2013年10月自考线性代数真题

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第一篇:2013年10月自考线性代数真题

2013年10月自考线性代数真题

说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。T

*

选择题部分

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.设行列式a1a2b1b21,a1a2c1c22,则

a1a2b1c1b2c2

A.-3 C.1 2.设4阶矩阵A的元素均为3,则r(A)= A.1 C.3 3.设A为2阶可逆矩阵,若A1B.-1 D.3 B.2 D.4 13

2553C. 21A.13*,则A= 251B.25D.23 53 14.设A为m×n矩阵,A的秩为r,则 A.r=m时,Ax=0必有非零解 C.r

222B.r=n时,Ax=0必有非零解 D.r

5.二次型f(xl,x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 0212026812 346 31B.001D.4008212 034026 63非选择题部分

注意事项:

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)6.设A为3阶矩阵,且|A|=2,则|2A|=______.

127.设A为2阶矩阵,将A的第1行加到第2行得到B,若B=,则A=______.34a12a11a12a118.设矩阵A=,B=,且r(A)=1,则r(B)=______.aaaaaa2122112112229.设向量α=(1,0,1),β=(3,5,1),则β-2α=________.

T10.设向量α=(3,-4),则α的长度||α||=______.

TT11.若向量αl=(1,k),α2=(-1,1)线性无关,则数k的取值必满足______.12.齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______.

T

T12210013.已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似,则数a=______ 22100a14.设3阶矩阵A的特征值为-1,0,2,则|A|=______.

15.已知二次型f(x1,x2,x3)=x1x2tx3正定,则实数t的取值范围是______.

三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分)

222abc16.计算行列式D=

2abac2c2a2bcabT

T2b2c.17.已知向量α=(1,2,k),β=1,,且βα=3,A=αβ,求(1)数k的值;

10(2)A.

11231231218.已知矩阵A=231,B=00,求矩阵X,使得AX=B.3401019.求向量组α1=(1,0,2,0), α2=(-1,-1,-2,0), α3=(-3,4,-4,l), α4=(-6,14,T-6,3)的秩和一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.

T

T

T2x3yz020.设线性方程组2xyz1,问:

xyz1(1)λ取何值时,方程组无解?

(2)λ取何值时,方程组有解?此时求出方程组的解.

00121.求矩阵A=010的全部特征值与特征向量. 1002222.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形,并写出所用的可逆线性变换.

四、证明题(本题7分)

23.设向量组α1,α2线性无关,且β=clα1+c2α2,证明:当cl+c2≠1时,向量组β-α1,β-α2线性无关.

第二篇:2012年4月自考线性代数真题及答案

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

a111.设行列式a21a12a22a32a13a112a122a222a323a133a23=()3a33D.12 a31A.-12 a23=2,则a21a33a31B.-6

C.6 1202.设矩阵A=120,则A*中位于第1行第2列的元素是()003A.-6 B.-3

C.3

D.6

3.设A为3阶矩阵,且|A|=3,则(A)1=()A.3 B.1 3C.1 3D.3 4.已知43矩阵A的列向量组线性无关,则AT的秩等于()A.1 B.2

C.3

D.4 1005.设A为3阶矩阵,P =210,则用P左乘A,相当于将A()001A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组A.1

0x12x23x3的基础解系所含解向量的个数为()x2+x3x4= 0B.2

C.3

D.4 7.设4阶矩阵A的秩为3,1,2为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解,c为任意常数,则该方程组的通解为()A.1c122 B.1223 5c1 C.1c122 D.1225 3c1

8.设A是n阶方阵,且|5A+3E|=0,则A必有一个特征值为()A.5 3B.C.5D.1009.若矩阵A与对角矩阵D=010相似,则A3=()001A.E B.D

C.A

D.-E

22210.二次型f(x1,x2,x3)=3x1是()2x2x3A.正定的 B.负定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

111.行列式21146=____________.4163600110012.设3阶矩阵A的秩为2,矩阵P =010,Q =010,若矩阵B=QAP,则r(B)=_____________.10010113.设矩阵A=1448,B=,则AB=_______________.141214.向量组1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3=(0,1,2,3)的秩为______________.15.设1,2是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系,则r(A)=______________.1000216.非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为01002,则方程组的通解是______.0012-217.设A为3阶矩阵,若A的三个特征值分别为1,2,3,则|A|=___________.18.设A为3阶矩阵,且|A|=6,若A的一个特征值为2,则A*必有一个特征值为_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正惯性指数为_________.x23x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x12x22x34x2x3经正交变换可化为标准形______________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

