2019-2020学年市中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知，B3，则
A．
B．4，C．2，3，4，D．3，4，【答案】D
【解析】利用并集概念与运算直接得到结果.【详解】，3，3，4，故选：D．
【点睛】
本题考查并集的定义与运算，属于基础题.2．命题“，”的否定是（）
A．，B．，C．，D．，【答案】A
【解析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“，”的否定是“，”.故选：A
【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对化简后得，再利用集合间的关系进行判断.【详解】
设，或，显然是的真子集，所以推出；而不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】
本题考查不等式的解法、考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，将问题转化为集合间的关系能使求解过程更清晰.4．函数的定义域为
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式，只需解析式有意义即可求出.【详解】
要使函数有意义，则需满足：，解得
所以定义域为，故选：A
【点睛】
本题主要考查了给出函数解析式的函数定义域问题，属于中档题.5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（）
A．1
B．2
C．1或2
D．1或－3
【答案】A
【解析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知，由此能求出n的值．
【详解】
∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴，解得n＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．熟记幂函数的性质是关键，是基础题．
6．已知，，则的大小为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由指数函数的性质求得，再由对数函数的性质求得，即可得到答案.【详解】
由题意，根据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，可得，所以.故选：C.【点睛】
本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．函数y=log
(2x2-3x+1)的递减区间为（）
A．（1，+）
B．（-，］
C．（，+）
D．（-，］
【答案】A
【解析】，所以当时，当时，即递减区间为（1，+），选A.点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.8．函数的零点所在的区间为（）.A．(-1,0)
B．(0,1)
C．(1.2)
D．(2,3)
【答案】B
【解析】根据零点存在定理判断．
【详解】，因此零点在区间内．
故选：B．
【点睛】
本题考查零点存在定理，属于基础题型．
9．若，且，则的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：C.【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要充分利用定值条件，熟悉几种常见的利用基本不等式求最值的代数式类型，并对代数式进行合理配凑，考查运算求解能力，属于中等题.10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英 国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）.A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】B
【解析】可举反例说明一些不等式不成立，从而确定正确结论．
【详解】
当时，A不正确；若，则，C不正确；若，则，D不正确；若，则，即，B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题时可举反例说明命题是错误的，也可直接利用不等式的性质推理论证．
11．已知函数，则关于的不等式的解集为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，可得到，且函数在上递增，原不等式等价于，根据函数单调性，即可求出结果.【详解】
因为，所以，因此，因此关于的不等式，可化为；
又单调递增，单调递增，所以在上递增；
所以有，解得：.故选：C
【点睛】
本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记基本初等函数的单调性，会用基本初等函数单调性判断复合函数单调性即可，属于常考题型.12．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）
A．[
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【详解】
构造函数f（x）=3x2，g（x）=logax，∵不等式3x2-logax＜0对任意恒成立，∴f（）≤g（∴-≤0．
∴0＜a＜1且a≥∴实数a的取值范围为[
故选A
二、填空题
13．设函数，则=________.【答案】24
【解析】先求内层的值，代入对应的表达式，得，再将代入的表达式即可求解
【详解】
先求，再求，即
故答案为：24
【点睛】
本题考查分段函数具体值的求法，应先求内层函数值，再将此值当作自变量再次代入对应的表达式求解，是基础题
14．若为上的奇函数，则实数的值为
．
【答案】
【解析】试题分析：因为为上的奇函数，所以，所以．
【考点】奇函数的定义与性质．
15．已知函数，则不等式的解集为________.【答案】
【解析】分段函数，按定义和分类解不等式．
【详解】
时，则，时，则，综上，原不等式解集为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查对数函数与指数函数的性质，只是要注意分段函数要分类讨论．属于基础题．
