正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）

第一篇：正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用（写写帮整理）

正定矩阵的判定方法及正定矩阵

在三个不等式证明中的应用

作者：袁亮（西安财经大学）

摘 要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用

Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application

目 录 引言…………………………………………………………………4 2 正定矩阵的判定方法………………………………………………4 2.1 定义判定 …………………………………………………………5 2.2 定理判定 …………………………………………………………6 2.3 正定矩阵的一些重要推论………………………………………11 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 …………………………15 3.1 证明柯西不等式 ………………………………………………15 3.2 证明Holder不等式……………………………………………16 3.3 证明Minkowski不等式…………………………………………18 结束语…………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………22 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛，n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意xRn，且x0，都有xTMx0成立2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定

设A=aij,(其中aijC,i,j=1,2,…，n), A的共轭转置记为A=aji 定义11 对于实对称矩阵A=aij,（其中aijR,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XTAX>0,则称A是正定矩阵.定义21 对于复对称矩阵A=aij,（其中aijC,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有XAX>0,则称A是正定矩阵．

例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证 [必要性] 设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x0，有

xTBTABx0，即

BxTABx0.于是Bx0，因此，Bx0只有零解，从而rBn.[充分性] 因

BTABBTATBBTAB，T即BTAB为实对称矩阵.若秩rBn，则线性方程组Bx0只有零解，从而对任意实n维向量x0有Bx0.又A为正定矩阵，所以对于Bx0，有

BxTABx0, 于是当x0时，xTBTABx0.故BTAB为正定矩阵.例23 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n×m 实矩阵，B的秩为 m，证明 ：B'AB 是正定矩阵.证 因为

（B'AB）'=B'A'B=B'AB, 故 B'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m，m≤n.故 BX=0 只有零解，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有

X'（B'AB）X=(BX)'A(BX)>0.因此 B'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A'A，AA'是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A'是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定

定理11 n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(x1,x2,…,xn)=XTAX的正惯性指数为n． 证 设实二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性变换得

a1x1+a2x2+…+anxn.（2.1）

222由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当ai>0(i1,2,,n)，因此，正惯性指数为n..d1定理21 实对角矩阵(i1,2,,n).d2正定的充分必要条件是di>0，dn证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型

f(x1,x2,…，xn)=d1x1+d2x2+…+dnxn.的正惯性指数为n，因此，di>0（i=1,2,…,n,）．

例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使ABBTA是正定矩阵.证 [充分性]（反证法）

反设rAn，则A0.于是0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即

Ax0x0，222所以

xTAT0.所以xTABBTAxxTABxxTBTAx0，和ABBTA是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为rAn，所以A的特征值1,2,,n全不为0.取B=A，则

ABBTAAAAA2A2.22T,22,2它的特征值为212n全部为正，所以ABBA是正定矩阵.定义3 在实二次型fx1,x2,,xn的规范形中，正平方项的个数p称为fx1,x2,,xn的正惯性指数，负平方项的个数rp称为fx1,x2,xn的负惯性指数，它们的差prp2pr称为fx1,x2,,xn的符号差.定理31 实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n． 定理41 实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…

xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数，即大于零.证

由文献[1]知，实对称矩阵A可对角化为

a1a2 an其中a1，a2,,an恰好是A的特征值，则二次型XTAX的标准形为：

a1x1+a2x2+…+anxn，222而非退化实线性变换保持正定性不变，由

f(x1,x2,…，xn)=a1x1+a2x2+…+anxn.正定得ai>0(i1,2,,n)．

例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.222证 设A的特征值为1,2,...,ni为实数，取tmaxi，则AtE的特

1in征值iti1,2,...,n全部大于零，因此当tmaxi时，AtE是正定矩阵.1in例5 设A为n阶实对称矩阵，且A33A25A3E0.证明：A正定.证 设是A的任一特征值，对应特征向量为x0，即Axx，代入已知等式

A33A25A3E0, 有

A33A25A3Ex33253x0，因为x0，故满足

332530.得

1或12i，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1，即A的全部特征值就是10，这就证明A是正定矩阵.定理51 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同． 证

实正定二次型的规范形为

x1+x2+xn.222(2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．

定理62 实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC． 证 设A为一正定矩阵，当切仅当A与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C，使得