3512453321.计算行列式D =

1201203413022.设A=210,矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.00223.设,,2,3,4均为4维列向量,A=(,2,3,4)和B=(,2,3,4)为4阶方阵.若行列式|A|=4,|B|=1,求行列式|A+B|的值.24.已知向量组1=(1,2,1,1)T,2=(2,0,t,0)T,3=(0,4,5,2)T,4=(3,2,t+4,-1)T(其中t为参数),求向量组的秩和一个极大无关组.x1x22x3x4325.求线性方程组x12x2x3x42的通解..(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

2xx5x4x7341226.已知向量1=(1,1,1)T,求向量2,3,使1,2,3两两正交.四、证明题(本题6分)

27.设A为mn实矩阵,ATA为正定矩阵.证明:线性方程组Ax=0只有零解.全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案课程代码:04184

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.D

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

 2 0 2 00011.16 12.213.14.2 15.3 16.k,k为任意常数 17.6 2200

 0 12218.3 19.220.y14y2

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

3421.解:D =1251215334201303422011201533013315120111034043212010111

01331043212010111101248 00101216001622.解:由AXXA,可知X(AE)A,则XA(AE)1,00301且AE200,(AE)130010000 011200111300122110010故XA(AE)210133

00200100223.解: AB(,22,23,24)8[(,2,3,4)(,2,3,4)]8AB40

1224.解:(1,2,3,4)=111000203120312042044801t5t40t25t70t20210224002031112003t3t00000021112

03t3t0000312

5t700t3时,秩为2,一个极大无关组为1,2 t3时,秩为3,一个极大无关组为1,2,3.25.解:对增广矩阵作初等行变换

112131121311213A(A,b)121120112101121

21547011210000010334

01121

00000x13x33x44同解方程组为.x3,x4是自由未知量,特解*(4,1,0,0)T

x2x32x41x13x33x4导出组同解方程组为.x3,x4是自由未知量,xx2x342基础解系1(3,1,1,0)T,2(3,2,0,1)T,通解为*k11k22,k1,k2R.26.解:设2=(x1,x2,x3)T,2与1正交,则有x1x2x30,故可取2==(1,0,-1)T, 设3=(y1,y2,y3)T,3与1,2两两正交,则故可取3=(1,2,1).四、证明题(本题6分)

27.证明:由于ATA为正定矩阵,则秩(ATA)= n,又秩(A)= 秩(ATA)= n,则线性方程组Ax=0只有零解.Ty1y2y30.y1y3 = 0

第三篇:自学考试专题:全国09-04自考线性代数真题参考答案

2009年4月全国自考线性代数真题参考答案

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项

中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均

无分。

1.A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案:C

2.A.A

B.B

C.C

D.D

答案:D

3.A.0

B.1

C.2

D.3

答案:B

4.A.A

B.B

C.C

D.D

答案:A

5.A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答案:A

6.A.1

B.2

C.3

D.4

答案:C

7.A.A

B.B

C.C

D.D

答案:C



解析:基础解系必须满三个条件:(1)向量组是极大的;(2)向量组是方程解;(3)向量组必须是无关的.逐一验证选项,可知C正确.8.设A为3阶矩阵,且|2A-3E||=0,则A必有一个特征值为【】

A.A

B.B

C.C

D.D

答案:D

9.A.A

B.B

C.C

D.D

答案:D

10.A.A

B.B



C.C

D.D

答案:B



解析:由二次型正定的性质:顺序主子式全大于零.从而判断B正确.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答

案。错填、不填均无分。

1.题中横线处答案为:___

答案:-4

2.题中横线处答案为:___

答案:1/6

3.题中横线处答案为:___

答案:

4.题中横线处答案为:___

答案:

5.题中横线处答案为:___

答案:

6.题中横向处答案为:___

答案:-2



7.题中横线处答案为:___

答案:1



[解析]方程组系数矩阵的秩为2,所以解向量的个数为3-2=1个.8.已知3阶矩阵A的特征值为0,-2,3,且矩阵B与A相似,则|B+E|=___.答案:-4

[解析]由矩阵相似的性质,|B+E|=(0+1)×\u65288X1-2)×\u65288X3+1)=-4.9.题中横线处答案为:___

答案:-1

[解析]由于A为实对称矩阵,从而A的不同特征值对应的特征向量正交,即1×1+1×k=0从而k=-

1.10.题中横线处答案为:___

答案:

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

1.答案:

2.答案:

3.答案:



4.答案:



5.答案:



6.答案:

四、证明题(本题6分)

1.

