2019-2020学年市中学（4+n）高中联合体高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．设，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】，则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题。
2．在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点P（2，-1），则sin（π-α）的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα,再由诱导公式即可得答案
【详解】
解：∵角α终边过点,∴,∴
∴,故选：A
【点睛】
本题考查已知终边上一点求三角函数值,考查诱导公式的应用,是基础题
3．在中，，则为（）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】C
【解析】根据大边对大角可知最大内角为；利用余弦定理可求得，可知为钝角，从而得到结果.【详解】
最大内角为
且
为钝角三角形
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，关键是能够通过求解最大角的余弦值确定最大角所处的范围.4．张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加
A．尺
B．尺
C．尺
D．尺
【答案】C
【解析】利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果．
【详解】
由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．
所以织布的数据构成等差数列，设公差为d，第一天织的数据为，第30天织的数据为，则：，解得：，则：，解得：，故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5．正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成的角等于()
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
【答案】D
【解析】通过证明平面，可证得直线与直线垂直，即所成的角为.【详解】
画出图像如下图所示，连接，由于几何体为正方体，故，所以平面，所以,即所成的角为.所以选D.【点睛】
本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.6．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为2℃时，用电量约为（）
（单位：℃）
（单位：度）
A．56度
B．62度
C．64度
D．68度
【答案】A
【解析】由已知可得，再根据线性回归方程：过点（10,40），代入运算得，再运算即可得解.【详解】
由已知有，则线性回归方程：过点（10,40），代入运算得，即线性回归方程为：，当时，故选A.【点睛】
本题考查了线性回归方程，重点考查了样本中心点在回归方程上，属基础题.7．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除.【详解】
A.,由所以不存在这样的三角形.B.,由且所以只有一个角B
C.中，同理也只有一个三角形.D.中此时，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形.所以选择D
【点睛】
在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，记得一定要去判断是否会出现两个角.8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
9．函数在的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
10．等差数列{an}前n项和为Sn，a4+a6=-6．则当Sn取最小值时，n=（）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质化简,得到的值,然后根据a1的值,利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值,根据a1和d的值写出等差数列的通项公式,进而写出等差数列的前n项和公式Sn,配方后即可得到Sn取最小值时n的值
【详解】
由,解得,又,∴,解得d=2,则,∴,∴当n=6时，Sn取最小值．
故选：A
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查等差中项的应用,考查等差数列前项和的最小值,考查等差数列的函数性质
11．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
12．数列{an}满足，则a1a2a3…a10=（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题,当时,得到,与题目中式子相减,即可得到,进而求解
【详解】
解：n=1时,a1=,∵,∴时，两式相减可得2n-1an=,∴,n=1时，也满足
∴,故选：A
【点睛】
本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解
二、填空题
13．若向量，且，则_____
【答案】6
【解析】本题首先可通过题意得出向量以及向量的坐标表示和向量与向量之间的关系，然后通过向量平行的相关性质即可得出结果。
【详解】
因为，且，所以，解得。
【点睛】
本题考查向量的相关性质，主要考查向量平行的相关性质，若向量，，则有，锻炼了学生对于向量公式的使用，是简单题。
14．已知，则________．
【答案】
【解析】【详解】
由于，所以，,故答案为.【考点】二倍角的正弦公式
15．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，那么它的通项公式为an=______．
【答案】
【解析】当n=1时,a1=S1=2；当时，检验后可得通项公式
【详解】
解：当n=1时,a1=S1=12+1=2；
当时，检验,当时，∴不符合∴，故答案为：
【点睛】
本题考查由与的关系求通项公式,解此类问题时需注意检验
16．如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN=______米．
【答案】75
【解析】由题意,可先求出AC的值,从而由正弦定理可求AM的值,在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,从而可求得MN的值
【详解】
解：在△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50m,在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得，即,因此AM=50m
在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,由,得MN=50×=75m
故答案为：75
【点睛】
本题考查正弦定理的应用,考查解三角形的实际应用,考查运算能力
三、解答题
17．5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．
（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；
（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；
（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．
【答案】（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解析】（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；
（2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；
（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数
【详解】
解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是,所以估计总体中分数小于50的概率0.1
（2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2,此分数为
（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人,所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人,故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×=540人
【点睛】
本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题．
18．设等差数列{an}中，a2=-8，a6=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an=2n-12，n∈N；（2），n∈N.【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d,运用等差数列的通项公式,可列方程为,解方程可得首项和公差,进而得到所求通项公式；
（2）等比数列{bn}的公比设为q,由（1）可得,可得公比q,再由等比数列的求和公式求解即可
【详解】
解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a6=0,可得,解得,则,n∈N
（2）等比数列{bn}的公比设为q，由（1）可得，则q==3,所以前n项和Sn=,n∈N
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式、求和公式,考查方程思想和运算能力
19．在中，角所对的边分别为，且满足
.（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长.【答案】(1)
.(2).【解析】试题分析：
(1)由题意结合正弦定理边化角，整理可得：，则.(2)由题意结合面积公式可得，则的周长为.试题解析：
（1）因为，所以，由正弦定理可得,即，又角为的内角，所以，所以，又，所以.（2）由，得，又，所以，所以的周长为.20．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.【答案】
(1)
证明见解析
(2)
证明见解析
【解析】（1）连接CE，OF，易知四边形ABCE是菱形，可得O是AC的中点，利用中位线的概念，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；
（2）通过证明AP⊥BE、BE⊥AC，可证明BE⊥平面PAC
【详解】
证明：(1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC
【点睛】
本题考查了线面平行、垂直的判定，考查了线面垂直的性质，在证明线面垂直问题时，注意线线垂直与线面垂直的互化.21．如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=a，AC=b，AB=c（单位：百米）
（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；
（2）已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，并求观景路线A-C-B长的最大值．
【答案】（1）10；（2）8.【解析】（1）利用a、b、c成等差数列,且公差为4,可得,利用余弦定理即可求b的值；
（2）利用正弦定理,求出AC、BC,可得到观景路线A-C-B为是关于的函数,求出最大值即可
【详解】
解：（1）∵a、b、c成等差数列,且公差为4,∴,∵∠MCN=120°，∴,即°,∴b=10
（2）由题意,在中，则,∴，∴观景路线A-C-B的长,且,∴θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8
【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形的边,考查正弦定理的应用,考查三角函数的最值问题,考查运算能力
22．已知点及圆.（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；
（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.【答案】(1)
或；(2).【解析】试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程
试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2．
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0．
由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝．
k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0．
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CD⊥PD，即
（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．
【考点】1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题
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