A=CTEC=CTC.定理71 实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零．

证 [必要性] 实对称矩阵A正定，则二次型

f(x1,x2,…,xn)=XAX=aijxixj是正定的，Ti1j1nn对于每一个k,1kn,令

fk（x1,x2,…，xk）=aijxixj，i1j1kk我们来证fk是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数c1，c2，…，ck，有

fk（c1，c2，…，ck）=fk（c1，c2，…，ck，0，…,0）>0, 因此，fk是一个k元正定二次型.由充要条件2得fk的矩阵行列式

a11a1k ak1akk>0,（k=1,2,…,n）.[充分性] 对n作数学归纳法 当n=1时，f(x1)=a11x1, 由条件a11>0，显然f(x1)是正定的．假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形.令

2a11a12A1=an1,1a12a22an1,2a1,n1a2,n1，an1,n1a1na2n，X=an1,nA1则 A=XTX.ann由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零，由假设A1是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 G，使得GTA1G=En1, 令

G0C1=01，则

C1TGTAC1=001A1XTXG0En1GTX.=Tann01XGann令

En1C2=0GTX, 1则

C2C1TT0En1GTXEn1AC1C2=XTG1XTGannEn1=0.TTannXGGX0En10GTX 1令

C=C1C2,a=ann-XTGGTX, 则有

11CTAC=.a两边取行列式得 C2A=a,由条件 A>0 知 a>0.由于

1111=1a111111a1.a因此，A与单位矩阵合同.由定理5得，A是正定矩阵．

定理82 n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B，使A=B2.证 [必要性] 存在正交阵Q，使

A=Q

B=QQT, 以及

diag(1,2,...,n).(i,i1,2,...n)，QT=QQTQQT6 =B2, 为A的特征值.[充分性] 对任给

X0,XTAXXTB2X0，因为B正定，所以A正定.定理93 A是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵 Q，使 A=QTQ.证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(aij)是 n 阶正定矩阵，则A的任意 k 阶主子式大于零．特别的有 ann>O．将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2……n—l列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为

A100a，nn的形式．

即存在非退化的下三角矩阵T1，使

AT1TAT1100, ann再令

T2diag(1,1,...,1,1ann),0.1

A1TT故T2T1AT1T20因为A正定，故A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A1做同样处理，最终可得到

TTR2R1......T2TT1TAT1T2......R1R2En.令 QT1T2......T1R2,Q是非退化的下三角矩阵，且使A=OTQ [充分性] 是显然的．

定理102 A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 a1,a2,......,an使

TTTa2a2...ananA=a1a1.2.3 正定矩阵的一些重要推论

对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论13 正定矩阵的和仍是正定矩阵．

证 若A与B为同阶正定矩阵，则对于非零列向量

C=(c1，c2,,cn)0, 必有

CTAC>0，CTBC >0, 从而

CT（A+B）C=CTAC+CTBC >0.所以A+B也是正定的.推论21 实正定矩阵的行列式大于零． 证

对A=CTC两边取行列式有

|A|=|CT| |C|=|C|2>0，因此，|A|>0．

推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵A1一定是正定矩阵．

证

由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵A1一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵P使得

A=PTEP=PTP, 取逆矩阵得

A1=P1EP1，T令

Q=P1，T则

A1=QTEQ.因此，A1与单位矩阵合同，所以A1是正定矩阵．

推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵． 推论64 设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证 因为AB=BA，故(AB)'=B'A'=BA=AB，所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1BP=P1BP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 P'ABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.[方法二]5 P'AB(P')1=P'APP1B(P')1=P1B(P1)'，因为B 正定，故 P1B(P1)'正定，P1B(P1)'的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因为AB实对称，所以AB是正定的.推论7 若A是正定矩阵，则A* 也是正定的(其中A*表示A的伴随矩阵).证 因为A正定，故 A1正定；A*=AA1(A>0)，所以 A*也正定.推论82 若A，B都是n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵，则存在一n阶实可逆矩阵P使PTAP与PTBP同时为对角形.证 因为B是正定的，所以合同于E，即存在可逆阵U使UTBU=E；且A是n阶实对称矩阵，则

(UTAU)T=UTATU.存在正交矩阵C使

CT(UTAU)C=diag(1，2，⋯，n), 则

CT(UTBU)CCTECCTCE.取P=UC，则P为所求．

推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a>0，b>O，c>0，使 aE+A，E+bA.cE—A 均是正定矩阵.证