第四篇:0907线性代数真题及答案

全国2009年7月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码:04184 试卷说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵;A*表示A的伴随矩阵;R(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行列式;E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B,C为同阶方阵,下面矩阵的运算中不成立的是(C)...A.(A+B)T=AT+BT C.A(B+C)=BA+CA a112.已知a21a31a12a22a32a132a11a23=3,那么a21a332a312a12a222a32B.|AB|=|A||B| D.(AB)T=BTAT 2a13a23=(B)2a33A.-24 C.-6

B.-12 D.12

3.若矩阵A可逆,则下列等式成立的是(C)A.A=1A* AB.A0

C.(A2)1(A1)2 D.(3A)13A1

41312021234.若A=,B=,C=2矩阵的312,则下列矩阵运算的结果为3×15221是(D)A.ABC C.CBA

B.ACTBT D.CTBTAT

5.设有向量组A:1,2,3,4,其中1,2,3线性无关,则(A)A.1,3线性无关

C.1,2,3,4线性相关

B.1,2,3,4线性无关 D.2,3,4线性相关

浙04184# 线性代数(经管类)试题

6.若四阶方阵的秩为3,则(B)A.A为可逆阵

C.齐次方程组Ax=0只有零解

B.齐次方程组Ax=0有非零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解

7.设A为m×n矩阵,则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是(B)A.A的行向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关

8.下列矩阵是正交矩阵的是(A)010010A.

0011011110B.2011B.A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

cosC.sinsin

cosD.220221666106333

3339.二次型fxTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是(D)A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

0k010.设矩阵A=0k2正定,则(C)024B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

A.k>0 C.k>1 1:D1k0;2:D2k00k0k20;0kB.k0 D.k1 3D3k1k20k2kk4k44kk10

2402

4二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

浙04184# 线性代数(经管类)试题

1211263.11.设A=(1,3,-1),B=(2,1),则ATB=63。

ATB32,11221121012.若1310,则k-1。

k21210210211311312k1k10.k1.k11k21k110120060*630。20013.设A=,则A=214013120121*A2003120.A可逆.A1A20A0131A*AA1.而A,E320012011②401012-14013001③3201001②+(-2)①0001000130010①+(-2)②1000③+(-1)②001012003121201004021013001120-140141

12012010000060101012-140.A112-14063012001161121316112132140600601A*AA112630630.1221421414.已知A2-2A-8E=0,则(A+E)-1=A22A8E0.1A3E。5A22A3E5E015AEA3E5E.11AEA3EE5A3EAEE.AE 1A3E5浙04184# 线性代数(经管类)试题

15.向量组1(1,1,0,2),2(1,0,1,0),3(0,1,1,2)的秩为___2。

将三个向量的转置向量拼成一个43的矩阵,化简此矩阵11A021011011③+1②+(-1)①01②01101④+(-2)①④+(-2)②0110011020220001.rA2.0016.设齐次线性方程Ax=0有解,而非齐次线性方程且Ax=b有解,则是方程组____Ax=b的解。

x1x2017.方程组的基础解系为11。

x2x301___1。18.向量(3,2,t,1),(t,1,2,1)正交,则t__________t1,3,2,t,13t22t1t10.t1.211

103b119.若矩阵A=与矩阵B=相似,则x=4ab。304axAB103b143xabx4ab.04ax31232122220。20.二次型f(x1,x2,x3)x12x23x3x1x23x1x3对应的对称矩阵是123203

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)1340403521.求行列式D=的值。

20227622

浙04184# 线性代数(经管类)试题

13404035解D20227622④+2①13402090403522624351213222按

解:把所有行向量转置为列向量形成44的矩阵,并将其化为简化阶梯形矩阵.2354115302640264③①TTTA1T,2,3,41153235431953195115311531②③+2①02640132④+3①20515100515100264026410211021①+1②1①③+5②01320132④+2②1②记为,,,B.13420000000000000000显然B是A的简化阶梯形矩阵.易见:B的秩为2,从而A的秩为2,原向量组的秩为2.易见:B的列向量组的一个极大线性无关组为1,2.TA的列向量组的一个极大线性无关组为1T,2;从而1,2是原向量组的一个极大线性无关组.24.求取何值时,齐次方程组 (4)x13x20

4x1x30

5xxx0123

有非零解?并在有非零解时求出方程组的通解。

浙04184# 线性代数(经管类)试题

解方程的个数与未知量的个数相同,考察系数矩阵A是否为可逆矩阵.43A450011430③+1②41010按

631解A的特征方阵EnA053.A的特征方程为0641EnA006353253=-1-1-122-1205-4186464得1=2=1,3=-2,为A的两个特征值.用来求特征向量的矩阵方程为63x101x16x23x301053x0,即齐次线性方程组E3Ax5x23x30.20x0646x24x303属于121的特征向量满足线性方程组6x23x30,即x32x23个未知量1个方程,必有2个自由未知量,不妨取x1、x2为自由未知量,10x110令或,则x30或2,于是得2个线性无关的特征向量p10,p21.x201023x16x23x30属于32的特征向量满足线性方程组为3x23x30.,即x1x2x3,6x26x303个未知量2个方程,必有1个自由未知量,不妨取x1为自由未知量,令x11,则x21,x31,1于是得1个线性无关的特征向量p31.122226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)x14x2x32x1x34x2x3的标准形,并写出相应的线性变换。

