2019-2020学年市第二中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设全集，集合，则（）．
A.B.C.D.【答案】A
【解析】根据集合的交集与补集运算即可求解。
【详解】
由，所以，又，所以
故选：A
【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2．下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．
A.B.C.D.【答案】D
【解析】对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3．函数的定义域为
A.B.C.D.【答案】C
【解析】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为，故选C.点睛：本题主要考查了常见的函数的定义域的求法，属于基础题；常见的函数定义域求法有：1、偶次根式下大于等于0；2、分母不为0；3、对数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、正切函数中；6、抽象函数的定义域；7、在实际应用中的定义域等.4．已知函数，则的值等于（）．
A.B.C.D.【答案】D
【解析】将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.【详解】
依题意，故选D.【点睛】
本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】先求得函数的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．
【详解】
函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x
∵函数在上单调递增
∴5
∴k≤40
故选B.【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．
6．已知为奇函数，当时，则在上是（）
A.增函数，最小值为
B.增函数，最大值为
C.减函数，最小值为
D.减函数，最大值为
【答案】C
【解析】试题分析：,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减．
因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减．
所以在上,．故C正确．
【考点】1函数的奇偶性；2二次函数的单调性．
7．设，，则有（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】根据对数函数的单调性，可以判断出a＜0，b＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c＜1，进而得到a、b、c的大小顺序．
【详解】
∵y=x在定义域上单调递减函数，∴a5＜1=0，y=在定义域上单调递增函数，b1，y=（）x在定义域上单调递减函数，0＜c＝（）0.3＜（）0=1，∴a＜c＜b
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．
8．已知是函数的反函数，则的图象是（）．
A.B.C.D.【答案】A
【解析】求出的反函数即可得出选项。
【详解】的反函数，即为指数函数，恒过，且单调递增。
故选：A
【点睛】
本题考查指数函数图像，属于基础题。
9．函数的零点所在的大致区间是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】∵，∴，由函数零点判定定理可得函数的零点所在的大致区间为．选B．
10．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】试题分析：∵xf（x）＜0则：当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，当x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，-2＜x＜-1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（-2，-1）∪（1，2）．故答案为：（-2，-1）∪（1，2）．
【考点】函数的图象．
11．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）．
A.B.C.D.【答案】D
【解析】利用函数单调性，先使分段函数各段单调递减，再在整个定义域内单调递减即可求解。
【详解】
函数是上的减函数，则解得
故选：D
【点睛】
本题考查分段函数递减求参数的取值范围，函数单调一定是在整个定义域内单调，属于易错题。
12．已知，，则的最值是（）．
A.最大值为，最小值
B.最大值为，无最小值
C.最大值为，无最小值
D.既无最大值，又无最小值
【答案】C
【解析】根据的定义域求出的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值。
【详解】
若时，即，若时，即，或（舍去）
当时，当或时，则由图像可知时，函数的最大值为3，无最小值.故选：C
【点睛】
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法以及函数的图像求函数最值的一种常用方法，这种方法借助几何意义，以形为数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径。因此，在学习中，对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决中.二、填空题