若A的特征值为i，1≤i≤n，则 aE+A 的特征值为 a+i，1≤i≤n，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则Ak(k是正整数)也是正定矩阵.证 Ak与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑．根据A正

k,...,k定，即知其特征值1，⋯，n 全正，由于 Ak 的全部特征值就是 1n 也都为正．这就知Ak是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A2E>2n.证 [法一] A与2E都是n阶实对称正定矩阵，因此存在一n阶实可逆矩阵 P 使 P(A2E)Pdiag(12,22,...n2).T由推论9可知其中入i(i=l，2，⋯，n)为 A 的特征值且大于零．所以 i+2(i=l，2，⋯，n)为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以

A2E=(1+2)(2+2)⋯(n+2)≥2n.[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有

A2E≥ A+2E>2n.推论116 A为n阶正定矩阵，B为2n阶非零半正定矩阵，则AB>A+B.证 由题意可知，存在实可逆阵P，使P'AP=E，且

d1d2P'BP=，（di ≥0）dn..所以

P'ABPP'(AB)P1d11d2..1dn(1d1)(1d2)...(1dn)1d1d2...dnd1d2En..dnP'APP'BPP'(AB)PP(AB)2

所以

AB>A+B.推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a11>0，a22>0,…,ann>0.证 根据定义，对一切 X≠O 皆有 XTAX>0，故依次令X=e1，…en，就有

(e1)TAe1>O, 即 a11>0

  (en)TAen>0, 即 ann>0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式

(1)柯西不等式

在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式

x1y1x2y2...xnynxx...x21222nyy...y21222n

这就是著名的柯西不等式．如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它 写成

(,).(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？

如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系．并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(aij)是一个n阶正定矩阵，则对任何向量=(x1，x2，⋯，xn)与=(Y1，Y2，⋯，yn)，定义

(,)i,j1aijxiyj.则可以证明由上式定义的一定是n维向量间的内积．反之，对于n维向量问的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A=(aij)，使得对任何向量和，(,)可由(2)式来定义．因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式

i,j1anijxiyji,j1anijxixji,j1anijyiyj.例7 证明不等式

2(x1y1x2y2x3y3)x1y2x2y3x3y1x3y222232x12x2x3x1x2x2x3y12y2y2y1y2y2y3

对所有实数x1，x2，x3和y1，y2，y3均成立．

证 从不等式来看，可知它相当于(,) 其中(,)是由矩阵

210A= 121.012所定义的，但要证明(,)是内积还需证明A是个正定矩阵．经验证该矩阵为正定矩阵．从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder不等式

设A为n阶正定矩阵，xRn，易知(x'x)2x'Axx'A1x7，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder不等式的一个新证明.定理7 设A为n阶正定阵，xRn，r，s为任意正整数，则

(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r.证 对任一xRn,x0，令

sxAxa=rx'Arx'11rs, 则有a>0，令

ftartrasts, 易见ft在0,上有最小值

smrrrsrssrs, 由于A正定，故存在正交阵P使AP'P，其中

diag1,2,...,n,i0i1,...,n, 为A的特征值，于是

fAarArasAsP'diagf1,f2,...,fnP, 由于

fimi1,2...n, 故

diagf1,f2,...,fnmIn, 从而

fAarArasAsmIn, 于是

arx'Arxasx'Asxmx'x, 将a的表达式代入上式左端并整理得

axAxaxAxmxAx由此即得 r'rs's'rxAx'ssrsrrs，xAxxAx'r'ssrsrrsx'x, 即

xAxxAxxx'rs'sr'rs.证毕

下面我们 利用以上结果证明Holder不等式.Holder不等式 设ai0,bi0,p1,q1，并且

nn1pn1q111，则 pqpqababiiii.i1i1i1证 由常规的极限过渡法，不妨设ai0,bi0i1,2...n 且p，q为有理数；由111知必存在正整数r，s，使得 pq1s1r,.prsqrs令

xa1b1,a2b2,...,anbn'111111srsrR , Adiaga1b1,a2b2,...,ansbnr

n经简单运算得

xxaibi，'i1nxAxa'ri1n'snrssiaip，i1nnxAxbi1rsribiq，i1于是由(x'x)rs(x'Arx)s(x'Asx)r 得

aibii1nrsaipbiq, i1i1nsnr即

pqababiiii.i1i1i1nn1pn1q3.3 证明Minkowski不等式

引理18 设Ai，p<1且p0，Bij1,2,m都是nn阶正定实对称矩阵，则有

mAjBjj1pnmAjj11ppnmBjj11ppn.1p 引理28 设Ai，Bi（i=1，2,…,m）是n×n阶实对称正定矩阵，0

rnr2mAiBii1prmAii11pprmBii11ppr.1pr>n时，等式成立当且仅当AiBi；当r=n时，即为引理1，等式成立当且仅当AikBik0i1,2,...,m.证 令111,0p1，则p=q（p—1）.由Holder不等式（下文中由推pq论进行了证明）及引理1，得到

