三角形内角和定理的证明剖析

第一篇：三角形内角和定理的证明剖析

三角形内角和定理的证明说课稿

一、背景分析 1.学习任务分析

《三角形内角和定理的证明》是北师大版八年级下册第六章的第五节。本节课的主要内容是“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。

三角形内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一，也是《证明

（二）》《证明

（三）》中用以研究角的关系的重要方法之一，因此，本节课起着承上启下的作用。而通过添加辅助线，把未知转化为已知，用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础。三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。

2.学生情况分析

三角形内角和定理的内容，学生已经很熟悉，但以前是通过实验得出的，学生可能会认为这是已经学过的知识，因此在学习过程中要向学生说明证明的必要性，在前几节的学习中，学生基本上已经掌握了简单证明的基本方法和步骤，本节课再一次来熟悉证明的过程。而本节课要证明这个结论需要添加适当的辅助线，因而本节课也要渗透这样的思想:添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要手段之一。

二、教学目标分析

对于三角形的内角和定理，我们以前已通过量、折、拼的方法进行了合情推 理并得出了结论，本节课就一起对其进行数学证明。另外，通过前面几节课的学习，学生基本上也掌握了证明的基本步骤和书写格式，学生可以自己书写证明过程。因此，我依据《数学课程标准》，以教材的特点和学生的认知水平为出发点，确定以下三个方面为本节课的教学目标。

（1）知识技能目标：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，初步学会利用辅助线来证明命题。

（2）过程与方法目标：经历探索“三角形内角和定理”的证明过程，学会与人合作，通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性。

（3）情感与态度目标：通过新颖、有趣的问题，来激发学生的求知欲，使学生乐于学数学，遇到困难不避让，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

三、课堂结构分析

（一）问题引入→

（二）探究新知→

（三）定理应用→

（四）深化拓展→

（五）小结巩固

本节课首先回顾探索三角形内角和定理的过程，然后让学生动手实践，并对照实践，探求证明方法。方法多种，因此采用小组讨论全班交流的方式，激励学生展开积极的思维活动。通过几个练习再一次巩固了三角形内角和定理，在此基础上，深化拓展，使学生思维达到高潮，使其更进一步得到拓展。最后小结巩固，评价激励。

四、教学媒体设计

由于本节课是由动手操作转化为几何证明，由直观感受转化为逻辑思维，由感性认识到理性认识，因此，本节课所要借助的媒体是三角形卡纸，由剪纸的过 2 程联想到证明方法。

五、教学过程分析

（一）问题引入

三角形的内角和是多少呢？你如何验证这个结论呢？

由于三角形的内角和学生都知道，因此直接开门见山，将一个简单的问题抛给学生，让学生从熟知的问题开始这堂课的学习，能很快的激起学生学习的欲望，尤其是学有困难的学生。并且，从学过的知识引入符合学生的认知规律。

（二）探索新知

1.动手实验

请同学们将事先准备好的三角形卡纸的三个角剪下拼图，使三者顶点重合。你会发现什么？

通过动手操作验证结论，同时也培养学生自主动手解决问题的能力。2.探索交流

下面让学生对照刚才的动手实践，探求证明方法。此环节应留给学生充分的思考、讨论、发现、体验的时间，让学生在交流中互取所长，合作探索，找到证明的切入点，体验成功。对学有困难的学生要多加关注和指导，不放弃任何一个学生，借此增进教师与学有困难学生之间的关系，为继续学习奠定基础。合作探究后，汇报证明方法，注意规范证明格式。

（1）由实验可知：三角形的内角之和正好为1800．但实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明．那么怎样证明呢？

（学生会立即思考，若有困难，可以用下面的问题引导学生。）（2）看到1800你会想到什么? 3 这个问题的提出可以引导学生想到平角，继而利用平角来证明三角形的内角和是1800，也可能有学生会想到两平行线间的同旁内角，当然也可以。

