2019-2020学年市实验中学高一上学期11月月考数学试题
一、单选题
1．函数的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.【详解】
要使函数有意义，则，解得且，所以函数定义域为.故选：A
【点睛】
本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题.2．函数在上的最小值为（）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.【详解】
因为函数，所以函数在上是减函数，所以当时，.故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.3．若且为第三象限角，则的值等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.【详解】
因为且为第三象限角，所以，则.故选：C
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.4．设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足
即可求解.【详解】
当时，原不等式为，A为空集；
当时，因为A为空集
所以无解，只需满足，解得，综上实数的取值范围是.故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题.5．已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，即可求解.【详解】
因为函数为奇函数，所以，因为，且函数在上是增函数，所以，故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，对数函数、指数函数的性质，属于中档题.6．已知，则（）
A．2
B．0
C．
D．
【答案】D
【解析】将自变量代入函数解析式，利用对数的运算化简求值即可.【详解】
.故选：D
【点睛】
本题主要考查了对数函数的运算、性质，属于中档题.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】
设g（x）＝x2﹣ax+1，则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得：
满足，即，得a，即实数a的取值范围是，故选：C．
【点睛】
本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.．
8．已知恒为正数，则取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.【详解】
当时，是减函数，则，解得；
当时，是增函数，则，解得，又，所以；
综上取值范围是.故选：A
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题.9．化简得
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到。
【详解】
故选A
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题。
10．在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.【详解】
作出函数与图象：
设与图象交于不同的两点，设为，不妨设，则，在R上递减，即，即，故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数函数，对数函数的图象与性质、对数的运算，数形结合，属于中档题.11．若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（）
①是常数函数中唯一的“特征函数”；
②不是“特征函数”；
③“特征函数”至少有一个零点；
④是一个“特征函数”．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．
【详解】
对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；
对于②中，函数，则，即，当时，当时，方程由唯一的解，所以不存在常数使得对任意实数都成立，所以函数不是“特征函数”，所以②正确．
对于③中，令，可得，所以，若，显然有实数根，若，又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，所以③是正确；
对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，所以正确命题共有②③④．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、填空题
12．已知函数则______．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【详解】,选D.13．已知幂函数的图像过点，则________
【答案】9
【解析】将点的坐标代入函数解析式即可求出，利用函数解析式即可求值.【详解】
因为幂函数的图像过点，所以，解得，故，所以.故答案为：9
【点睛】
本题主要考查了求幂函数的解析式、利用解析式求函数值，属于中档题.14．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，由题意可得：，据此可得这个扇形中心角的弧度数为.15．20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的______倍.【答案】1000
【解析】先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可.【详解】
由可得，即，当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；
所以，两次地震的最大振幅之比是：，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.故答案为：1000
【点睛】
本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于中档题.16．已知函数满足，函数，且与的图像的交点为，则
【答案】40
【解析】由知函数图象关于成中心对称，图象关于点成中心对称，故交点关于成中心对称，即可求解.【详解】
因为函数满足，所以函数图象关于成中心对称，又，所以的图象也关于成中心对称，因此与的图像的交点为关于成中心对称，所以
故答案为：40
【点睛】
本题主要考查了函数图象的对称性及应用，求代数式的和，考查了运算能力，属于中档题.三、解答题
17．（1）计算；
（2）已知，求的值.【答案】（1）0（2）3
【解析】（1）根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可（2）先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系化为正切即可.【详解】
（1）
（2）
.【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式，同名三角函数的基本关系，属于中档题.18．设
（1）求
（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可.【详解】
（1）由解得，故，因为，所以，即,所以.（2）
因为，所以，故.【点睛】
本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.19．已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.【答案】（1）或（2）(i)
单调递减区间为，无单调递增区间
(ii)
.【解析】（1）根据幂函数可得，求出m即可（2）(i)根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可(ii)根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.【详解】
（1）
因为幂函数，所以，解得或，所以函数为或.（2）(i)因为图像不经过坐标原点，所以，函数的单调递减区间为，无单调递增区间.(ii)因为图像经过坐标原点，所以，因为为偶函数，且在上为增函数，所以，又在上为增函数，所以，解得，所以不等式的解为.【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义，奇偶性，单调性，属于中档题.20．已知函数其反函数为
(1)求证：对任意都有，对任意都有
(2)令，讨论的定义域并判断其单调性（无需证明）.(3)当时，求函数的值域；
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）
【解析】（1）写出其反函数为，根据解析式即可证明（2）写出，分类讨论，写出定义域及单调性即可（3）写出，利用换元法求其值域即可.【详解】
（1）证明：因为，所以对任意都有.因为其反函数为，当时，所以对任意都有.（2）因为，所以，当时，解得，且函数在上为增函数
当时，解得，且函数在上为增函数
所以时函数定义域为，函数在上为增函数；当时函数定义域为，函数在上为增函数.（3）当时，,令，则
因为对称轴为，所以当时，当时，故函数的值域为.【点睛】
本题主要考查了指数函数对数函数的性质及运算，换元法，二次函数求值域，属于中档题.21．已知函数是定义在上的奇函数；
(1)求实数的值.(2)试判断函数的单调性的定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）减函数，证明见解析（3）
【解析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可（3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，只需求函数的最小值即可.【详解】
（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，经检验符合题意.（2）由（1）知
函数为R上的减函数，证明如下；
设，则
因为，故，则是R上的减函数.（3）因为为奇函数，所以
又是R上的减函数，所以恒成立，令，因为，所以，当时，所以时，不等式恒成立.故实数的取值范围..【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及证明，二次不等式恒成立，属于难题.22．已知二次函数满足①对于任意，都有；②；③的图像与轴的两个交点之间的距离为4.（1）求的解析式；
（2）记
①若为单调函数，求的取值范围；
②记的最小值为，讨论函数零点的个数.【答案】（1）（2）①或②详见解析
【解析】（1）根据条件可知二次函数对称轴，的图像与轴的两个交点之间的距离为4可求出交点，利用交点式求函数解析式（2）①写出二次函数，根据对称轴与区间关系可求出的取值范围②分类讨论求出函数的最小值，换元后作出函数图象，再利用数形结合研究函数的零点，注意分类讨论思想在解题中的应用.【详解】
（1）因为二次函数中，所以对称轴，又的图像与轴的两个交点之间的距离为4，所以与轴交点为
设，又，所以
即.（2）①,对称轴为，因为为单调函数，所以或
解得或.故的取值范围是或.②,对称轴为，当，即时，当，即时，当，即时，综上
函数零点即为方程的根，令，即的根，作出的简图如图所示：
（i）当时，或，解得或，有3个零点.（ii）当时，有唯一解，解得，有2个零点.（iii）当时，有两个不同的解，解得或，有4个零点.（iv）当时，，解得，有2个零点.（v）当时，无解，无零点.综上：当时，无零点；
当时，4个零点；
当时，有3个零点；
当或时，有2个零点.【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式，单调性，最值，函数的零点，涉及分类讨论思想及数形结合，属于难题.
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