2019-2020学年吉林省长春市德惠市实验中学、前郭五中等九校高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合，,则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先求集合，然后求.【详解】
解得或，或，.故选:D.【点睛】
本题考查集合的交集，属于简单题型.2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】逐一分析选项，比较函数的三个要素，得到正确结果.【详解】
A.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.B.的定义域是，解得，定义域,的定义域是，解得或，即或，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
C.两个函数的定义域相同，并且，两个函数的定义域和解析式相同，是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，不是同一函数.故选:C.【点睛】
本题考查判断函数是否是同一函数，函数的三个要素是定义域，对应关系，值域，当定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数，若三要素有一个不同就不是同一函数.3．函数的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数解析式，写出解析式成立的条件即可求出函数定义域.【详解】
要使函数有意义，则需：，解得或，所以函数的定义域为
故选：B
【点睛】
本题主要考查了有解析式的函数的定义域的求法，属于中档题.4．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）.A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】逐一分析选项，得到正确结果.【详解】
A.满足，函数是奇函数，关于原点对称，函数是单调递减函数；
B.定义域是，满足，所以函数是偶函数；
C.定义域，满足，函数是偶函数；
D..定义域，满足，函数是奇函数，增函数-减函数=增函数，满足条件；
故选:D.【点睛】
本题考查函数的性质，意在考查对函数性质的灵活掌握，属于基础题型.5．已知函数,则的值等于（）
A．2
B．1
C．3
D．9
【答案】A
【解析】是奇函数，即，而，利用函数性质求解.【详解】
是奇函数，即，.故选:A.【点睛】
本题考查利用函数是奇函数，求函数值，本题的关键是观察，后面的问题就迎刃而解.6．已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）
A．0
B．-1
C．2
D．0或2
【答案】A
【解析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值.【详解】
函数是幂函数，解得：或，当时，过原点，不满足条件；
当时，不过原点，满足条件，.故选:A.【点睛】
本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.7．函数(其中)的图象不可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于，当时，且，故可能；对于，当且时，当且时，在为减函数，故可能；对于,当且时，当且时，在上为增函数，故可能，且不可能.故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分段函数若满足在上的单调递减函数，需满足每段都是单调递减，并且在分界点处的函数值比较大小，列不等式求的取值范围.【详解】
若满足分段函数是上的单调递减函数，需满足，解得：
即的取值范围是.故选:C.【点睛】
本题考查已知分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于基础题型，这类题型，容易忘记分界点处的函数值需比较大小，需谨记这点.9．当时，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】首先讨论和两种情况，当时，时，解得：，然后再分别画图象，当满足条件的时候，根据图象求的范围.【详解】
当时，，不成立，当时，当时，解得：，如图，若时，时，.故选:B.【点睛】
本题考查根据恒成立的不等式求参数的取值范围，意在考查数形结合分析和临界条件分析问题和解决问题的能力，同时需熟练掌握底数对图象的影响.10．已知函数，若函数的值域为，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若函数的值域是，需满足内层函数和轴有交点，即求的取值范围.【详解】，若满足函数的值域是，需满足
和轴有交点，即
解得或，故选:B.【点睛】
本题考查根据复合函数的值域，求参数取值范围的问题，属于中档题型，学习中弄清这两个问题1.的定义域，求参数取值范围，2.函数的值域为，求参数取值范围.11．已知函数为偶函数，且对于任意的，都有,设，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】首先判断函数在的单调性，然后根据偶函数化简，然后比较2，的大小，比较的大小关系.【详解】
若，则函数在是单调递增函数，并且函数是偶函数满足，即，在单调递增，即.故选:C.【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.12．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
【详解】
有三个零点，有一个零点，故，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知
因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。
【点睛】
本道题考查了函数零点问题，难度加大。