（3）回顾刚才的实验操作，卡纸可以撕下来，可黑板上的三个角不能撕，那么如何把这三个角“搬”在一起呢？

学生通过刚才的动手操作，再加上上面的三个问题基本上已经给学生指明了方向，因此，学生自然而然会想到证明的基本思路是把分散的三个角“搬”到一起，构成一个平角。另有学生可能会想到拼成两平行线间的同旁内角。而作平行线则是“搬”角的基本途径。通过本环节，让学生体会转化的数学思想方法，把新知识转化为旧知识。

（4）分组讨论证明方法

在学生独立思考后，小组内讨论交流。

通过上面的环节，有些学生可能已经有思路了，再通过和同学的交流讨论，互取所长，可能会探究出不同的方法来，将会更完善。另外，刚才没有思路的同学也可以通过本环节向他人借鉴，理出思路来。教师这时候也可以深入到有困难的小组，引导他们解决问题。同时还可以促进师生之间的关系。

（5）全班交流

在小组讨论结束后，全班交流，大家共享。可能的证明方法如下 ：

AEPAQAD12D

BC

BC

BC

图1

图 2

图 3

①如图1，延长BC到D，以点C为顶点，以CA为一边，在△ABC的外部 作∠1=∠A。

②如图1，延长BC到D，过C作CE∥AB。③如图2，过点A作PQ∥BC。

④如图3，过C作CD∥AB，由同旁内角互补可以证明。

学生方法很多，在学生通过观察分析、归纳总结，最后全班交流，使思维达到高潮，由感性认识上升到理性认识。在交流方法的同时，让学生说明理由，培养学生合乎情理的思考和有条理的表达能力。而当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为已经会解的情况，这是解决问题的常用策略之一。

（6）书写证明过程

根据以上几种方法，选择其中一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主选择其中一种，完成证明过程，培养学生严谨的逻辑思维能力和推理能力。

首先，师生一起画出图形，其次，分析命题的题设和结论写出“已知”、“求证”，把文字语言转化为几何语言，由于有本章前几节作为基础，因此学生有能力做到。最后，作出辅助线，写出规范的证明过程。

3.反思：（1）证明三角形内角和定理的基本思路是什么？

（2）三角形内角和定理的证明是借助于什么获得？平行线是以后几何中常作的辅助线。

（3）添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把未知的转化为已知的去解决。

引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳概括能力。

（三）定理应用

1、例1 求证：四边形的内角和等于3600。

三角形内角和定理在这之前也会经常用到，但都是以计算的形式出现。而本题将四边形的内角和问题转化为三角形内角和问题，是三角形内角和定理的直接应用。同时，由三角形的内角和求四边形的内角和，也符合学生的认知规律，满足了学生的求知欲。另外，本命题的证明也需要添加辅助线，让学生体会到学以致用。

2.练习

（1）直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。

（2）如图，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=500

两个练习由学生自主完成，上面三个问题都是三角形内角和定理的简单应用，使全体学生特别是学有困难的学生都能够达到基本的学习目标，获得成功感。同时，激发学困生的兴趣。

(四)深化拓展

议一议：证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（4）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（5）），“凑”到三角形外一点呢？（如图（6）），你还能想出其他证法吗？

图（4）

图（5）

图（6）

本问题再一次强化学生“抓住根本”的意识，抓住把三个角“搬”到一起，以便利用平角定义这一基本思想。可以把三个角集中到三角形某一顶点;可以把他们集中到某一边上;集中到三角形的内部一点；还可以把它们集中到三角形外部一点。培养学生善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题的能力，同时，拓展了学生的思维。

（五）小结巩固 1.小结

（1）谈内容，谈思想，谈方法

（2）你还有什么收获？你还有哪些疑惑？你还想知道什么？

先让学生谈本节课所学内容，基本思想，各种方法，帮助学生形成总结归纳的好习惯。然后请学生谈谈还有哪些收获，通过学生的反思，感受到自己的成长与进步。请学生谈自己疑惑的地方，能够帮助教师全面的了解学生的学习状况，改进教学，为因材施教提供了重要的依据。最后，请学生们说说还想知道什么，激起学生的求知欲，并为下节课埋下伏笔。