ABii1mpriAiBii11r1rm1rAiBip1rp1r

2i1mrnrAiBiAiBimpr

2rnrmAii1prAiBii1mAii11pmp1qrBii11p1qAiBii11p1pmp1qr= 1q2rnr1pBii1mprmAiBii1pr, 两边同乘

2便得到

rnrAiBii11pmpr, 1p1p1p2rnrAiBii1mprAii1mprBii1mpr.若令Aiai,Bibi,ai,bi0为一阶矩阵时，在引理2中，取r=1，0

paibiaipbiq.i1i1i1此为Minkowski不等式.n1pn1pn1q

结 束 语

本文重点介绍了正定矩阵的判定方法，归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论，并给出相应的证明和适当的例题.与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式，Holder不等式，Minkowski不等式的证明方法.参 考 文 献

[1] 王萼芳,石生明.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2003:205-226.[2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京：中国物资出版社，2002:198-224.[3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21（2）：67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10（5）：31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16（3）：28-30.[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3)：1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29（3）.[8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34（3）:352-354.

第二篇：证明行列式和矩阵等于零的几种经典方法

前言：

一、线代的特点：

1、内容抽象

2、概念多

3、符号多

4、计算原理简单但计算量大

5、证明简洁但技巧性强

6、应用广泛

二、学习中要注意的问题

1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习

2、熟练掌握基本内容。

基本概念（定义、符号）

基本结论（定理、公式）

基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）

基本证明和推理方法

3、自己动手推证书中的每个结果

尽量体会结论、证明的思想方法

用自己喜欢的方式写出简要总结

4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。

提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）

变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）

问题相互转化

5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交 流

该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理

一、行列式等于零的证明方法

例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)

由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二 在这里有一种常见的错误解法

由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0

其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。

例如

[1 1][ 1 1]

[1 1][-1-1]=0,但是A、B都不等于0

（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答 案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相 去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己 的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并 对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）

二、矩阵等于零的证明方法

例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0 证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0

∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解

又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n ∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n

∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0

证法二：

∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量

设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆

∴AB1=0

∴AB1B1^-1=0B1^-1=0

∴A =0

证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0

将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列

[a11...a1n]

[.........]=A

[an1...ann]

[α1]

[α2]

[...]=B

[αn]

则

[a11α1+...+a1nαn]

[..........]=AB=0

[an1α1+...+annαn]

∴有方程组

[a11α1+...+a1nαn=0

[..........=0

[an1α1+...+annαn=0

∵R(B)=n∴α1...αn现性无关

∴

a11...a1n＝0

.........an1...ann=0

∴A=0

通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。

例如：

[ 1 0 0]

[ 0 1 0]

[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行

再如：

[ 1 0 1][ 1 2 3]

[ 0 1 0][ 2 3 4]=

[ 1 2 0][ 3 4 5]

[α1+α3]

[α2]

[α1+2α2]=

[4 6 8]

[2 3 4]

[5 8 11]

第三篇：浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

湖州师范学院理学院 刘 东

摘要：本文主要研究基矩阵在线性代数中矩阵乘法运算的几何意义、乘法运算律、线性空间等方面的应用。

关键词：基矩阵，矩阵运算，线性空间 中图分类号：O151.2 文献标识码： A

1．引言

矩阵理论是线性代数的核心内容之一，也是高等数学后续学习的基础。因此，矩阵理论的学习是学生学好线性代数的关键。而在矩阵理论的教学中，基矩阵的有关应用往往被忽略，本文详细的谈谈基矩阵在线性代数教学中的应用。

