2019-2020学年第一中学高二上学期期中数学（理）试题
一、单选题
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，则b=
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【解析】【详解】
由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．已知等差数列前9项的和为27，则
A．100
B．99
C．98
D．97
【答案】C
【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.3．命题“”的否定是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可.详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选B.点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.4．椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】根据题意，分析可得、的值，计算可得的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则，即，则，若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为，故要求椭圆的标准方程为或，故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
5．已知，函数的最小值是（）
A．5
B．4
C．8
D．6
【答案】D
【解析】试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.【考点】重要不等式的运用.6．在中，则的值等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则=（）
A．3
B．7
C．10
D．15
【答案】D
【解析】【详解】
若q=1可得据=2≠3，故q≠1，∴，化简得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，．
故选：D．
8．设，是椭圆：的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设直线与轴交于点，由已知得，由此能求出椭圆的离心率．
【详解】
解：如图，设直线与轴交于点，由已知得，轴，为直线上一点，，椭圆的离心率为．
故选：．
【点睛】
本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用．
9．设，满足约束条件，目标函数的最大值为（）
A．5
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．
【详解】
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，则，目标函数
．
．
．
故目标函数的最大值为
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优解最常用的方法，一定要熟练掌握．
10．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，则的形状一定是（）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状。
【详解】
化简得
即
即
是直角三角形
故选A
【点睛】
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。
11．给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；
③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④。
【详解】
根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；
根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；
根据含有量词的否定，“”的否定是“”，所以③正确；
根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确。
综上，正确的有②③④
所以选C
【点睛】
本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题。
12．已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，用表示这个等差数列后三项和为，进而设，利用三角函数的性质能求最大值。
【详解】
设中间三项为，则，所以，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以
故选：
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质。
二、填空题
13．若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是
______.【答案】
【解析】【详解】
命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为（-∞，-1]．
14．在中，角所对的边分别为，若，则______．
【答案】
【解析】【详解】
由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，则，应填答案
15．若数列满足，则______.【答案】
【解析】直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的通项公式求出结果．
【详解】
解：数列满足，①
当时，②
①②得，所以，，所有的式子相乘得，所以
即首项符合通项，故，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.三、解答题
17．已知数列是首项为1，公比为的等比数列，并且，成等差数列.（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（2）
【解析】（1）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比；
（2）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列采用分组求和即可．
【详解】
解：（1）由，成等差数列，得，即，由于，所以，所以或（舍），所以.（2）由（1）知，所以.又，所以数列的前项和为：
.【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用以及等差数列和等比数列的前项和公式的应用．主要考查学生的运算能力．
18．命题：函数有意义；命题：实数满足.（1）当且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用且为真，求实数的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【详解】
解：（1）由得，又，所以.则：，；
若，则：，由，解得，即：.若为真，则，同时为真，即，解得，∴实数的取值范围.（2）若是的充分条件，即是的充分条件，∴是的子集.所以，解得.实数的取值范围为.【点睛】
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键．
19．如图，港口在港口的正东120海里处，小岛在港口的北偏东的方向，且在港口北偏西的方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东的方向以20海里/小时的速度驶离港口.一艘给养快艇从港口以60海里/小时的速度驶向小岛，在岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发，补给装船时间为1小时.（1）求给养快艇从港口到小岛的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口后，最少经过多少小时能和科考船相遇？
【答案】（1）快艇从港口到小岛的航行时间为小时（2）给养快艇驶离港口后，最少经过3小时能和科考船相遇
【解析】（1）给养快艇从港口到小岛的航行时间，已知其速度，则只要求得的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）由（1）知，给养快艇从港口驶离2小时后，从小岛出发与科考船汇合，根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．
【详解】
（1）由题意知，在中，，所以，于是，而快艇的速度为海里/小时，所以快艇从港口到小岛的航行时间为小时.（2）由（1）知，给养快艇从港口驶离2小时后，从小岛出发与科考船汇合.为使航行的时间最少，快艇从小岛驶离后必须按直线方向航行，设给养快艇驶离港口小时后恰与科考船在处相遇.在中，而在中，，由余弦定理，得，即，化简，得，解得或（舍去）.故.即给养快艇驶离港口后，最少经过3小时能和科考船相遇.【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．
20．已知，且.（1）当，分别为何值时，取得最小值？并求出最小值；
（2）当，分别为何值时，取得最小值？并求出最小值.【答案】（1），时，的最小值为32（2），时,.的最小值为
【解析】（1）直接利用基本不等式，可求出，分别为何值时，取得最小值；
（2）变形，利用“1”的代换，即可求出当，分别为何值时，取得最小值
【详解】
解：（1）因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，于是的最小值为32.（2）由已知得，所以，当且仅当，即，时取等号.因此的最小值为.【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查学生变形能力，属于中档题．
21．在中，内角，的对边分别是，，且.（1）求角的大小；
（2）若，与在两侧，求面积的最大值.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理和余弦定理，即可求出以及的值；
（2）根据题意画出图形，由（1）知为等边三角形，设边长为，，则，在中利用正弦、余弦定理将，转化为角的三角函数，即可求出面积的最大值。
【详解】
解：（1）中，由正弦定理及
知，所以，由余弦定理知，所以，所以，又，所以.（2）如图
令，，则，∴.又，∴，∴.∴
.当等号成立.∴面积的最大值为.【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的综合应用问题，体现了边角转化思想，属于难题．
22．设数列的前n项和为.满足，且，设
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由题可得：当时，有，结合已知方程作差，可得：，两边除以，再整理得：，可得，问题得解。
（2）利用（1）可求得：，通过放缩可得：，由此可得：，结合等比数列求和公式即可证明原不等式成立。
【详解】
（1）∵，∴当时，有，两式相减整理得，则，即，∴，当时，且，则，∴，满足.∴.故数列是首项为3，公比为的等比数列，即.（2）由（1）知，∴，则，当时，即，∴.当时，上式也成立.综上可知，对一切正整数n，有.【点睛】
本题主要考查了赋值法及化简、整理能力，还考查了构造思想及等比数列的通项公式，考查了放缩法证明不等式，还考查了等比数列前项和公式，考查转化能力及计算能力，属于难题。
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