2.读一读

你能想到什么

3.课后作业：（A类必做，B类选做）A类：P241数学理解1、2题

B类：（1）证明：五边形的内角和等于5400；

（2）证明：n边形的内角和等于(n2)1800。

六、教学方法分析

新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式。这就要求教师的角色，应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在本节课的教学方法上采用实验法和启发、诱导法。正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，学生在已有经验的基础上，要在自己的思考过程中得到进步，加深对知识的理解，就必须在教师的引导下，通过同学间的互相探讨、启发，把课堂上所学的内容完全转化为他们自己的知识。在教学过程中，先让学生动手实践，然后对比撕纸的方法，引导学生独立探索证明的方法，之后分组合作、自主地去探究和发现方法。对定理的证明这一环节，通过一题多解，一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

七、教学评价分析 1.关于教材的处理：

（1）通过“撕纸”这一实验活动，激发学生兴趣，吸引学生积极参与活动。对于三角形内角和是1800有了直观的感受，为下面的证明做了铺垫。

（2）通过分组讨论，全班交流两个活动，让所有同学都参与进来，各抒己见，互取所长。

（3）通过“深化拓展”这一环节，将问题深化，拓展了学生思维。2.关于课堂评价

教学中，我遵循的基本教学原则是激励学生展开积极的思维活动。因此，本节课我选择的评价方式是教师评价、自我评价、学生评价多元化评价，对不同的学生有不同的评价标准，尊重个体差异。在活动过程中既关注学生是否积极参与，同时也关注学生的合作交流的意识和能力；既关注学生的思维能力和发展水平，也关注学生发现问题和解决问题的能力。

第二篇：三角形内角和定理的证明教案剖析

●课题

§6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标(一教学知识点

三角形的内角和定理的证明.(二能力训练要求

掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力.(三情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲.●教学重点

三角形内角和定理的证明.●教学难点

三角形内角和定理的证明方法.●教学方法 实验、讨论法.●教具准备 三角形纸片数张.投影片三张

第一张:问题 第二张:实验

第三张:小明的想法●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境,引入新课

用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点(如图6-37,放松橡皮筋后,点A自动收缩于BC上,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢?

得出结论:当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°。三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的。三角形的最大内角不会大于或等于180°。

当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠B、∠

但观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?请同学们再来看实验.图6-39 这里有两个全等的三角形,我把它们重叠固定在黑板上,然后把三角形ABC的上层∠B 剥下来,沿BC的方向平移到∠ECD处固定,再剥下上层的∠A,把它倒置于∠C与∠ECD 之间的空隙∠ACE的上方.这时,∠A与∠ACE能重合吗?

图6-40 已知,如图6-40,△AB C.求证:∠A+∠B+∠C=180°

证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等 ∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等 ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换 即:∠A+∠B+∠C=180°.在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理.即:三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理,他是这样想的.大家来议一议,他的想法可行吗?

∵PQ∥BC(已作

∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等 ∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等 ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换

图6-42 也可以这样作辅助线.即:作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C(如图6-42.也可以在三角形的一边上任取一点,然后过这一点分别作另外两边的平行线,这样也可证出定理.即:如图6-43,在BC上任取一点D,过点D分别作DE∥AB交AC于E,DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形(平行四边形的定义 ∠BDF=∠C(两直线平行,同位角相等 ∠EDC=∠B(两直线平行,同位角相等 ∴∠EDF=∠A(平行四边形的对角相等 ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换 Ⅲ.课堂练习

(一课本P196随堂练习1、2.图6-44

1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.答案:90°60°

如图6-44,在△ABC中,∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°.图6-45 如图6-45,△ABC是等边三角形,则:∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°

2.如图6-46,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求证:∠ADE=50°.证明:∵DE∥BC(已知

∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等 ∵∠C=70°(已知 ∴∠AED=70°(等量代换

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°(三角形的内角和定理 ∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性质 ∵∠A=60°(已知

∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代换(二读一读P197.(三看课本P195~196,然后小结.Ⅳ.课时小结

这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是:运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业

(一课本P198习题6.6 1、2(二1.预习内容P199~200 2.预习提纲

(1三角形内角和定理的推论是什么?(2三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究

1.证明三角形内角和定理时,是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P?(如图6-47(1,如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢?(如图6-47(2“凑”到三角形外一点呢?(如图6-47(3,你还能想出其他证法吗?