13．用列举法表示集合______．
【答案】
【解析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定的值，即可得到所求集合。
【详解】，为的正因数，故答案为：
【点睛】
本题考查表示法“列举法”，熟记表示集合的常见符号，属于基础题。
14．函数是定义在R上的奇函数，当时，则时，_________．
【答案】
【解析】当时，所以，又当时，满足函数方程，当时。
15．函数（常数）为偶函数且在是减函数，则______．
【答案】
【解析】根据幂函数的性质求出值，代入即可求解。
【详解】
函数（常数）在是减函数，解得，若，则为奇函数，不满足条件；
若，则为偶函数，满足条件；
若，则为奇函数，不满足条件；
故，则
故答案为：
【点睛】
本题考查了幂函数的性质，属于基础题。
16．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过______分钟，该病毒占据内存．（）
【答案】45
【解析】每过一个分钟，所占内存是原来的倍，故个分钟后，所占内存是原来的倍，再利用指数的运算性质可解。
【详解】
因为开机时占据内存，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，所以分钟后占据内存，两个分钟后占据内存，三个分钟后占据内存，故个分钟后，所占内存是原来的倍，则应有，故答案为：45
【点睛】
本题考查了指数函数的应用、指数的运算性质，属于基础题。
17．已知，则函数的零点个数是______．
【答案】5个
【解析】画出分段函数的图像，函数零点转化为的根，再由数形结合求与、的交点个数即可.【详解】
由函数的零点，则，即或，的图像如下：
由数形结合可知交点有个，即函数的零点有个.故答案为：5个
【点睛】
本题函数的零点与方程的根的关系，函数零点个数转化为方程根的个数；若方程根的格式不方便求解，可转化为函数图像的交点，利用数形结合的思想解决，此题属于综合性题目.18．已知，则______，定义域为______．
【答案】
【解析】（1）利用换元法即可求解析式.（2）在换元时由的范围即可确定定义域。
【详解】
令，则，由，所以，即，且
故答案为：；
【点睛】
本题查考换元法求解析式以及求函数的定义域，在换元中注意自变量的取值范围的变化.三、解答题
19．计算下列各式的值.（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据指数与对数的运算性质即可化简求值。
（2）根据指数与对数的运算性质即可化简求值。
【详解】
(1)原式
(2)原式
【点睛】
本题考查指数与对数的运算性质，要熟记指数与对数的运算性质，属于基础题。
20．已知集合，且，求实数，的值及集合，．
【答案】
【解析】试题分析：由，所以，代入方程可得和集合A，再由，可得集合B，运用韦达定理即可得到所求，的值.试题解析：因为，且，所以，解得；又，所以，又，所以，解得，所以.21．已知函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上单调性，并用定义加以证明；
（3）当取什么值时，的图像在轴上方？
【答案】（1）3；（2）在为减函数，见解析；（3）或
【解析】（1）代入解析式即可求解。
（2）利用函数的单调性定义即可证明。
（3）的图像在轴上方，只需即可。
【详解】
（1）=；
（2）函数在为减函数．
证明：在区间上任意取两个实数，不妨设，则，即，所以函数在为减函数．
（3）的图像在轴上方
只需解得或
综上所述：或
【点睛】
本题考查求函数值、定义法证明函数的单调性、解分式不等式，属于基础题。
22．已知对任意的，二次函数都满足，其图象过点，且与轴有唯一交点．
（）求的解析式；
（）设函数，求在上的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用“待定系数法”求函数解析式即可.（2）由对称轴位置不确定，分三种情况讨论对称轴所在的位置，即当；；，再由函数的单调性即可求出最值.【详解】
（）设二次函数，所以，.由于对任意的，都成立，所以有对任意的，都成立，所以．
因为图像过点，所以，即，且图像与有唯一交点，从而
解得．
（），对称轴．
当时，即，在区间为单调递增函数，所以；
当时，即，在区间为单调递减函数，在区间为单调递增函数，所以；
当时，即，在区间为单调递减函数，所以；
综上所述：．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式、二次函数“动轴定区间”求最值，注意分类讨论，属于基础题.23．已知，函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将代入函数表达式，根据对数的单调性转化为解不等式即可求解.（2）方程的解集中恰有两个元素，将化为对数形式，得到，利用换元法设，方程化为在区间有两个不相等的实数根，再由二次函数根的分布即可求解。
【详解】
（1）
所以不等式的解集为：．
（2）根据集合中元素的唯一性可知，关于的方程有两个不相等的实数根．
即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，令，即方程在区间有两个不相等的实数根，从而有，即，解得
故的取值范围.【点睛】
本题主要考查对数与对数函数、函数与方程，属于综合性题目.
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