科斯定理的一个案例

第一篇：科斯定理的一个案例

"媒体近日报道了广东江门市新会区崖南镇一陶瓷厂捐资建造新崖南中学的事。当年，该陶瓷厂在崖南镇刚投产，就因该厂排放的气体严重影响附近崖南中学师生而引发纠纷。学校与工厂仅是一路之隔，南风将工厂排出的废气弥漫校园，师生深受其害，学生家长还联合到陶瓷厂堵住厂门禁止开工，一度造成企业和学校群众之间的严重对立。后来，经各方努力，该厂出资２００万元购买原校区，还捐资１００多万元资助新校区建设。同时也投入设备完善治污设施。电视镜头上，显示的是新校区整齐的规划和洁净的校容，该厂董事长也被学校聘请为名誉校长。”

由于市场上对于陶瓷存在持久旺盛需求，于是，空气清洁产权界定依照习俗界定给学校，也不妨碍陶瓷厂通过谈判解决外部性问题。此案例告诉我们，市场机制和谈判会确保资源的最有效利用。任何最优的达致，都有当下技术条件下，诸偏好的一个谈判产物。市场价格表达了这样一个信息，即使哦我给你三百万，我卖陶瓷还是能够赚钱的，因此，我愿意，我出钱，我把你买走，买走你还不行吗？除了了买的200万，我还捐赠100万不行吗。所以学校就在谈判中把那个地点的空气清洁权卖给了陶瓷厂。这就是交易。

此例中，如果，市场对于陶瓷的评价很低，如果让陶瓷厂拿出300万，陶瓷厂就会倒闭停产。那怎么办？那就是它自己搬迁到别处。这说明，在那个时点，市场对于教育服务的评价高于陶瓷的评价。

第二篇：科斯建设公司

安徽科斯建设工程有限公司

简称：科斯建设公司

安徽科斯建设工程有限公司是国内大型建筑设施类工程公司，总部位于享有“包公故里、科教基地、滨湖新城”之美誉的合肥市。开创之初，公司以“诚信是根本、质量是生命、服务是关键”的理念服务于社会。科斯建设公司在企业创始人丁奎先生的带领下，以“低碳、节能、环保”的价值观倾力打造中国建筑行业绿色之驱。

科斯建设公司专业致力于中央空调、智能化、消防设施、节能环保、新能源利用工程及相关服务。企业通过ISO9001质量管理体系认证，ISO14001环境管理体系认证，GB/T28001职业健康管理体系认证。总经理丁奎先生携手科斯建设公司率先与国内外知名企业合作，在绿色建筑行业中与国际接轨。荣获国家AAA级信用企业称号和诚信经营示范单位称号；并多次获得守合同重信用企业及优秀建筑企业荣誉称号。

科斯建设公司继承弘扬中华民族传统美德和社会责任，积极参与公益爱心事业，企业成立“教育基金会”长期关注山区教育发展，帮扶山区贫困儿童教育。科斯建设公司拥有行业高端科技人才，并组建了“企业商学院”以人才战略为第一战略、得人才者得天下的思想孵育企业。先后与合肥工业大学、安徽建筑大学精诚合作，配备技术力量雄厚的专业工程设计师和一批作风顽强、技术过硬的工程施工人员，拥有先进的生产设备和施工设备。在激烈的市场竞争中，秉着 “以专见长、不断创新”的刻苦努力、搏击风浪的精神取得了长足进步和稳健发展，先后承接了一大批名优工程建设，创造了一流工程品质的专业队伍，迅速领军于行业之林。

科斯建设公司积极探索现代企业管理模式，严格执行ISO9001质量管理体系，以“产品战略、客户战略、人才战略、竞争战略、赢利目标、绩效管理、市场营销、财务管理”八个方针经营企业，遵循低碳、节能、环保的价值观服务于绿色建筑，科斯建设公司秉承大爱无疆、敢于担当、节能创新的时代理念致力于社会的和谐发展！

