(2015版)导数题型归类第四讲：构造证明的根

第一篇：(2015版)导数题型归类第四讲：构造证明的根

2015版导数题型归类

第四讲

构造证明不等式

一、学习目标

1.了解常见的构造类型：移项构造、变型构造、替换构造等。2.掌握常见的替换构造的根。

二、重难点 重点：替换的根

难点：怎么看出替换的根

三、引入

构造除了常见的移项和变形构造以外，还有一类构造需要替换字母或是式子转换为基本的不等关系，那么这类构造的根在哪里？

四、过程

【知识点】构造替换的常用根：ex1,当且仅当x=0时，取等号。

变形：

A组

1）exx1x

2）xln(x1)

3）x1lnx

B组

11x x1

5）lnx1

x

6）xlnx1

4）ln例题1.（2011年湖北高考）已知函数f(x)lnxx1,x(0,)，1）求函数f(x)的最大值

2）若数列an,bn都是正项数列，且a1b1a2b2，，，,anbnb1b2，，，bn求证：

b3bnb1b2a1a2a3，，，an1

【巩固练习】

1.（2010年全国）已知函数f(x)(x1)lnxx1

1）若xf'(x)x2ax1恒成立，求实数a的取值范围

2）证明：（x-1)f(x)0

【知识二】常见的构造方式：

不等式的构造灵活多变，技巧性特别强，有些证明又特别复杂，是同学们最头疼的问题，往往不知道从何处入手，苦苦冥想也找不到突破口。

1，直接构造：就是把证明的不等式，直接处理为一个函数，然后通过求极值最值等等明。

例题.设a0证明：,当x>0时，lnx2alnxx10恒成立

2，等价构造：对待证不等式进行重组整合，适当变形，找到其等价的不等式，观察其结构，根据结构构造函数。例题.求证：lnx

212 exex

3，特征构造：根据所证不等式的特征，展开联想，适当构造。例题.（2010辽宁）已知函数f(x)(a1)lnxax21

1）当a1时，判断函数的单调性（修改过）

2）设a2，证明：对任意的x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2

4，变更构造：观察不等式结构，采用换元等手段，变形构造 例题.（2007年山东）设函数f(x)x2bln(x1),其中b0

1）求函数的极值点

2）证明对任意的正整数n,不等式：ln(11)1nn21n3都成立。

5，减元构造：多变量不等式，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数。

例题.已知函数f(x)，且h'(x)存在零点 1）求实数a的值

2）设A(x1,y1),B(x2,y2),(x1x2)是函数yg(x)的图像上的两点，g'(x)12xx2x,g(x)loga,(a0,a1)，若h(x)f(x)g(x)2y2y1

求证：x1x0x2

x2x14

6，联想构造：根据条件特征，积极展开联想-----借助和差求导，积商求导，直线斜率与导数关系等，恰当的构造所需的函数。

例题.已知函数f(x)为(0,)上的非负可导函数，且xf'(x)f(x)0，对任意的正数a,b,且a

A.af(a)f(b)

B.bf(b)f(a)

C..af(b)bf(a)

D..bf(a)af(b)

后记：导数作为压轴题，构造是最基本的考点考法。不同的题有不同的构造方法，法无定法。常见的思路和方法仅仅为我们提供一种积累，考试的时候本质还是在观察，分析，大胆实践和尝试。灵感也许就在你不停的尝试中闪现！

五．课堂巩固

x31，当0x时，求证：tanxx

23

2，（2014年北京崇文区一摸）已知曲线C:yeax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y2xm，求实数a和m的值；(Ⅱ)对任意实数a，曲线C总在直线l:yaxb的上方，求实数b的取值范围.六．课后作业

1.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足

f(x)ax，且f'(x)g(x)f(x)g'(x)，g(x)f(1)f(1)5f(n)g(1)g(1)2，若有穷数列的前n项和为127，则n=（g(n),nN128）2.已知函数f(x)axbx21在点（-1，f(-1)）处的切线为x+y+3=0 1)求函数的解析式

2)设g(x)=lnx，求证：g(x)f(x)在[1,)上恒成立 3）0

第二篇：导数压轴题7大题型归类总结

导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a＞0，函数g(x)＝(a^2＋14)e^x＋4.ξ

1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值范围．

二、交点与根的分布

三、不等式证明

（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用

六、导数应用题

七、导数与三角函数的结合

第三篇：构造函数,结合导数证明不等式

构造函数,结合导数证明不等式

摘 要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；求导；证明；不等式

利用导数证明不等式是四川高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.注：此题也可用数学归纳法证明.解后感悟：函数隐藏越深，难度就越大，如何去寻找证明不等式的“母函数”是解决问题的关键，通过合理变形，展开思维联想的翅膀，发现不等式背后的隐藏函数，便会柳暗花明.结束语：导数为证明不等式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，合理构造函数，能使解题更具备指向性，剑之所指，所向披靡.