(1(2(3 图6-47 [过程]让学生在证明这个题的过程中,进一步了解三角形内角和定理的证明思路,并

且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的一点 P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.●板书设计 §6.5 三角形内角和定理的证明 一、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 图 6－48 已知，如图 6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）

∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）

二、议一议

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

第三篇：三角形内角和定理的证明同步练习剖析

11.1.3 三角形的稳定性 基础知识

一、选择题 1.如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2.王 师 傅 用 4 根 木 条 钉 成 一 个 四 边 形 木 架，如 图 ． 要 使 这 个 木 架 不 变 形，他 至 少 还 要 再 钉 上 几 根 木 条 ？ A． 0 根 B． 1 根 C． 2 根 D． 3 根 3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．下列图形中具有稳定性的是（）A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 5.下列图中具有稳定性的是（）A． B． C． D．）6.如 图 小 明 做 了 一 个 方 形 框 架，发 现 很 容 易 变 形，请 你 帮 他 选 择 一 个 最 好 的 加 固 方 案（A． B． C． D． 7.．用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（A．3 根 B ． 4 根 C．5 根 D．6 根

A． B． C．）D． 6． 下 列 图 形 中，不 具 有 稳 定 性 的 是（）7．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 8.不是利用三角形稳定性的是 A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条 8． 用 五 根 木 棒 钉 成 如 下 四 个 图 形，具 有 稳 定 性 的 有（）A． 1个 B． 2个）C． 3个 D． 4个 9． 如 图 所 示，具 有 稳 定 性 的 有（A． 只 有（1），（2）B． 只 有（3），（4）C． 只 有（2），（3）D．（1），（2），（3）10．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的 5 根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装 螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题 1 ．（2012•茂 名）如 图 所 示，建 高 楼 常 需 要 用 塔 吊 来 吊 建 筑 材 料，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 结 构，这 是 应 用 了 三角形的哪个性质？答： ．（填“稳定性”或“不稳定性”）2.在 生 活 中，我 们 常 常 会 看 到 如 图 所 示 的 情 况，在 电 线 杆 上 拉 两 根 钢 筋 来 加 固 电 线 杆，这 样 做 的 依 据 是.3.空 调 安 装 在 墙 上 时，一 般 都

会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上，这 种 方 法 应 用 的 数 学 知 识 是.人 站 在 晃 动 的 公 共 汽 车 上 ．若 你 分 开 两 腿 站 立，则 需 伸 出 一 只 手 去 抓 栏 杆 才 能 站 稳，这 是 利 用 了.4 ． 如 图，是 边 长 为 25cm 的 活 动 四 边 形 衣 帽 架，它 应 用 了 四 边 形 的 ． 11.2.1 三角形的内角和 基础知识 选择题 1.下列说法正确的是(A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于 60° 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △ ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将 △ ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与

重合，若∠，则∠1+ ∠2 =（）∶∶ 3 7，则这个三角形一）（A）等腰三角形（B）直角，AD 是 △ ABC 的角平）．（A）40 °（A）150（B）210（C）105（D）定是（3.一个三角形的三个内角的度数之比为 三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形，∠分线，则∠ CAD 的度数为（4.如图，在 △ ABC 中，∠（B）45 °（C）50 °（D）55 °

5.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（）1 2（A）45（B）60（C）75（D）90 6.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）． A．

．

．

．与虚线的位置有关 7.如图，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED 的大小是 A．40° B．60° C．120° D．140° 8.将一副三角板按如图所示摆放，图中 数是（）（A）75 ° o o o o（）（C）105°（D）120°（B）90 ° 9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（）A．100° B．120° C．135° D．150° 11.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则∠A′DB=（A．40°B．30°C．20°D．10° 12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）1 A．∠A-∠B=∠C B．∠A=3∠C，∠B=2∠C C．∠A=∠B=2∠C D．∠A=∠B= ∠ C 2 13.如图，在三角形 ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,H 是 BE 和 CF 的交点，则∠EHF=(100º B.110º C.120º D.130º A）A F B 2 E D 1 D C B C 14．如图所示，把的度

