重要不等式应用汇总9奥赛必备0

第一篇：重要不等式应用汇总9奥赛必备0

重要不等式应用汇总

数学竞赛常用

1． 排序不等式：

设a1a2...an, b1b2...bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一个排列，则

2． 均值不等式：当aiR（in111a1a2anna1bna2bn1...anb1a1bj1a2bj2...anbjna1b1a2b2...anbn.1,2,n）时，有：

aa2ana1a2an1na1a2an

n2223． 柯西不等式：设ai,biR(i1,2,...n)则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号成立当且仅当存在R，使得biai(i1,2,...,n).从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设aiR,biR则

nabi1in2i(ai)2(bi)i1i1n.（2）设ai,bi同号，且ai,bi0,则aii1bin(ai)2(aibi)i1i1nn.4． 琴生（Jensen）不等式：若f(x)是(a,b)上的凸函数，则对任意x1,x2,...,xn(a,b)

x1x2...xn1)[f(x1)f(x2)...f(xn)].nn5．幂均值不等式： f(a1a2...ana1a2...an设0(aiR)则 M()()M.nn6.切比雪夫不等式：

11设两个实数组a1a2...an，b1b2...bn则

1(a1bna2bn1...anb1)nabii1nnini1nn1(a1b1a2b2...anbn).nnii（该不等式的证明只用排序不等式及7．一个基础不等式：

ab的表达式就可得证）

i1i1xy1x(1)y 其中x,y0,[0,1],若x,y中有一个为零，则结论成立 8．赫尔德（Holder）不等式：设 ak,bk0(k1,2,...n).p,q1且

111，则 pqabkk1nk(akp)(bkq)（等号成立当且仅当akptbkq）

k1k1n1pn1q*9.与对数函数有关的一个不等式：

x ln(1x)x，x0.（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）1x*10．三角函数有关的不等式：sinxxtanx x(0,*11．绝对值不等式: 设a,b,a1,a2,an*12．舒尔（Schur）不等式：

设x,y,zR，则x(xy)(xz)y(yx)(yz)z(zx)(zy)0 *13.闵可夫斯基（Minkowski）不等式：

如果x1,x2,......,xn与y1,y2,......,yn都是非负实数p1，那么((xiyi))(x)(y)ppipii1i1i1n1pn1pn1p2)

C，则有：│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│；

│a1a2an│≤a1a2an

14.贝努利不等式

（1）设xi1,i1,2,n,n2且同号，则

(1x)1xii1i1nni

（2）设x1，则（ⅰ）当01 时，有(1x)1x；

（ⅱ）当1或0 时，有(1x)1x，上两式当且仅当x0时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是(1x)n1nx(x1,x0,nN,n2)15.艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为△ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

PAPBPC2(PDPEPF)当且仅当△ABC为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式 16.外森比克不等式：

已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证abc43S，当且仅当a=b=c时取等号

222其他不等式综合问题 例1：（第26届美国奥数题）设a、b、c∈R+，求证：1111 333333ababcbcabccaabcabc11 3abcabcdabcd33推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：n1iki1aaii1nin1aii1n

例2：设x、y、z∈R+，求证：

x2y2z2221.2222yzyzzxzxxyxyn推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：推广2：设xyz∈R+，求证：

ainkinakakki1.i1xn1yn1zn13 n1nn1nn1nn12n1n12n1n12n1n2yyzyzzzzxzxxxxyxyy例3：设x、y∈（0，1），求证：

112。（9）1x21y21xy1n nni11xi1xini1推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：推广2：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：n11.2i11xi11xixi1inn11.（xn+1=x1）推广3：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：2i11xi11xixi1in例4．已知a,b,c,m为正数．求证：

abcambmcm． bcabmcmam222例5．设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=xyz的最

1x1y1z小值.例6．设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i

例7．设n是一个固定的整数，n≥2(Ⅰ)确定最小的常数c使得不等式

1ijnxxij(xixj)c(xi)4对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的22i1n常数c，确定等号成立的充要条件。