安徽科斯建设工程有限公司

第三篇：正弦定理教学案例

正弦定理教学案例

一、教学设计

1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之五，既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本次课是“正弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

为什么叫解斜三角形？解斜三角形必须要用正弦定理和余弦定理吗？正弦定理和余弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

2、设计思路

为了回答上述问题我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，笔者具体做出了如下设计：①创设一俱现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性7问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生使用计算器对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点AC＋CB＝AB；二是如何将向量关系转化成数量关系，同时将三个项的关系式转化为只有两个项的关系式，以揭示引入单位向量j和使用向量的数量积运算的合理性。④由学生独立使用已证明的结论去解决②中所提出的问题。

二、教学过程

1、设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d＝1km。因上游暴

发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处

或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度

｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。

2、提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选了几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

⑴船应开往B处还是C处？

⑵船从A开到B、C分别需要多少时间？

⑶船从A到B、C的距离分别是多少？

⑷船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

⑸船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讲座一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题⑴，需要解决问题⑵，要解决问题⑵，需要先解决问题⑶和⑷，问题用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题⑷，问题⑷与问题⑸是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题⑷和⑸。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：般从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小｜v｜及v 1与v 2的夹角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，还需求 及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

生3：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这四个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。

生4：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这四个元素的数量关系，则第三边也可求出。

生5：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这四个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。

师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

3、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：如图4，请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这四个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组合 因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生6：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生7：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直

角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②

三角形同一边上的高不变；③三角形外接圆直径不变。在教师的建议

下，学生分别利用这3种关系作为基础得出了如下三种证法：

证法一：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则

有

AD＝b·sin∠BCA，BE＝c·sin∠CAB，CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA

＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠

ABC.证法二：如图5，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。

则有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC，BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。

证法三：如图6，设CD＝2r是△ABC的外接圆的直径，则∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

师：据我所知，从AC＋CB＝AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

生8：要想办法将向量关系转化成数量关系。

生9：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

生10：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生11：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量（如向量AC）垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。

师：请大家具体试一下，看还有什么问题？

众学生：向量j与AB、CB的夹角与△ABC是锐角三角形还是钝角三角形有关，所以应分两类情况分别证明。

教师让学生通过小组代表作完成了如下证明。

语法四：如图7，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB＝AC＋CB，所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB.因为j·AC＝0，j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA

.4、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家考虑一下，正弦定理能够解决哪些问题？

众生：知三求一，即已知三角形的两边与一边的对角，可求另一边的对角；已知三角形的两角与一角的对边，可求另一角的对边；已知三角形中两边与它们的对角四个元素中的两个元素，可研究另外两个元素的关系。

师：请同学们用正弦定理解决本节课开始时大家提出的问题。

三、教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境——问题”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章第十二节研究性课题的第二个问题，笔者将其加工成一个具有实际意义的决策型问题。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。在进行教学设计时，笔者曾考虑以“直角三角形”作为情境，考虑到学生据此不易形成目标问题，而且问题缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解决问题，故未采用这个方案。

“情境——问题”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。要引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问绰向深入。

本课中，在教师的启导下，学生首先提出的问题是：船应开往B处还是C处？答案取决于船从A到达B、C的时间；船从A到达B、C的时间，又取决于船从A到达B、C的距离和船的速度的大小；而船能否到达B、C，又取决于船的航向。这些都是具有实际意义的问题，去掉问题的实际意义得出过渡性数学问题，抓住过渡性问题的数学实质，将其上升为一般性数学问题，即目标问题。学生还提出了一个超前性问题：三角形中三条边与一个角之间有什么关系？这是笔者在设计教案时未想到的，笔者除了对提出此问题的学生给予表扬和肯定外，还要求同学们课后认真研究这个问题，这个问题已经自然地成为教学“余弦定理”的情境。