一个三角形纸片 ABC 顶角向内折叠 3 次之后，3 个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度 数和是（）A．180° B．270° C．360° D．无法确定

二、填空题 1.三角形中,若最大内角等于最小内角的 2 倍,最大内角又比另一个内角大 20°,则此三角形的最小内角的度数是________.2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.5.当 三 角 形 中 一 个 内 角 α 是 另 一 个 内 角 β 的 两 倍 时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特 征 角 ” ． 如 果 一 个 “ 特 征 三 角 形 ” 的 “ 特 征 角 ” 为 100°，那 么 这 个 “ 特 征 三 角 形 ” 的 最 小 内 角 的 度 数 为.6.如图，在 △ ABC 中，∠B，三角形的外角∠ DAC 和∠ ACF 的平分线交于点 E，则∠ AEC =____________．

将一副直角三角板如图放置．若 AE∥BC，则∠AFD= °． 8.如 图，AB ∥ CD，∠ A=32°，∠ AEB=100°，则 ∠ C 的 度 数 是 度． 9.△ ABC 中，∠ A= ∠ B+ ∠ C，则 ∠ A= 度． 1 1 10 ． 在 △ ABC 中，已 知 ∠ A= ∠ B= ∠ C，则 三 角 形 的 形 状 是 三角形． 2 3 11 ． 已 知 △ ABC 中，∠ A=2（∠ B+ ∠ C），则∠A 的度数为 度． 8 ． 如 图，在 △ ABC 中，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4，∠ BOC=120°，则 ∠ A=.12 ． 如 图，AD、AE 分 别 是 △ ABC 的 高 和 角平分 线，∠ B=58°，∠ C=36°，∠ EAD=.A F E B D C 13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.解答题 1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.2.已 知 ：如 图，AB ∥ CD，直 线 EF 分 别 交 AB、CD 于 点 E、F，∠ BEF 的平分 线 与 ∠ DFE 的平分 线 相 交 于 点 P ．求 证 ： ∠ P=90°． 3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是 AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A、∠B 的之间的关系式．（不必证明）4.如 图，已 知 在 三 角 形 ABC 中，∠ C= ∠ ABC=2 ∠ A，BD 是 AC 边 上 的 高，求 ∠ DBC 的 度 数 ． 5.如 图，有 一 块 直 角 三 角 板 XYZ 放 置 在 △

ABC 上，恰 好 三 角 板 XYZ 的 两 条 直 角 边 XY、XZ 分 别 经 过 点 B、C． △ ABC 中，∠ A=40°，求 ∠ XBA+ ∠ XCA 的 度 数.A F E B D C 三角形内角和定理的证明

一、填空（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．（2）在△ABC 中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______．（3）在△ABC 中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______．（4）在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______．（5）在下两图中，∠

1、∠2 与∠B、∠C 的关系是_______（6）已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为 D，则∠DBC 的度数为_______．

二、选择题认真选一选（1）在△ABC 中，∠A=50°，∠B、∠C 的平分线交于 O 点，则∠BOC 等于__________． A．65° B．115° C．80° D．50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线__________． A．相互重合 B．互相平行 C．相互垂直 D．无法确定相互关系 B．45°C．55° D．75°（3）如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E 等于__________． A．35°

三、数学眼光看世界（1）一块大型模板如图，设计要求 BA 与 CD 相交成 30°角，DA 与 CB 相交成 20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D 的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道 这样的题目：如图，证明五边形的内角和等于 540°．即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°．

第四篇：三角形的内角和定理的证明

《三角形的内角和定理的证明》的教学案例与反思

新的数学课程标准指出：数学教学要以学生发展为本，让学生生动活泼、积极主动地参与数学学习活动，使学生在获得所必须的基本数学知识和基本技能的同时，在情感、态度、价值观和能力等方面都得到发展。那么数学教学如何让学生在自主探索中不断地、主动地发展呢？近日，我组织了数学《三角形的内角和定理的证明》一课的教学，就其中的证明方法的探索的课堂片段，谈谈个人的一些做法和想法。