例8．（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n1)满足an2n2006knak1,n1,2,3 k12n2007求证：an1,n1,2,3, n

第二篇：高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式

高中数学奥赛讲义：

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】

本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】

目录 §1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 对任意实数组

恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

∴右-左=

当且仅当 思路2 注意到 证明2

当

当定值时，等式成立。时不等式显然成立，当

时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立； 时，注意到

=1

故

当且仅当

且

（两次放缩等式成立条件要一致）

即 同号且 常数，亦即

思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数

由于。

恒非负，故其判别式

即有

等式当且仅当

若

常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：

调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证 设

本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证

注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真 欲证①,即需证

②

①

(11)再证

欲证③,只需证 , ③

而④即要证

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)

即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)

（其中，结合代换，即

当且仅当式链

时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是

§２．排序不等式

定理２设有两组实数，．

满足

则

(例序积和)（乱序积和）（须序积和）

其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或

说明 本不等式称排序不等式，俗称

例序积和乱序积和须序积和。

证法一． 逐步调整法

首先注意到数组

也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

设注意下面的两个和

注意

S（★）

由小到大的顺序排列，最小的和就对应

只要适当调整，如★所示就可越调，可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２„„，n。

证法＝ 设

由 则显见的一个k阶子集

等式当且仅当

式

即，时,成立

这就证明了乱序积和≤顺序积和

注意列

这里 含义同上，于是有，仿上面证明，得

又证明了例序积和≤乱序积和

综上排序不等式成立.例2 利用排序不等式证明柯西不等式：

其中

证 不失一般性，设得

（例序积和≤乱序积和)

相加即得

等式当且仅当；

为常数时成立。，则由排序不等式可

①

又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：

证（i）设n=2，则

（ii）设n=k时，显然成立

成立，即有

欲证n=k+1时，有

成立，只需证

考虑到归纳假设，只需证

（★）

而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。

且n≥2时,命题成立，正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。

证 设，易见

构造数列，使

则由★知于是由排序不等式,有

(乱序积和)

，(例序积和)

即

从而

其中等式当且仅当

时成立

说明 这里构造了两个数列值不等式的简捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

设

(i)若数算术平均数之积：(i=1,2„，n)

和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均

则顺序积和的算术平均数不小于这两组

（ⅱ）若两组数算术平均数之积：

；，则倒序积和的算术平均数不大于这

证明（i）由排序原理有

„„

迭加可得，，两边除以得

等式当且仅当

类似可证(ⅱ)成立

例4 设

证明 不妨令

由切比雪夫不等式，有

；，求证，则

即

从而得证

说明 大家较熟悉的美国竞赛题

1979年青海赛题

1978年上海赛题

都是本例的特殊情况或变形。

本周强化练习：

★★★1．设

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立

解答或提示

1．不妨令

由切比雪夫不等式

当且仅当 2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,()

第三篇：均值不等式及其应用

教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

第四篇：均值不等式应用

均值不等式应用

一．均值不等式

22ab1.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则abab时取“=”）22

22.(1)若a,bR*，则ab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）2

ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR*，则ab）22

3.若x0，则x

取“=”）1）;若x0，则x12(当且仅当x1时2(当且仅当x1时取“=”xx

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）

xxx

ab4.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）ba

若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

注：（1）3.已知x,yR,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有；

②若s为定值，那么当且仅当时，p=xy有。

（备注）：求最值的条件“一正，二定，三取等”