使用计算器处理复杂、烦琐的数字运算是新教材的一个重要特点。本课中通过使用计算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验成为可能。这说明计算器在探索、检验规律方面也能发挥重要作用。在启导学生证明正弦定理时，笔者没有限制学生的思路，使学生通过自己的努力发现了多种证法，其中每一种证法都比教材上给出的证法要简单。但没有能够自然地启发、引导学生发现和选择向量方法，是一个遗憾。

第四篇：科斯的故事

科斯的故事

科斯生于一九一○，认识的朋友一致说他的一举一动皆合乎英国绅士的礼仪。一九三二年毕业于伦敦经济学院。因为课程修完早于规定的毕业时间，一九三一年他到美国去，在芝加哥大学旁听了奈特几课，不同意，有所悟，写下了一九三七年发表的《公司的性质》的初稿。这是后来一九九一年获诺贝尔经济学奖时被提到的两篇文章之一了。

科斯读很多书，翻阅文件无数，但正规的经济学论著他背得出来的只三本：马歇尔的《经济学原理》；奈特的《风险、不确定与盈利》；Philip Wicksteed的《政治经济的普通常识》。从我六十年代初期苦攻的水平衡量，科斯的分析技术差一点。但他出自斯密与英国教育的优良传统，受训于今天行内识者无不向往的三十年代的伦敦经济学院，老师与同学皆一时才俊，什么技术云云是无足轻重的了。

以读书考试算，科斯没有拿过学士以上的衔头。一九五一年要转到美国任教职，没有博士不成，他拿几篇发表了的文章申请D.Sc.这个荣誉博士衔，获取，而为他写推荐信到美国水牛大学去的是戴维德。戴维德自己也只有一个学士，但为哈耶克写过推荐信。这可见西方学术传统的至高处，跟今天中国的很不一样。

科斯是我认识的学者中最顽固的人。我可以说服他逻辑上有错，或这里那里要说得清楚一点，但他的思想路向是不能移动的。他没有兴趣的话题，对他说是白费心思。他坚持经济研究要知道真实世界发生着些什么事，反对黑板经济学，而选上了一个题材不走到尽头他不会罢休。《公司的性质》之后，科斯的另一篇有名文章是《边际成本的争议》，而在英国的日子，他研究的主要是垄断。奇怪，他选上了广播行业作为垄断的研究题材。到美国后，他继续研究广播或传播行业，但从英国的转到美国的那边去。这就带到他一九五九年在《法律经济学报》发表的《联邦传播委员会》那篇我认为是他平生写得最精彩的文章。

千载难逢的实例

科斯要调查联邦传播委员会，因为见到该会控制着整个美国的所有传播行业，是一家垄断权力非常庞大的机构，他要问这权力从何而起。找到的答案，是该委员会的前身是一个收音委员会组织，起于美国的东北部——波士顿一带。二十世纪初期，东北部的渔民出海捕鱼，靠收音机与家人联络，问天气、报平安。收音机的音波有频率，这频率应该每艘渔船各自不同。但在没有管制的情况下，不同渔船用同一音波频率，在空中互相干扰，弄得一团糟。有些好事之徒乱用频率，传达假讯息，当然是非管不可的了。科斯问：音波频率究竟是谁拥有的呢？为什么不界定为私产然后让市场决定谁有使用权呢？

科斯一脚踏中一个千载难逢的例子。一个人的行为影响他人，其效果有好有坏，是社会成本与私人成本出现了分离的重要话题，不仅老生常谈，而且带来的无效率需要政府干预之说在经济学行内大致上是接受了的。

最有名的例子是庇古提出的一家工厂污染邻居。邻居受损是工厂产出的社会成本的一部分，但工厂只算自家的生产成本，不管他人受到的污染。工厂生产的自家成本是私人成本，但社会成本是工厂的私人成本再加邻居受损的那部分。二者有分离，无效率，政府要多抽工厂的税，促使其减产，或政府要强迫工厂赔偿邻居的损失。工厂为祸，是坏人；邻居是无辜的受害者，是好人。大家日常生活的经验中，类同的例子无数。

