答案为：5.【点睛】
本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.16．已知直三棱柱的六个顶点都在球上，底面是直角三角形，且，侧棱，则球的体积为__．
【答案】
【解析】利用直三棱柱的几何特征结合底面为直角三角形可找到球心，从而得半径，即可得解.【详解】
如图，分别为，的中点，为的中点，易知，即为外接球球心，计算可得，故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三棱柱的外接球问题，属于基础题.三、解答题
17．已知函数，．
（1）在同一直角坐标系中作出与的图象；
（2）请写出的一个函数性质，并给予证明；
（3）请写出不等式的解集．
【答案】（1）图像见解析（2）是偶函数，证明见解析（3）
【解析】（1）利用分段函数的解析式和一次函数的图象可作图；
（2）由图像可得函数为偶函数，进而利用定义证明即可；
（3）结合图象即可解不等式.【详解】
（1），则对应的图象为
（2）函数是偶函数，是偶函数．
（3）当时，由得，当时，由，得，由图象知若，则，即不等式的解集为.【点睛】
本题主要考查了分段函数的图象及图象的应用，属于基础题.18．已知的三个顶点的坐标分别为，．
（1）求边所在直线的方程；
（2）若边上的中线所在直线的方程为，求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先求直线的斜率结合点斜式即可得解；
（2）先将点代入直线可得，再由的中点坐标为，满足直线可得，；利用点到直线的距离可求高，从而得面积.【详解】
（1），边所在直线的方程为：，即；
（2）把代入，解得．
中线的方程为，的中点坐标为，，即．，点到直线的距离．
．
．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的求解，涉及点斜式，中点坐标及点到直线的距离，属于基础题.19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；
（3）设．现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．
【答案】（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：在，上单调递减，且（3）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）由表示未清洗的意思，从而得解；
（2）结合题干信息可得和及的范围；
（3）分别计算两种方式的农药残留量，进而作差比较大小即可.【详解】
（1），表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．
（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：在，上单调递减，且．
（3）设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为，则；
于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；
当时，一次清洗残留的农药量较少．
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，解题的关键是分析题干信息，提取代数式，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（1）求证：；
（2）求点到面的距离．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由和即可证得；
（2）由，可得，进而可得解.【详解】
证明：（1）底面是菱形，平面，平面，，是平面内的两条直交线，平面，又平面，．
解：（2）底面是菱形，又，平面，设点到平面的距离为，且平面，即，是等边三角形，，解得，点到面的距离为．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明及性质，考查了等体积法求点面距，属于基础题.21．已知二次函数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若函数在区间，上的最大值为，求的最小值．
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）求得的对称轴方程，由偶函数的图象可得的值；
（2）求得对称轴方程，推理对称轴和区间的关系，结合单调性可得的解析式，再由单调性可得的最小值．
【详解】
（1）二次函数的对称轴为，由为偶函数，可得；
（2）的对称轴为，当即时，在，递增，可得，且的最小值为1；
当即时，在，递减，可得，且的最小值为3；
当，即时，的最大值为，当时，取得最小值，综上可得的最小值为
【点睛】
本题考查二次函数的对称性和单调性的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
22．已知函数在区间，上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】，【解析】分别讨论和时，结合△和△分析，当△时分和时讨论即可.【详解】
（1）若，则，令由得，，不符题意，（2）当时，△，由题意可知：△可得，①若，则△，函数的零点为，不满足题意；
②若，函数的零点是，满足题意；
下面讨论△时，函数在区间，上有且仅有一个零点的情况，由零点判断定理有，即，解得，而△，（1），只需要讨论时，另一个零点是否在区间，内．
由可得．
此时，所以另一个零点是，满足题意．
故实数的取值范围为，．
【点睛】
本题主要考查了二次方程的根的分布，涉及分类讨论，情况较多，属于难题.
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