第四篇：构造函数,利用导数证明不等式

构造函数，利用导数证明不等式

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．

求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．

nm

例

4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x； 1x

11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

7、（1）已知x0，求证：

第五篇：利用导数证明不等式的常见题型经典

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

技巧精髓

1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

一、利用题目所给函数证明

【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

11ln(x1)x x

1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

11，从其导数入手即可证明。x1

1x【绿色通道】f(x)1x1x1g(x)ln(x1)

∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为增函数

当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为减函数

故函数f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间(0,)

于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0，因此，当x1时，f(x)f(0)0，即ln(x1)x0∴ln(x1)x（右面得证），现证左面，令g(x)ln(x1)11x1 1，则g(x)22x1(x1)x1(x1)

当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0，即g(x)在x(1,0)上为减函数，在x(0,)上为增函数，故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0，110 x1

11∴ln(x1)1，综上可知，当x1时,有1ln(x1)xx1x1

【警示启迪】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大（小）值，则有f(x)f(a)（或f(x)f(a)），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． ∴当x1时，g(x)g(0)0，即ln(x1)

2、直接作差构造函数证明

【例2】已知函数f(x)

图象的下方；

122xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的2

3分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，12212xlnxx3，只需证明在区间(1,)上，恒有x2lnxx3成立，设2323

1F(x)g(x)f(x)，x(1,)，考虑到F(1)0 6

要证不等式转化变为：当x1时，F(x)F(1)，这只要证明： g(x)在区间(1,)是增函数即可。

21【绿色通道】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)x3x2lnx，32即

1(x1)(2x2x1)则F(x)2xx= xx

2(x1)(2x2x1)当x1时，F(x)= x

从而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)

∴当x1时 g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)10 623x的图象的下方。3

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设F(x)f(x)g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元后作差构造函数证明

都成立.nn2n

31分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令x，则问题转化为：当x0时，恒n【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)

有ln(x1)xx成立，现构造函数h(x)xxln(x1)，求导即可达到证明。

【绿色通道】令h(x)xxln(x1)，32233

213x3(x1)2

则h(x)3x2x在x(0,)上恒正，x1x12

所以函数h(x)在(0,)上单调递增，∴x(0,)时，恒有h(x)h(0)0，即xxln(x1)0，∴ln(x1)xx

对任意正整数n，取x32231111(0,)，则有ln(1)23 nnnn

【警示启迪】我们知道，当F(x)在[a,b]上单调递增，则xa时，有F(x)F(a)．如果f(a)＝(a)，要证明当xa时，f(x)(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－(x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导．也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F'(x)０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求

证：．af(a)>bf(b)

【绿色通道】由已知 xf(x)+f(x)>0 ∴构造函数 F(x)xf(x)，则F(x) xf(x)+f(x)>0，从而F(x)在R上为增函数。'

ab ∴F(a)F(b)即 af(a)>bf(b)

【警示启迪】由条件移项后xf(x)f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)xf(x)，求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf(x)f(x)，则移项后xf(x)f(x)，要想到

是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

【思维挑战】

21、（2007年，安徽卷）设a0,f(x)x1lnx2alnx

求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1，2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数

2f(x)52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna，22

求证：f(x)g(x)

3、已知函数f(x)ln(1x)

恒有lnalnb1x，求证：对任意的正数a、b，1xb.a4、（2007年，陕西卷）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

【答案咨询】

1、提示：f(x)1

∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx，当x1，a0时，不难证明1 xxxf(x)0，即f(x)在(0,)内单调递增，故当x1时，2f(x)f(1)0，∴当x1时，恒有xlnx2alnx

13a21222、提示：设F(x)g(x)f(x)x2ax3alnxb则F(x)x2a x

2(xa)(x3a)=(x0)a0，∴ 当xa时，F(x)0，x

故F(x)在(0,a)上为减函数，在(a,)上为增函数，于是函数F(x)在(0,)上的最小值

是F(a)f(a)g(a)0，故当x0时，有f(x)g(x)0，即f(x)g(x)

3、提示：函数f(x)的定义域为(1,)，f(x)11x 221x(1x)(1x)

∴当1x0时，f(x)0，即f(x)在x(1,0)上为减函数

当x0时，f(x)0，即f(x)在x(0,)上为增函数

因此在x0时,f(x)取得极小值f(0)0，而且是最小值 x1，即ln(1x)1 1x1x

a1bab令1x0,则11于是ln1 bx1aba

b因此lnalnb1 a于是f(x)f(0)0,从而ln(1x)

xf'(x)f(x)f(x)f(x)

4、提示：F(x)，F(x)，故在（0，+∞）上是减函数，由0F(x)2xxx

ab 有f(a)f(b) af(b)≤bf(a)故选（A）ab