16．若函数且在区间上是减函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据复合函数单调性，令，首先按和分类，在函数定义域内，是增函数，则是增函数，则，若是减函数，则，这样就可保证函数是减函数．
【详解】
令，若，则，递增，也是增函数，又，∴在上是减函数，若，则是减函数，因此，解得，综上的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查对数函数的性质，解题基础是掌握复合函数单调性．同时注意与的单调性的关系．
三、解答题
17．求下列答式的值:
(1)
(2)
【答案】（1）18；（2）．
【解析】（1）利用幂的运算法则计算；
（2）根据对数运算法则计算．
【详解】
（1）原式＝．
（2）原式＝．
【点睛】
本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型．
18．已知2≤x≤16，求函数的最大值与最小值．
【答案】最大值是6，最小值是．
【解析】用换元法把函数转化为求二次函数的最值问题．可设，要注意的取值范围．
【详解】
设，∵，∴．，∵，∴，即时，取得最小值，即时，取得最大值6．
∴的最大值是6，最小值是．
【点睛】
本题考查对数函数的最值问题，解题关键是用换元法把问题转化为二次函数的最值．在遇到这种形式的函数时通过设转化为二次函数．
19．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超过部分为万元，则超出部
分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的进行奖励．记奖金总额为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员老张获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】（1）（2）他的销售利润是万元
【解析】（1）由题意，得
（2）∵时，又，∴，令，解得．
答：老张的销售利润是万元．
【考点】分段函数、对数函数模型.20．已知定义在上的函数
.(1)
当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明.(2)
当时,试求的最小值.【答案】(1)
在区间上单调递增，证明见解析；
(2)4.【解析】（1）用定义法严格证明即可
（2）用换元法设，由（1）可得，再根据对勾函数增减性求出的最小值即可
【详解】
(1)
用定义法证明如下:
设,则，,，,，,即，在区间上单调递增；
(2)设,则，由(1)知,当时在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增，当,即,解得时,.【点睛】
本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减
21．已知函数且
(1)若方程的一个实数根为2，求的值;
(2)当且时，求不等式的解集;
(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）用代入方程，可求得；
（2）由对数函数的性质解此不等式；
（3）结合零点存在定理和二次方程根的分布知识求解．
【详解】
（1）即有一个根是2，则，∴，．
（2）不等式为，∵，∴，解得，即不等式的解集为．
（3）由题意在上有解，解法一：
(i)若，则，，满足题意；
(ii)若，则，，满足题意；
(iii)，或．
（iv），解得
综上所述，的取值范围是．
解法二：，∵，∴，∴，∴，∴或．
【点睛】
本题考查对数函数的图象与性质，考查函数零点的概念．函数零点问题特别是二次函数零点分布问题如果用根的分布知识求解有一定的难度，如题中解法一，但若用分离参数法转化为求函数的值域问题将会显得简单，如解法二，在解题中要注意体会．
22．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；
（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）
（2）
（3）不存在,理由见解析.【解析】（1）根据定义域为R且为奇函数可知,代入即可求得实数的值.（2）由（1）可得函数的解析式,并判断出单调性.根据将不等式转化为关于的不等式,结合时不等式恒成立,即可求得实数取值范围；
（3）先用表示函数.根据求得的解析式,根据单调性利用换元法求得的值域.结合对数的定义域,即可求得的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在的取值范围内能否取到最大值0.【详解】
（1）函数的定义域为R,且为奇函数
所以,即
解得
（2）由（1）可知当时,因为,即
解不等式可得
所以在R上单调递减,且
所以不等式可转化为
根据函数在R上单调递减
所不等式可化为
即不等式在恒成立
所以恒成立
化简可得
由打勾函数的图像可知,当时,所以
（3）不存在实数.理由如下:
因为
代入可得,解得或(舍)
则,令,易知在R上为单调递增函数
所以当时，则
根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立
即在上恒成立
令,所以,即
又因为
所以
对于二次函数,开口向上,对称轴为
因为
所以
所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增
所以,假设存在满足条件的实数,则:
当时,由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数,所以根据可知,即
解得,所以舍去
当时,复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即
解得,所以舍去
综上所述,不存在实数满足条件成立.【点睛】
本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.
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