2019-2020学年市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，由两点斜率公式的直线的斜率所以，故选A．

【考点】1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角．

2．如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）

A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．垂直相交

【答案】C

【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行，故选C.3．如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．

【详解】

由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：

故答案为：C

【点睛】

本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，且，则

D．若，且，则

【答案】D

【解析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.【详解】

若，则或与异面或与相交，故选项错误；

若，则与可能相交，故选项错误；

若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；，或，又，故选项正确.本题正确选项：

【点睛】

本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.5．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为

A．相交

B．平行

C．异面而且垂直

D．异面但不垂直

【答案】D

【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D

6．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（）

A．外切

B．内切

C．相交

D．相离

【答案】A

【解析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.【详解】

圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，它们的圆心距等于，等于半径之和，两个圆相外切.故选：A.【点睛】

判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

7．若实数满足，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，令，得到；求出圆心到直线的距离，即可得出所求式子的范围．

【详解】

令，即，表示一条直线；

又方程可化为，表示圆心为，半径的圆；

由题意直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，∴，即的取值范围为．

故选：B

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，由直线与圆的位置关系求参数，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.8．已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为

A．4

B．3

C．2

D．1

【答案】D

【解析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。

【详解】

结合题意，绘制图像，可知

当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。

【点睛】

考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。

9．对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“新距离”：．给出下列三个命题：

①若点在线段上．则；

②在中，若，则；

③在中，．

其中的真命题为（）

A．①③

B．①②

C．①

D．③

【答案】C

【解析】根据题意，对于①若点在线段上，设点坐标为，然后代入验证显然成立．对于②在中，若，则|是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在中，用坐标表示，然后根据绝对值不等式可得到大于等于．推出不成立，故可得到答案．

【详解】

①若点在线段上，设点，那么在之间．在，之间，∴，故①正确；

②，显然，平方后不能消除，所以命题不成立，故②不正确；

③在中，由绝对值不等式的性质可得：，故③不正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查命题真假的判定，考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求，熟记绝对值不等式的性质即可，属于中档题目．

10．如图，在菱形中，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】取中点连接，设菱形的边长为，可得（或补角）为与所成角．在中，由余弦定理，即可求出结果.【详解】

取中点连接，设菱形的边长为，因为，∴，则（或补角）为与所成角．

∴，在中，可得，在中，．

在中，．

在中，．

因此异面直线与所成角的余弦值为.故选：C

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，只需在几何体中作出异面直线所成的角，解对应三角形即可，属于常考题型．

二、填空题

11．直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为_

____，面积为______cm2．

【答案】矩形、8

【解析】试题分析：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45（或135）度。所以四边形ABCD为边长分别为2,4的矩形，其面积为8.【考点】本题主要考查平面图形的直观图画法。

点评：注意直观图中线段与原图的关系。

12．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.【答案】

【解析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积.【详解】

由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,所以最长的棱为PC=,几何体体积为.故答案为：(1).(2).【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.【答案】－2

【解析】根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.【详解】

直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴，若，则，得；

若，则，∴，得，故答案为和2.【点睛】

本题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，学生的转化能力，是一道基础题.14．如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为______．

【答案】．

【解析】【详解】试题分析：直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，由已知直线过点，所以，即，所以直线方程为，即．

【考点】直线方程．

15．正方体的棱长为，，分别是，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．

【答案】

【解析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．

【详解】

取中点，中点，中点，连结、、、、、，∵，，∴平面平面，∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，∵，四边形是矩形，∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：；

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，设平面的法向量，则，取，得，设和该截面所成角为，则，∴和该截面所成角的正弦值为．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型．

16．已知实数满足，则的取值范围是_________.【答案】[0，]

【解析】构造直线x0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则sin∠POM，求出∠POM的范围即可得到答案．

【详解】

P（x，y）为圆x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则P到直线xy＝0的距离PM，又因为圆在直线的上方，则PMx，∴sin∠POM，设圆x2+（y﹣2）2＝1与直线y＝kx相切，则1，解得k＝±，∴∠POM的最小值为0°，最大值为60°，∴0≤sin∠POM，故答案为：[0，]．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化，属难题．

17．四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形．若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为______．

【答案】

【解析】取的中点，连结，作出外接球的球心，设是边长为的等边三角形，可得，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，．（当且仅当时取等号），即可求出表面积最小值．

【详解】

取的中点，连结，∵在四面体中，平面，设是边长为的等边三角形．，即，∴，是等腰三角形，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，则，所以（当且仅当时,取等号）．

四面体外接球的表面积为．

故答案为：

【点睛】

本题考查几何体外接球的相关计算，熟记简单几何体的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型．

三、解答题

18．已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍．

（1）求圆台两底面的半径；

（2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

上底面半径为，下底面半径为．(2)

．

【解析】（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，且．推导出,，从而．由此能求出圆台上底面半径和下底面半径；

（2）过点作于点，连接，推导出，面，从而为与平面所成的角，由此即可求出结果.【详解】

（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，将圆台补成如图的圆锥，则.在中，∴．

在中，∴．

∴，所以．

故圆台上底面半径为，下底面半径为．

（2）过点作于点，连接，∵面，∴，∴面，∴为与平面所成的角，∵，∴，，∴，∴与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于常考题型．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．

（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．

证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．

又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．

（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，∴PE⊥AC．

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC．

∴PE⊥BC．

又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，又EF∩PE=E，∴BC⊥平面PEF．

∴平面PEF⊥平面PBC．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

20．已知点M（3,1），直线与圆。

（1）求过点M的圆的切线方程；

（2）若直线与圆相切，求a的值；

（3）若直线与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为，求a的值。

【答案】(1)和(2)或(3)

【解析】【详解】

（1）圆心,半径,当切线的斜率不存在是，方程为.由圆心到直线的距离知，此时直线与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线方程为,即.由题意知，解得k=,∴切线方程为，即.故国M点的圆的切线方程为和.（2）由题意知，解得或

（3）∵圆心到直线的距离为

∴解得.21．如图（1），边长为的正方形中，分别为，上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，沿，折起，使三点重合于点.（1）求证：；

（2）求二面角的正切值的最小值．

【答案】(1)证明见解析；(2)

．

【解析】（1）可得折叠后，即可证明．

（2）作交于点，连结．可得为二面角的平面角．令，，易得图3中，利用即可求解．

【详解】

（1）证明：折叠前，，折叠后，又，所以平面，因此．

（2）作交于点，连结．

∵，∴为二面角的平面角．

令，，易得图3中，∴

则，当且仅当

∴二面角的正切值的最小值为．

【点睛】

本题考查了空间线线垂直判定，二面角的大小求解，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及几何法求二面角的大小即可，属于常考题型.22．如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．

（1）求圆C的方程；

（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．

【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.【解析】（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12

求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.【详解】

（1）由题得，所以圆C的半径为.所以圆C的方程为.(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，所以,由题得

因为,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,所以，所以.所以直线EF的斜率为定值．

【点睛】

本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.