2019-2020学年市中学高一上学期9月月考数学试题
一、单选题
1．已知平行四边形，、是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）
A.B.C.D.【答案】B
【解析】根据菱形的定义得出答案即可．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BAC＝∠DAC，（选项B）
∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），其余选项ACD均不能推出四边形是菱形，故选：B．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法，有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
2．下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（）
A.B.C.D.【答案】D
【解析】函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像在下降，观察选项即可得出结果。
【详解】
因为，所以只用观察轴左边的图像，函数值随自变量的增大而减小，说明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有D符合，故选：D
【点睛】
本题考查识图能力，是基础题。
3．如图，中，，点是所在平面上的一个动点，且，则面积的最大值是（）
A.B.3
C.D.【答案】A
【解析】因为，可得∠BAC＝120°，以A为圆心，AB为半径作⊙A，与HA的延长线相交于点D，因为∠BDC＝60°，所以点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，△DBC面积最大，根据三角形面积公式即可得出△DBC面积的最大值．
【详解】
解：如图，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝2，，，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长HA交⊙A于点D，∵∠BDC＝60°，∴点D在⊙O上运动，当D运动到如图的位置时，以BC为底边时，高最大，则此时△DBC面积的最大值，最大值为：．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是要观察点D在⊙A上运动时，△DBC的高的大小变化情况．
二、填空题
4．函数的定义域是______
【答案】
【解析】利用分母不为0，列不等式求解。
【详解】
解：由已知，即，故答案为：.【点睛】
本题考查函数的定义域，注意分母不为0，是基础题。
5．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是______．
【答案】
【解析】直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一个球恰好为红球的概率．
【详解】
∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：，故答案为：．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．如图，是直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则的度数是______.【答案】40
【解析】由OA＝OD可得∠ODA，根据三角形外角性质可得∠COD，由切线的性质可得∠CDO，即可求∠C的度数．
【详解】
连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A＋∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C＋∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故答案为：40．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
7．某班的中考英语口语考试成绩如表：
考试成绩/分
学生数/人
则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多______分．
【答案】1
【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，找出众数和中位数即可．
【详解】
解：这组数出现次数最多的是29；
∴这组数的众数是29．
∵共40人，∴中位数应是第20和第21人的平均数，位于最中间的数是28，28，∴这组数的中位数是28，∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多29−28＝1分，故答案为：1．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．若二次函数的图象经过点，则代数式的值等于______．
【答案】2018
【解析】首先根据二次函数的图象经过点得到关系，再整体代值计算即可．
【详解】
解：∵二次函数的图象经过点，，故答案为：2018．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．
9．如图，在笔直的海岸线上有两个观测点和，点在点的正西方向，．若从点测得船在北偏东60°的方向，从点测得船在北偏东45°的方向，则船离海岸线的距离为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】作，设，根据，知，由列出关于的方程，解之可得答案．
【详解】
解：如图所示，过点作，交的延长线与点，设，设，又，，解得：，所以船离海岸线的距离为，故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其应用来解题．
10．在实数范围内分解因式______．
【答案】
【解析】首先提取公因式，然后利用公式进行分解因式。
【详解】
解：，故答案为：
【点睛】
本题考查实数范围内的分解因式，是基础题。
11．已知、是一元二次方程的两个实数根，那么______．
【答案】
【解析】将变形为，然后利用韦达定理代入求解即可。
【详解】
解：、是一元二次方程的两个实数根，，故答案为：
【点睛】
本题考查利用韦达定理求目标式子的值，是基础题。
12．对两个不相等的实数根、，我们规定符号表示、中较大的数，如：，按照这个规定：方程的解为______．
【答案】或
【解析】根据题中的新定义分类讨论化简方程，求出解即可得到x的值．
【详解】
解：解：当，即时，方程变形为，去分母得：，解得：，此时，经检验是分式方程的解；
当，即，方程变形为，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，综上：的值为或，故答案为：或
【点睛】
此题考查了学生审题，分析问题的能力，注意针对分式方程的解要验根，是基础题．
13．如图，是半的直径，且．点是半上的一个动点（不与点、重合），过点作，垂足为．设，则的最大值等于______．
【答案】
【解析】证明，得与的关系式，进而得关于的函数关系式，再由函数性质求得最大值．
【详解】
解：是直径，，，，即，，∴当时，有最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题是圆的一个基本性质题，主要考查了圆的基本性质，圆周勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值求法，建立关于的函数关系式是解题的关键．
14．关于的叙述正确的是（）
A.B.在数轴上不存在表示的点
C.D.与最接近的整数是3
【答案】D
【解析】直接利用的性质，分别分析得出答案．
【详解】
解：A、无法计算，故此选项错误；
B、在数轴上存在表示的点，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、与最接近的整数是：，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确掌握实数的性质是解题关键．
三、解答题
15．已知.（1）化简；
（2）若满足不等式组，且为整数时，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式即可；
（2）先解不等式组求出其解集，再确定不等式组的整数解，继而根据分式有意义的的条件找到的值，代入计算可得．
【详解】
解：（1）；
（2），解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集为，即整数解为0、1、2、3，∵要是分式A有意义，只能取0或1，当时，当时，．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算与解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式的基本步骤、分式有意义的条件．
16．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润，即，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）设与之间的函数关系式为，根据题意得，解得，与之间的函数关系式为；
（2），当时，有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量的取值范围．
17．如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点，于点．
（1）求证：平分；
（2）若，．
①求的长；
②求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）①3；②.【解析】（1）连接，可证得，则，可得结论；
（2）①先根据求出的度数，根据锐角三角函数的定义求出及的长，在中利用锐角三角函数的定义即可得出的长；
②由三角形内角和定理求出的度数，由阴影部分的面积，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：连接，如图，与相切于点，，，，平分；
（2）解：①是直径，．，在中，，在中，，；
②，，阴影部分的面积
.【点睛】
本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
18．如图，已知二次函数的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，连接、．
（1）求线段的长；
（2）若平分，求的值；
（3）该函数图象的对称轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【解析】（1）令，建立方程，求出点坐标，即可得出结论；
（2）先表示出，进而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出点是的外接圆的圆心，进而得出，最后用三角函数建立方程求解即可．
【详解】
（1）∵
二次函数的图象与轴相交于点、，∴令，则，或，，故答案为2；
（2）如图，由（1）知，，，令，，过点作，，是的平分线，，，在中，根据勾股定理得，，（舍）或（舍）或；
（3）存在，理由：假设存在，如图，二次函数，抛物线对称轴为，点是的垂直平分线上，是等边三角形，，点是的垂直平分线上，点是的外接圆的圆心，，，，函数图象的对称轴上存在点，使得为等边三角形．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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