一个人的行为给他人带来良好效果的例子比较少。最有名的是蜜蜂采蜜，替果树传播花粉，果实的数量增加，但果园的主人可没有给养蜂者补偿，也无效率，经济学者之见是政府理应补贴蜜蜂的饲养。园主是坏人，蜂主是好人。其实没有补偿或没有以市价成交的有良好外部性效果的例子不是那么少。一个美女招摇过市，大家看得开心，可没有给她钱。你跟一个有学问的人倾谈，学得一点，但没有给他钱。给钱他会多说几句，而什么经济效率云云，是指给钱之价跟多说一句的边际用值相等。

回头说音波频率在空中互相干扰的例子。我说千载难逢，因为那是唯一的没有好人坏人之别的实例。我干扰你，你也同时同样地干扰我，谁对谁错、谁好谁坏——再不是问题，经济学者可以容易地客观地看。科斯因而看到一个问题：工厂污染邻居，对邻居有损害，但如果不准工厂污染，岂不是邻居损害了工厂？究竟是哪方需要负责赔偿呢？

泊车损害种植惹来争议

在《联邦传播委员会》一文中，科斯举出一个惹来大争议的例子，最后他说的一句话就是足以传世的科斯定律，奇怪当时没有谁注意。该例子说：一个人在地上种植，另一个人在该地泊车，是谁损害了谁呢？泊车损害种植，但如果为了种植而不准泊车，则是种植者损害了泊车的人。跟着的推理是：只要土地的使用权利有清楚的界定，种植或泊车哪种用途价值较高，会通过市场的运作决定。科斯于是说：权利界定是市场交易必要的先决条件（The delineation of rights is an essential prelude to market transactions）。

《联邦》的文稿投到芝大由戴维德主编的《法律经济学报》，芝大的多位大师一律不同意种植者损害了泊车的人。戴维德于是要求科斯删除种植与泊车那部分。科斯坚持不删，说如果有错，那是有趣的错，应该刊登。戴维德说不删改也可以，但刊登后科斯要到芝大讲话，回应芝大同事的质疑。科斯的回应，是不公开讲话，但可与几位反对的坐下来研讨。以一对九科斯胜

这就带来一九六○年的春天在戴维德家中晚餐后的大辩论，在场的人都说应该是经济学历史上最精彩的。该辩论有十个人，皆名家也：Martin Bailey, Milton Friedman, Arnold Harberger, Reuben Kessel, Gregg Lewis, John McGee, Lloyd Mints, George Stigler，当然还有Ronald Coase与Aaron Director。（因为十君子我认识其中八位，跟他们谈过当晚大辩论的细节，瑞典的一个经济学诺奖委员曾经要求我提供详情，据说他们考虑建造一蜡像室描述这辩论。我的困难是McGee曾经告诉我，当晚Harberger在戴维德的家搬动家具建造畜牧的栏杆，但Harberger却记不起曾经这样做。）

辩论吵了三个小时。起于晚餐后科斯问：「工厂污染邻居，要工厂赔偿给邻居吗？还是邻居赔偿给工厂要求减产呢？」施蒂格勒的回忆，是吵到中途，弗里德曼站起来开枪乱扫，半个小时后所有的人都倒下，只有科斯还站着。科斯的回忆，是虽然当时自己肯定没有错，但米尔顿分析得那么清晰，他知道自己可以安寝无忧了。这些传言使一些外人认为科斯定律源自米尔顿的天才。我不同意，因为《联邦》一文发表在戴维德家中晚餐之前，而科斯定律已清楚地在该文表达了。后来一九九一年科斯获诺贝尔奖，发表演辞时米尔顿坐在我旁边。我轻声地问米尔顿：「这个人应该获诺奖吗？」米尔顿指着台上，说：「他吗？早应得了。」 施蒂格勒认为，当晚没有录音是经济学的大损失。McGee的回忆，是夜阑人静，大家离开戴维德的家时，自言自语地说他们为历史作了见证。芝大的Harry Johnson当时在伦敦，过了一天给芝大经济系一封电报，说：「听说又有一个英国人发现了新大陆。」十多年后，曾经反对科斯最激烈的Kessel对我说，地球上我们要回到斯密才能找到一个像科斯那样对市场有那么深入感受的人！