所谓的基矩阵就是这样的一些矩阵，它们只有一个元素为1，其余元素为零，这些矩阵记为{Eij，1im,1jn}。之所以称它们为基矩阵，是因为任何一mn矩阵都可以被这些基矩阵唯一地线性表出。事实上，基矩阵的有关性质和运算在后续的学习中，特别是在《矩阵论》、《表示论》、《李代数》、《量子群》等学科的学习中起重要作用。即使它们在线性代数的学习中也起着较大的作用，这篇论文主要研究基矩阵的运算在矩阵乘法运算定义、运算律、线性空间等方面的应用，而这些正是现在的各种高等代数教材与辅导书中普遍所欠缺的。

2.在学习矩阵乘法时的应用

2.1 解释矩阵乘法的几何意义

矩阵乘法的法则一直是学生难以理解的，所以在教学过程中往往是以直接灌输为主。有些论文（如）也讨论了矩阵乘法的一些几何意义，但都是从变换的合成的角度来说明矩阵乘法（本质上是矩阵乘法与线性变换乘法的对应关系，见[1],[2]）。如果在教学中结合基矩阵的乘法法则，来解释矩阵乘法的几何意义，则学生更容易理解。容易看出，基矩阵的乘法公式如下：

EijEkljkEil---------------------------(1)用图形表示如下：

图1 用Eii表示第i个顶点，而当ij时，用Eij表示连接第i与j顶点的有向箭头，则上述乘法法则反映的就是图论中道路的乘法。作者简介： 刘东(1968---), 男，理学博士，副教授，主要从事李代数研究工作和代数学教学工作。本论文受浙江省自然科学基金(No.Y607136)、浙江省钱江人才计划(No.07R10031)和浙江省新世纪教改项目“高师院校数学系专业基础课的教学与教材改革”资助。应用此法则也可以倒推出矩阵乘法法则：设A(aij)mn,B(bkl)np，则Aa1im1jnijEij,Bb1km1lnklEkl，从而

nAB(a1im1jnijEij)(b1km1lnklEkl)a1im1km1jn1lnijbklEijEkla1im1km1jn1lnnijbkljkEil(a1im1lpk1ikbkl)Eil这就是矩阵乘法法则：设AB(cij)mp，则cijak1ikbkj。这样学生能更好地理解矩阵乘法的意义。

2.2 说明一些运算律

矩阵乘法的运算律与普通的乘法有很大不同，学生难以理解，如转用基矩阵来阐述则显得通俗易懂。例如从（1）很容易看出矩阵乘法交换律不再成立，乘法有非零因子。尤其强调的是在验证结合律时，如应用基矩阵则非常通俗易懂。因为任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合，所以只需对基矩阵验证乘法满足结合律就可以了。而对于基矩阵，验证是很容易的：

(EijEkl)EpqjkEilEpqjklpEiq

Eij(EklEpq)lpEijEkqjklpEiq或者从图1中也容易直接看出。

3.求矩阵代数Mn(P)的中心

求矩阵代数Mn(P)的中心问题是高等代数的一道典型习题(见[3])，按照教材体系学生很难想到用基矩阵，如果我们在教学矩阵乘法之前介绍“任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合”的思想，则“与任意矩阵可换”就转化为“与任意基矩阵可换”的等价命题。而根据Aa1in1jnijEij与任意Ekl可换，我们得到

a1in1jnijEijEkla1in1jnijEklEij，即a1inikEila1jnkjEkj.从而得到当ij时，aij0且aiiajj.因此，A 是一数量矩阵，即矩阵代数Mn(P)的中心为{kE|kP}。更进一步，在求矩阵代数的各种特殊子代数（见下一节）的中心时，也需要借助这些基矩阵。

4.刻画一些特殊矩阵构成的子空间 众所周知，刻画线性空间主要是刻画它的基，而基矩阵在刻画各种矩阵生成的线性空间起着重要作用。如在数域P上所有nn阶矩阵空间中，经常研究下列几种重要的子空间（矩阵代数Mn(P)的子代数）：（1）所有nn阶迹为零矩阵构成的子空间：它的一组基为{EiiEi1,i1,1in1, Eij,1ijn}，其维数为n21。

（2）所有nn阶上三角矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eij,1ijn}，其维数为n(n1)。

21（3）所有nn阶对称矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eii,1in，EijEji,1ijn}，其维数为n(n1)。