应用一：求最值

解题技巧：技巧一：凑项

例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x

51不是常数，所以对4x2要进行拆、4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

凑项，∵x511,54x0，y4x254x3231 44x554x

当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两

个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

32x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222

3当且仅当2x32x,即x30,时等号成立。

42

技巧三： 分离

x27x10

(x1)的值域。例3.求y

x1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t

5ttt

当,即t=

时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x调性。

例：求函数y

A

B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不g(x)

a的单x

2的值域。

2t(t

2)，则y

1

t(t2)

t因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.t1t

1t5。

252

11x23x1

y2sinx,x(0,)y2x,x3,(x0)(3)（1）y（2）

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y3．0x

.；，求函数y

3.条件求最值

ab

1.若实数满足ab2，则33的最小值是.解： 3和3都是正数，33≥23a3b3ab6

a

b

a

b

ababab

当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值

是6．

变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0，且

1，求xy的最小值。xy

19191，xy

xy12xyxy

错解： ∵x0,y0，且．．

故 xymin12。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xyx

y，在19x

y

成立条件是

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题xy

时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x19

正解：∵x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xymin16。

xyxy

x

y

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值



(2)若a,b,x,yR且ab1，求xy最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面将x，1y ＋分别看成两个因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

变式: 求函数y

1x5)的最大值。

解析：注意到2x

1与52x的和为定值。

y2

244(2x1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2

x1=52x，即x

时取等号。故ymax 2

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1． 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

2正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

111

3、已知a、b、cR，且abc1。求证：1118

abc



解：a、b、cR，abc1。

111abc

11

11

aaabc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1时取等号。111。当且仅当abc11183abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

x

y

条件：m≤(x+y)的最小值，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,P

lgalgb,Q

1ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)algbp 2

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

22Q

第五篇：信息奥赛工作总结

2014年信息学奥赛工作总结 江苏省黄桥中学 戴海源

2014年的信息学奥赛已经结束了，回顾一年来的情况，我付出过，学生也懂得了很多，也取得了很大的进步。获得省一等奖一名（复赛成绩泰州第二名），省二等奖一名。这一年我在这方面做了大量的工作：

一、生源问题。

全国信息奥赛总教练吴文虎教授曾经说过：“体育奥林匹克是对身体极限的挑战，而信息学奥林匹克是对智力极限的挑战”。

从今年的暑假开始，我就开始寻找全面的综合素质和能力的苗子，好的学生是奥赛取得成功的重要保证，进行口头宣传，解释赛制，网上报名，制定海选计划，海选比赛，我做了大量细致工作。

二 有效培训训练

由于我市没有初中参加信息学奥赛普及组的比赛。信息学奥赛就不能形成梯队。一起信息奥赛知识从零开始，所以培训难度比较大。

第一阶段是从开学到初赛，每周辅导两次，一次2节，主要以PASCAL语言和部分数据结构知识的讲授和基础题练习为主。第二阶段过初赛到复赛：在本阶段中，主要以练习为主，特别是历年NOIP普及与提高题目的练习，同时讲解部分的数据结构知识和算法的内容以及综合性的训练。今年的综合训练我在分析了前几年奥赛题型的基础上，确定主要以动态规划和搜索算法为训练主线，佐以贪心、递推、分治等算法，同时兼顾线性表、树、图等数据结构知识，强化数学知识，从今年的考试题目来看，我们的思路是正确的

三：加强题库的建设，加强题库的建设，今年我付出更多的努力，我自己建了一个题库，从而控制学生做题的数量和质量。

自己也做了大量的题目，对每一个题目都采取学生先做，做完评测，评测完成后再进行讲解、讨论、交流和总结。努力提高自己的水平。打铁还得自身硬，要想学生出成绩，老师须先有水平。作为NOIP的辅导教师，我不满足于会做NOIP的题目，应该站到NOI的高度才能得心应手。信息学奥赛牵涉到计算机、英语、数学、语文等多个学科，仅数学就要学会数论、图论、组合数学、向量几何等多方面的知识,其中绝大多数是大学课程，这些我做了大量的知识的积累。

我相信只要能解决信息学奥赛的生源问题及辅导时间等问题。相信有制度的大力支持，我一定会取得好的成绩！

2014年11月24日

附图：两学生初赛脱颖而出：

参加省复赛

我校的竞赛题库