晚餐辩论后，科斯回到自己的维珍尼亚大学，动笔写今天同学们都知道的《社会成本问题》。说是一九六○年发表，其实是一九六一年了。科斯以为要赶印，写一节寄一节给戴维德，所以该文读来每节有明确的独立性，在连贯上没有一般文章那么一体。后来科斯对我说，他当时不知道戴维德根本不在乎什么时候发表，等多长时间也无所谓。当时《法律经济学报》有稿酬。我曾经问戴维德：「你给科斯那篇文章的稿酬是多少呢？」他回应：「当时校方规定每篇文章的稿酬以页数算。要是不这样，我会把所有的钱给科斯算了。」

第五篇：巴斯普定理及其证明汇总（小编推荐）

高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

05 物体平衡的种类 概念规律：

1、平行力的合成与分解

物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。

在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。

两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个同向平行力FA和FB，其合力的大小F=FA+FB，合力作用点O满足AO·FA=BO·FB的关系。

两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如：两个反向平行力FA和FB的合成其合力的大小F=FB-FA(假如FB＞FA，则F和FB同向)其合力的作用点满足AO·FA=BO·FB的关系。高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。

2、重心和质心

重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。

质心位置的定义表达式是一个矢量表达式，可以写成三个分量表达式：

其意义可以这样理解：假定由多质点组成的物体被分成许多小块，每块都有相同的质量m，物体总质量等于块数(设为N块)乘以每块质量m，第一式可以改写成：

即等于各小块的位置Xi之和除以块数N。因此，在假定每块质量相等时XC，就是所有Xi的平均值。如果其中有一块(设高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

第i块)的质量是其它小块质量的两倍，则在求和时，相应的Xi应出现两次。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此，XC是所有质量在X方向上的平均位置，其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这就是人们常说的，质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

质心位置的求法：(1)定义法

根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标，再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体，计算中通常要用到积分，对于中学生来说暂时还无力求解。因此，此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况的处理。(2)实验室

质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。在此平面物体上，选两点A和B(设A、B和质心不在同一直线上)，分别作为悬挂点，悬挂在垂直于平面的光滑转轴上，过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。(3)对称法

如果一个物体质量分布具有轴对称性，例如质量平面均匀高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

分布的菱形物体，其质心必处在对角线上，两对角线的交点即为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上，轴两旁的正负坐标的质量对应相等。(4)分割法

这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点，再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。

如下左图的棒锤，假设匀质球A质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l，求它的重心。第一种方法是将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。C在AB连线上，且AC·M=BC·m(如下右图)。

(5)负质量法

容易看出，负质量法本质上是分割法的一种推论，仍然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。不同的是，每一部分既可以是正质量，也可以是负质量。高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

同样，将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为—M的球A′的合成(如下左图)，用反向平行力合成的方法找出其重心C，C在AB连线上，且BC·(2M+m)=A′C·M．不难看出两种方法的结果都是：BC=M（R+l/2）/（M+m）

证明方法与分割法相同。

有时，根据质心的定义，我们还可用坐标法求物体系的质心。通常把物体分割成n个部分，求得这n个部分的质量分别为m1，m2，…，mn。所受的重力相应为m1g，m2g，…mng。又求得它们的重心(质心)的坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(xn，yn，zn)。由于这n个部分所受的重力Gi=mig(i=1，2，…，n)可看作是平行力，故可用类似于求同向平行力合力的方法，求得这n个平行力合力的作用点位置(xC，yC，zC)，得出整个物体质心(重心)的位置坐标为

上例中，以B点为原点，水平向右为。轴正方向，则A、B的合质心的位置为： 高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