案例：

首先，教师让学生画三角形，并提出问题：问题（1）、你知道三角形的内角和是多少？ 问题（2）、你是怎样得到这个结论的？ 问题（1）的回答较简单，对于问题（2），让学生思考、交流，在交流的基础回答。（测量、折纸）教师加以说明，这种方法得到是不一定正确的，我们应加以证明。问题（3）、你能证明吗？试试看。《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖与记忆，动手实践自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式”。要使学生逐步探究发现三角形三个内角的度数和等于180°，最有效方法是让学生真正投入到探究活动的全过程中，本节课我让学生寻求拼折以外的其它方法来求出三角形的内角和。通过小组讨论，学生从已有的知识出发，通过作平行线，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，很快推理出三角形的内角和是180度。温故而知新，让学生在自主探究，合作交流中经历，猜想、验证、结论这一个过程，体验探究学习的乐趣。学生分组，探讨证明方法，教师巡回指导。之后总结学生探讨出来的各种证明方法，由学生相互评价，教师在对学生的各证明方法给出鼓励性的评价。

反思

以上案例是教学“三角形的内角和定理的证明”所采用的方法。课堂中，教师营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展。主要表现在：

一、注重了学生的自主探索

自主探索是学生学习数学的重要方式之一。教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦。在课堂中，教师放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握了证明的各种方法。

二、注重了学生的合作交流

数学课程标准指出：教师要让学生在具体的操作活动中进行独立的思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴交流。可见，合作交流在数学教学中也相当重要。在课堂中，教师注重了学生的合作交流。

三、注重了评价

在数学课堂教学中，评价的形式有很多，但较多的是由教师对学生的学习作出的评价，教师扮演着“裁判员”的角色。而在这节课中，除了教师对学生的评价外，更重视了学生之间的相互评价：“你觉得他证得怎么样？”让学生在相互评价中既培养了能力，又寻找到了问题解决的方法，最终达到自我矫正的目标。

通过这节课给我带来了更深的启示：在素质教育不断发展的今天，作为教师，我们应该不断更新自己的教学观念，树立先进的教学理念，并把先进的教学理念化为教学行为，只有这样，我们才能改变长期形成的、习惯了的旧的教学方式，才会树立“以学生发展为本”的理念，让学生充分从事数学探究活动，发挥学生学习的自主性、主动性、选择性和创造性，让学生在自主探索中不断地发展！

第五篇：三角形内角和定理的证明说课稿

三角形内角和定理的证明说课稿

马建禄

一、说教材：

（一）、教材的地位及作用：

本节课是北师大版实验教科书八年级下册第六章第五节的内容。是在学习了平角、同位角、内错角、同旁内角、探索两直线平行的条件及三角形内角和定理的基础上，进一步探索三角形内角和定理的证明.为今后学习多边形内角和、外角和，圆等知识打下良好的基础，具有承上启下的作用。且三角形内角和定理在日常生活中,如机械制造、工程设计、国防等领域具有广泛应用。

（二）、教学目标设计：

1、知识与技能：

（1）掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。（2）对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

（3）通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

2、过程与方法：通过动手操作、探索、观察、分析、归纳培养学生获得数学结论的能力。

3、情感与价值观：培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决

用为主线来展开。采用了教具演示的教学手段，使图形直观、形象地便于学生理解。以学生发展为本的原则，我运用启发式教学方法，引导学生动手操作、探索、讨论、归纳。在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的数学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体者的课堂教学理念。

（二）说学法

根据本节课特点和学生的实际，八年级学生基本具备动手操作、探索讨论、猜想、说理的能力，主要采用“操作—观察—讨论—证明—应用 ”的探究式的学习方式，教会学生“ 动手做，动脑想，大胆猜、会说理，学致用”的学习方法。增加学生参与的机会，使学生在掌握知识、形成技能的同时，培养科学的学习方法和自信心。

四、说教学过程设计

教学过程的设计应根据学生的实际情况，教法、学法的确定，以完成教学目标为目的。

（一）、创设问题情境，引入新课：

1.提出疑问：前面的课程学习了三角形三条边的关系，那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢？

2.动手实践：我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?