二、填空题
13．在对应法则的作用下,中元素与中元素一一对应，则与中元素对应的中元素是____________.【答案】
【解析】首先将中的元素写成，根据对应关系求的值.【详解】，那么
即与中的元素对应的就是，故填：.【点睛】
本题考查映射求原象，重点理解对应关系，属于简单题型.14．已知函数的图象过定点P，则点P的坐标为_______.【答案】
【解析】解析式中的指数求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标.【详解】
由于函数经过定点，令，可得，求得，故函数，则它的图象恒过点，故答案是.【点睛】
该题考查的是有关指数型函数图象过定点的问题，需要把握住，从而求得结果，属于简单题目.15．若函数且，则____________.【答案】1
【解析】首先根据两个函数值求，再求和.【详解】
根据条件可知，解得：，即，故填：1.【点睛】
本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.16．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________.【答案】
【解析】首先分成，根据复合函数的单调性可知，外层函数是单调递增函数，即，内层函数在区间
单调递减，并且最小值大于0，即，求解的取值范围.【详解】，若满足函数在上单调递减，只需满足，解得.故填：.【点睛】
本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，复合函数单调性的判断方法，首先分成内外层函数，然后根据“同增异减”判断函数的单调性.三、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】(1)(2)0
【解析】代入指数运算法则和根式和分数指数幂的公式转化求解；（2）代入对数运算法则求解.【详解】
（1）原式
.（2）原式
.【点睛】
本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化和计算能力，属于基础题型.18．设集合.（1）若,求.（2），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）
【解析】（1）首先求集合和，再求；（2）首先解集合，若，再根据包含关系列不等式组，求的取值范围.【详解】
解：（1）当m=5,(2)
ⅰ）令，无解
ⅱ）
【点睛】
本题考查集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，一般含有参数的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根据集合的包含关系求参数时，1.不要忘了空集的情况，2,.一般需要借助数轴表示集合的包含关系.19．已知函数，（且）.（1）求的定义域及的定义域.（2）判断并证明的奇偶性.【答案】（1）函数的定义域为，函数的定义域为（2）是奇函数，证明见解析
【解析】（1）首先求函数的定义域，令，解得，求的定义域，令，求定义域；（2）定义域关于原点对称，判断与的关系得到函数的奇偶性.【详解】
解：（1）函数>0
函数的定义域为
函数的定义域是
（2）是奇函数
证明：函数的定义域为，定义域关于原点对称
（或证明）
是奇函数
【点睛】
本题考查函数的定义域，以及定义法判断函数的奇偶性，尤其是求抽象函数的定义域，已知的定义域是，那么的定义域就是令，再解，就是定义域.20．函数和的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点
（1）请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数；
（2）比较的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数,则函数的两个零点为，如果，其中为整数，指出的值，并说明理由。
【答案】（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为.（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）根据指数函数与幂函数图像特点进行判断选择（Ⅱ）根据计算结果比较大小（Ⅲ）根据零点存在定理求解.【详解】
解：（Ⅰ）C1对应的函数为，C2对应的函数为.（Ⅱ）
所以从小到大依次为。
（Ⅲ）计算得
理由如下：
令，由于，则函数的两个零点
因此整数
【点睛】
本题考查指数函数与幂函数图像特点以及零点存在定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.21．已知函数,（1）求函数的值域.（2）设,求的最值及相应的的值.【答案】（1）（2）当x=1时，有最大值0；当x=2时，有最小值-1
【解析】（1）利用函数是单调递增函数，直接求值域；（2）求函数，再换元，设，，求二次函数的最值.【详解】
解：（1）的值域是
（2）的定义域为，的定义域为，设当
当=0即x=1时，有最大值0
当=1即x=2时，有最小值-1
综上:当x=1时，有最大值0；当x=2时，有最小值-1
【点睛】
本题考查对数函数根据单调性求最值，以及换元法求二次函数的最值，本题有一个易错点是函数的定义域和的定义域不相同，的定义域应是.22．已知函数．
求方程的实根；
若对于任意，不等式恒成立，求实数m的最大值．
【答案】（1）x=0；（2）4
【解析】(1)由题得,再解即得.(2)先化简得，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.【详解】
（1）
(2)由条件知
所以
而.当且仅当f(x)=,即f(x)=2,x=0时取得最小值.所以,所以实数m的最大值为4.【点睛】
(1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.
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