211（4）所有nn阶反对称矩阵构成的子空间：它的一组基为{EijEji,1ijn}，其维数为n(n1)。

2上述这些特殊子空间在后续学习中十分重要。

综上所述，基矩阵的性质与运算在线性代数的教学中起着重要作用，对学生建立线性空间的有关思想时起着决定作用。因此在教学中要特别注意强化基矩阵的教学与应用。

参考文献：

[1] 李长明.矩阵乘法的来源与意义[J].贵阳：贵州教育学院，2002，(04).[2] 刘学质.线性替换与矩阵乘法[J].重庆： 重庆教育学院学报，2005，(03).[3] 北京大学数学系几何与代数教研组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988.Study on some applications of basis matrices in

Linear Algebra

Liu Dong The School of Science, Huzhou Teachers college

Abstract：In this paper we mainly study somg applications of basis matrices in Linear algebra: the definition and laws of matrix multiplication, linear spaces and linear translations.Keywords：Basis matrices，matrix multiplication，linear spaces 3

第四篇：PT2262PT2272编解码IC在视频切换矩阵中的应用

PT2262/PT2272编解码IC在视频切换矩阵中的应用

摘要：提出了一种用PT2262/PT2272编解码IC制作的16×16视频切换矩阵的设计方案，给出了具体的电路图，同时在对其原理进行分析的基础上，指出了用该方案派生其它规格视频切换矩阵的基本思路。

关键词：电视监控 编码器 解码器 视频切换矩阵 PT2262 PT2272

随着电子技术的飞速发展，视频切换器已被广泛的应用到闭路电视监控系统、电视演播系统、电视会议系统、微格教学系统、多媒体教学系统等多种领域。多路输入视频切换矩阵更是大型闭路电视监控系统不可缺少的重要设备，但是这种设备的价格都比较高。本文基于计算机控制的设计思想，选用廉价的遥控解码集成电路（PT2262/PT2262）和多路模拟开关芯片（CD4067），采用积木式结构设计了一种16×16视频切换矩阵，从而实现了遥控视频的切换的功能。PT2262/PT2262的特性

PT2262、PT2272是采用18脚双列直插式封装的编解码IC，它们具有很强的抗干扰性能。其中PT2262是一种编码器，它能将数据和地址编译成代码的波形。它最大有12位三态地址，共有531441种地址代码。它最大有12位三态地址，共有531441种地址代码。PT2272是一种与PT2262配对的解码器，它也具有12位三态地址，共有531441种地址代码。PT2262、PT2272都是CMOS电路，因而具有功耗低、工作电压范围宽（3～15V）等特点。

1.1 PT2262的引脚功能

PT2262的引脚功能如下：

A0～A5（1～6）：地址引脚，这些引脚均有三种状态：“0”、“1”和“浮”；

A6/D0～A11/D5（7、8、10～13）：这六个引脚既可以作为地址码引脚，也可以作为数据码引脚；当作为地址码引脚时，可置成“0”、“1”或“浮”；而作为数据码引脚时，只能置成“0”、“1”。

TE（14）：发送使能端，低电平有效。当其为低电平时，PT2262输出编码波形；

DOUT（17）：数据码输出引脚； OSC1、OSC2（16、15）：振荡器引脚；

VSS（18）：电源正极；

VSS（9）：电源负极。

1.2 PT2272的引脚功能

PT2272的引脚功能如下：

A0～A5（1～6）、A8/D0～A11～D3（7、8、10～13）：这些引脚的功能与PT2262相同；

DIN（14）：数据输入引脚；

VT（17）：有效传输引脚，高电平有效。当PT2272接收到有效编码波形信号时，VT变为高电平；

OSC1、OSC2（16、15）：振荡器引脚；

VCC（18）：电源正极；

VSS（9）：电源负极。

图1 视频切换电路原理图

PT2272的数据输出有“暂存”和“锁存”两种，“暂存”是当输入端信号消失时，PT2272对应的数据位输出变成低电平；“锁存”是当输入端信号消失时，PT2272的数据位输出保持原有状态，直到接收到地址码相同的新输入。

PT2272的数据输出有4、6位之分，具体可用后缓来区分：M代表“暂存”，L代表“锁存”（例如PT2272 L4表示数据位输出为4位，锁存输出）。当编码电路PT2262将数据连同地址码从17脚串行发送出去后，便可经过双线传输到解码器PT2272的14脚（数据输入端），此时若解码器的地址A0～A7与编码器的地址A0～A7相同，解码器将接收发送来的数据，且并行呈现在数据输出端D0～D3端并锁存，同时在VT端输出个脉冲信号。16×16视频切换矩阵的组成