222解二次型f(x1,x2,x3)x124x2x32x1x34x2x3x122x1x3x34x224x2x3x32x322x1x32x2x3x322x1y1y3y1x1x31设y22x2x3,即x2y2y3,2yx33x3y3222可使得f(x1,x2,x3)x1x32x2x3x3g(y1,y2,y3)y12y2y3.即二次型的标准形;221y1x110此时相应的线性变换xPy为x201212y2.x0013y3

浙04184# 线性代数(经管类)试题

四、证明题(本大题共1小题,6分)

27.证明:若向量组1,2,n线性无关,而11n,212,323,,nn1+n,则向量组1,2,,n线性无关的充要条件是n为奇数。

证设k11k22knn0.将已知条件代入得k11nk212k323knn1n0.整理得k1k21k2k32kn1knn1knk1n0.1,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10.k1k2k3k4knk1,当n为奇数,则n1为偶数,则上式为k1k2k3k4kn1knknk1.由此knkn0,k1k2k3k4kn1kn0.因此,1,2,,n线性无关.反之,若1,2,,n线性无关,即当且仅当k1k2k3k4kn1kn0时,等式k11k22knn0才成立,k11nk212k323knn1n0k1k21k2k32kn1knn1knk1n01,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10k1k2k3k4knk1,当n为偶数时,令k1k2k3k4kn1,则1234n1n0也成立,这与条件不符.当n为奇数时,则n1为偶数,则有k1k2k3k4kn1knknk1,立得k1k2k3k4kn1kn0,等式k11k22knn0才成立,这与条件完全相符.证毕.浙04184# 线性代数(经管类)试题

第五篇:自考《线性代数》经管类2012年04月考试真题及答案

全国2012年4月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码:04184

说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩.T

*a111.设行列式a21a12a22a32a13a112a122a222a323a133a23=()3a33D.12 a31A.-12 a23=2,则a21a33a31B.-6

C.6 1202.设矩阵A=120,则A*中位于第1行第2列的元素是()003A.-6 B.-3

C.3

D.6 3.设A为3阶矩阵,且|A|=3,则(A)1=()A.3 B.1 3C.1 3D.3 4.已知43矩阵A的列向量组线性无关,则AT的秩等于()A.1 B.2

C.3

D.4 1005.设A为3阶矩阵,P =210,则用P左乘A,相当于将A()001A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列

0x12x23x36.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为()x+xx= 0234A.1 B.2

C.3

D.4 7.设4阶矩阵A的秩为3,1,2为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解,c为任意常数,则该方程组的通解为()A.1c122 B.1223 5c1 C.1c122 D.1225 3c1

8.设A是n阶方阵,且|5A+3E|=0,则A必有一个特征值为()A.5 3B.C.5D.1009.若矩阵A与对角矩阵D=010相似,则A3=()001A.E B.D 222C.A D.-E

10.二次型f(x1,x2,x3)=3x12x2x3是()

A.正定的 B.负定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

111.行列式21146=____________.4163600110012.设3阶矩阵A的秩为2,矩阵P =010,Q =010,若矩阵B=QAP ,100101则r(B)=_____________.144813.设矩阵A=,B=,则AB=_______________.141214.向量组1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3=(0,1,2,3)的秩为______________.15.设1,2是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系,则r(A)=______________.1000216.非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为01002,0012-2则方程组的通解是__________________________________.17.设A为3阶矩阵,若A的三个特征值分别为1,2,3,则|A|=___________.18.设A为3阶矩阵,且|A|=6,若A的一个特征值为2,则A*必有一个特征值为_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正惯性指数为_________.x23x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x12x22x34x2x3经正交变换可化为标准形______________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

3421.计算行列式D =12512533

20103413022.设A=210,矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.00223.设,,2,3,4均为4维列向量,A=(,2,3,4)和B=(,2,3,4)为4阶方阵.若行列式|A|=4,|B|=1,求行列式|A+B|的值.24.已知向量组1=(1,2,1,1)T,2=(2,0,t,0)T,3=(0,4,5,2)T,4=(3,2,t+4,-1)T(其中t为参数),求向量组的秩和一个极大无关组.x1x22x3x4325.求线性方程组x12x2x3x42的通解..2xx5x4x73412(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

26.已知向量1=(1,1,1)T,求向量2,3,使1,2,3两两正交.四、证明题(本题6分)

27.设A为mn实矩阵,ATA为正定矩阵.证明:线性方程组Ax=0只有零解.

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