即：

负号表示质心的位置在B点左侧（如上右图）。用坐标法求物体的重心是比较方便的。坐标法与分隔法—样，都是由平行力的合成方法推导出来的，有兴趣的读者可以尝试推导一下。

(6)巴普斯定理及其推论

对于质量连续分布的物体，求质心的一般方法是利用质心定义的三个分量表达式。但是，有时我们愿意采用处理这类问题的技巧，巴普斯定理提供了一种技巧。

巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。

当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体。显然，巴普斯定高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

理成立。一般情况下，平面物体上海一质点运动保持与物平面垂直，而各质点速度并不相等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间将扫出一个不规则体积。我们要证明巴昔斯定理仍能得到满足。下面分步给出证明。

1)易知，质心为原点的质心参照系下，质心的位置坐标必为零。

对于平面物体情况，在物平面内建立坐标OXY(z轴垂直此面)，坐标原点O与质心C重合，因质心X坐标XC＝0，得

2)我们已经知道，刚体的一个无限小运动可以由刚体上任一参考点的无限小平动和绕此参考点的无限小转动叠加而成。

现在我们把平面物体的运动分成无限多个无限小运动。每个无限小运动分解成随质心的无限小平动和绕质心的无限小转动。为保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求，应满足：随质心的无限小平动必须垂直于物平面；绕质心的无限小转动的瞬时转动轴必须在物平面上。

3)讨论符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第i个无限小运动。

设随质心的第i个无限小平动位移的Zi，则平面物体扫过高中物理竞赛专题辅导—力与平衡 的体积元为

其中S为平面物体面积。

设绕过质心在物平面上的转轴为y轴，第i个无限小转动产生的角位移为Δα。利用XC＝0，得

其中σ为平面物体质量面密度，对于质量均匀分布的平面物体，σ为常量。ΔSi为平面物体上面元的面积。设各面元在无限小转动下转过的路径Δli为

因平面物体上各质点Δα相同，所以

则

此式表示，由无限小转动所引起的各面元在空间扫过的体积正好抵消(这只有在坐标原点选在质心上，才有此结论)。对于整个运动过程，此结论依然成立。

因此，在满足巴普斯定理的运动要求下，面物体在空间扫过的体积为 高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

其中∑ΔZi为平面物体运动中质心经历的路程。巴普斯定理得证。

例1：求两直角边长分别为a、b的直角三角形，质量均匀分布，求质心的位置。（x=b/3，y=a/3）

例2：求均匀半圆盘的质心位置。设圆半径为R。（x=4R/3π）

巴普斯定理的一个推论同样很实用。此推论表述为一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心在运动中所经路程与曲线长度的乘积。

这个推论的正确性，只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的结论得到。

例3： 求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置。设圆半径高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

为R。（x=2R/π）

例4：如图(a)所示，由匀质金属丝围成的封闭图形，其中曲线部分是半径为R的半圆，直线部分是直径。求此封闭金属丝的质心位置。（2R/（2+π））

3、物体平衡的种类

当物体达到平衡以后受到微小扰动而偏离平衡位置时，如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡。如带正电的小球处在两个带等量负电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡。如带正电小球处在两等量正电荷小球连线的中点时。

如果平衡的物体受外界的微小的扰动偏离平衡位置时，这物体所受的合力仍为零，而能在新位置继续保持平衡状态，这种平高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

衡叫随遇平衡。如与液体密度相同的实心物体浸没在液体内部。

4、物体平衡种类的判断方法（1）受力分析法

当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的：如果所受的合外力为零，则质点处于随遇平衡状态。（2）力矩比较法

对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定状态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡状态。（3）重心升降法

对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚体两种），判断其平衡种类时，常可用重心升降法。即若使物体稍微偏离平衡位置，如其重心升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平高中物理竞赛专题辅导—力与平衡

衡位置后其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置后其重心高度不变，则为随遇平衡。（4）支面判断法

具有支面的物体平衡时，物体所重力的作用线一定在支面内，如果偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体就能回到平衡位置，属于稳定平衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩会使物体继续远离原来的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突破口。