16×16视频切换矩阵由16块16选1视频切换电路板和一块主板组成。16块视频切换电路板依次通过板插座插在主板上，主板上有16个视频输入插座和一个九针插座。16个视频插座可供16路视频输入。九针插座则用于与电脑打印口的9位数据线相连，以供主板上主要由PT2262组成的编码电路进行编码。但是，无论是16路视频、编码信号、直流电源和地，它们均可通过电路板插座给16块视频切换电路板提供接口。

每块视频切换电路板均包括解码电路、16路模拟开关电路和视频放大电路。电路板的后面有一个视频插座输出。图1所示是16选1视频切换电路图。其原理图框如图2所示。

在图1中，编码信号从IC1（PT2272L4）的数据输入引脚（14）输入后，如果它的地址码（由四位编码开关SW1预置）与编码地址相同，电路系统将从数据输出脚（10～13）输出锁定的数据（如03H）。当16路模拟开关IC2（CD4067）的数据输入口（10～14）接收到03H数据后，第3号模拟开关被接通，这样，第7脚输入的第3路视频信号将从I/O口第1脚输出，并经R4、C1输入到共极晶体管（T1）放大电路的发射极，最终由集电极输出放大的视频信号。此视频信号再经射极跟随器（T2）后将输出阻抗为75Ω的1Vp-p视频信号进行输出，此时便完成了16选1的视频切换过程。R4用于调整输出幅度的大小，阻值大约在1kΩ左右；C1是高频补偿电容，约100pF。该电路十分简单，因此，整个切换矩阵的成本也很低。16块视频切换电路板的地址可分别设置为0H～FH。编码电路

图3是由PT2262编码器组成的编码电路原理图，利用该电路可以在电脑打印口输入9位数据。其中最高一位是控制数据，其余8位中的高4位是地址码，低4位是数据码。一般情况下，高4位输入到编码器IC（PT2262）的1～4脚，低4位输入到数据位10～13脚。当有数据输入时，最高一位控控数据输出为高电平，从而使倒相器T的集电极输出低电平，以使PT2262的使能端（14脚）有效，最后在其编码输出端（17脚）输出串行的编码信号。软件编程

4.1 控制界面的设计

控制界面的设计有两种方案，第一种为16行，每行16个铵键。每行的按键都是互锁。第二种方案是一共两行，每行16个按键。第一行是切换器的选择键，第二行是视频输出选择键，两行的按键也是互锁的。

在上述两种方案中，第一方案只需按一个按键便可切换图像；而第二方案则要按两个键，第一次先选切换器，第二次才切换出图像。

4.2 数据结构

采用VB或Delphi语言编写控制软件可在打印口输出9位数据，以控制电脑分二次分送数据，第一次是低8位，第二次是最高一位。在低8位中，高4位为地址码0H-FH，可用于表示第1至16行视频切换器的地址，低4位为每行16选1的数据码。当在界面上点按按键时，按下时输出数据，放开时数据复零。所有需锁存的数据均由硬件来实现。

在第一种方案中，按每一个按键，打印口都输出数据；而第二种方案只有按第二行时才输出数据，而且同一个按键有16个地址，这要视第一行按键选取哪一个键来定。

结束语

视频切换矩阵一般用于比较大型的闭路电路监控系统，本文介绍的16×16视频切换矩阵的成本很低，而且稍作改动，就可变成16×8、16×4、16×2的产品。如果在几路视频输出中不要求重复出现，就可以方便地将其改变成256路视频输入/16路视频输出、128路视频输入/8路视频输出、64路视频输入/4路视频输出等规格的产品。

由于控制电脑不需要对图像进行处理，所以对计算机的配置要求不高，用486以上计算机就可以了。如果不用电脑控制，也可以改为键盘控制。实现时，可选用两行键盘，每行16个按键的结构形式，这样成本可以进一步降低，控制键盘的电路也十分简单，本文不作详细介绍。

第五篇：高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法

摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。

关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

文章来自：全刊杂志赏析网(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm

【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。

【关键词】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

例1设e4e2(b-a)。

解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x

例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用辅助函数的单调性证明

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例3试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

文章来自：全刊杂志赏析网(qkzz.net) 原文地址：

例4设b>a>e，证明ab>ba。

分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展开式证明

泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。

例5设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。

解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述两式相减得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因当c∈(0,1)时，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。

例6设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函数图形的凹凸性进行证明

函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

f′(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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