2019-2020学年市第一中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.【考点】
集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．以下函数在R上为减函数的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】逐一分析选项，得到正确答案.【详解】
A.的定义域是，且在是减函数，故不正确；
B.的定义域是，函数在和时单调递减函数，故不正确；
C.在上单调递减，故正确；
D.在单调递减，在单调递增，故不正确.故选：C
【点睛】
本题考查函数的单调性，属于基础题型.3．若是函数的零点，则所在的一个区间是（）
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
【答案】B
【解析】根据零点存在性定理，判断区间端点的函数值，若，可知零点必在此区间.【详解】
是减函数，且，，零点所在区间是.故选：B
【点睛】
本题考查零点存在性定理，属于简单题型，当，若满足，则存在，使.4．若函数的定义域为[－2，2]，则的值域为（）
A．[－1，7]
B．[0，7]
C．[－2，7]
D．[－2，0]
【答案】C
【解析】判断函数在的单调性，得到函数的值域.【详解】
函数，函数的对称轴是，函数在单调递减，在单调递增，当时，可知，时，函数取得最小值-2，当时，函数取得最大值7，函数的值域是.故选：C
【点睛】
本题考查二次函数的值域的求法，属于简单题型.5．已知函数f(x)＝那么f 的值为()
A．27
B．
C．－27
D．－
【答案】B
【解析】利用分段函数先求f（）的值，然后在求出f 的值．
【详解】
f ＝log2＝log22－3＝－3，f ＝f(－3)＝3－3＝.【点睛】
本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．
6．若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（）
A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2）
B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）
C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5）
D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）
【答案】D
【解析】根据单调性可得，结合奇偶性可得结果.【详解】
在上是增函数，又，又为偶函数，故选D．
【点睛】
在比较，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
7．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b，c三个数的大小关系是（）
A．＜b＜c
B．b＜c＜
C．＜c＜b
D．c＜＜b
【答案】C
【解析】a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，故选：C．
8．若时，在同一坐标系中，函数与的图像大致是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【详解】
解析过程略
9．若函数在区间为增函数，则的取值范围（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在上是增函数,对称轴
即.故选D．
点晴：本题考查二次函数的单调性问题，常见题型有：（1）直接求函数的单调区间；（2）根据函数的单调区间求参数.求解这类问题的关键是：（1）首先确定二次函数图象的开口方向；（2）根据题目要求研究二次函数对称轴与区间的位置关系,要注意题目中的要求和给定的区间.10．函数的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．
【详解】
由log2x-1≥0，解得x≥2．
∴函数的定义域为[2，+∞）．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
11．设是上的奇函数，且在区间上递减，则的解集是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f
（2）=0，则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-2）=-f（2）=0，当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜-2，即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）；
故答案选：C．
点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
12．已知函数若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】：①当x≥4时，是减函数，且1＜f（x）≤2；②当x＜4时，f（x）=log2x在（0，4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；作出函数的图象如下：
故实数k的取值范围是（1，2）；
故选：D．
点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．
二、填空题
13．已知函数是奇函数，当时，则______．
【答案】
【解析】由题意知，从而代入函数解析式求解即可．
【详解】
函数是奇函数，故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性的应用属于基础题．
14．已知，则的值为_______。
【答案】2
【解析】直接把已知方程两边同时平方即得的值.【详解】
把已知方程两边同时平方得故答案为：2
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．
【答案】9
【解析】当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，解得，幂函数为，则，故答案为.16．函数的值域为________.【答案】
【解析】首先换元，设，然后判断函数的单调性，并求函数的值域.【详解】
设，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值0，当时，函数取得最大值9.故答案为：
【点睛】
本题考查换元法，以及二次函数的值域，属于简单题型.三、解答题
17．求值：（1）
（2）2log310＋log30.81
【答案】（1）（2）4
【解析】试题分析：（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.试题解析：
(1)，(2)2log310＋log30.81=
18．集合，集合．
（）求，．
（）若全集，求．
【答案】（），或;（）
【解析】由题意集合，利用绝对值不等式及一元一次不等式解出集合A，B；
（1）直接利用交集，并集的运算法则求出A∩B．A∪B；
（2）求出A的补集，然后求解(CUA)∩B，即可．
【详解】
（），即，得或，故或，又，得，或．
（）或，，∴(．
【点睛】
本题是基础题，考查一次、二次不等式的解法，集合的基本运算，解题时可以借助数轴解答．
19．如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是36m。
（1）把每间熊猫居室的面积s（单位：）表示为宽x（单位：m）的函数，求函数的解析式，并写出定义域；
（2）当宽为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室最大面积是多少？
【答案】（1），定义域：；
（2）当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54
【解析】（1）宽为，长为，求面积；（2）根据（1）可知，定义域：，求二次函数给定区间的最值.【详解】
（1）宽为，长为，函数的定义域需满足
.，定义域：
（2），当时，面积取得最大值108，每间熊猫居室的最大面积是.所以，当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54.【点睛】
本题考查二次函数的实际问题，意在考查抽象，概括，应用和计算能力，属于简单题型.20．已知a，b常数，且，，方程有两个相等的实根.（1）求函数的表达式；
（2）若，判断的奇偶性.【答案】（1）
；（2）奇函数.【解析】（1），因为有两个相等的实根，所以，并且，解方程求解；（2）先求，再根据定义判断函数奇偶性.【详解】
（1）
有两个相等的实数根，则，解得，，；
（2）
函数的定义域是，是奇函数.【点睛】
本题考查二次函数解析式的求解，以及函数奇偶性的判断，属于简单题型.21．已知函数是定义在上的偶函数，当时，（1）求函数的解析式，并画出函数的图象．
（2）根据图象写出的单调区间和值域．
【答案】(1),图见解析
(2)
函数的单调递增区间为,单调递减区间为，函数的值域为
【解析】【详解】试题分析：解：（1）由，当，又函数为偶函数，故函数的解析式为
（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
单调递减区间为，函数的值域为
【考点】函数奇偶性和函数单调性的运用
点评：解决该试题的关键是利用对称性作图，并能加以结合单调性的性质来求解最值。属于基础题。
22．已知函数，且时，总有成立．
求a的值；
判断并证明函数的单调性；
求在上的值域．
【答案】（1）；
（2）见解析；
(3)
.【解析】【详解】试题分析：根据条件建立方程关系即可求a的值；
根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性；
结合函数奇偶性和单调性的定义即可求在上的值域．
试题解析：，即，．
函数为R上的减函数，的定义域为R，任取，且，.．
即
函数为R上的减函数．
由知，函数在上的为减函数，即，即函数的值域为.点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
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