初中平面几何重要定理汇总

第一篇：初中平面几何重要定理汇总

初中平面几何重要定理汇总

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)（直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明))

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)

圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。

第二篇：初中平面几何的60个定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应该掌握的重要定理

2、射影定理(欧几里得定理)重要

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

重要

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 重要

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 高中竞赛中会用，不常用

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

高中竞赛的题目，不用掌握

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半

重要

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

重要

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中竞赛需要，重要

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 显然的结论，不需要掌握

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 高中竞赛需要，重要

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 初中竞赛需要，重要

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握

21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

不需要掌握

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

不用掌握

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

不用掌握

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要

28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 不用掌握

29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

不用掌握

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

不用掌握

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

不用掌握

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 不用掌握

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

不用掌握

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点 不用掌握

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

不用掌握

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用掌握

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

不用掌握

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

不用掌握

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

不用掌握

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

不用掌握

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用掌握

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

不用掌握

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有了

49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

不用掌握

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

不用掌握

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用掌握

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

不用掌握

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

不用掌握

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

不用掌握

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定理之一，但不用掌握

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

高中竞赛中常用

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

高中竞赛中偶尔会用

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

高中竞赛中偶尔会用

60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。高中竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形。

第三篇：奥数平面几何几个重要定理

平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有

D F P C A ADBE

DBECCF1． FAB E ADSADPSADC证明：运用面积比可得DBS． SBDPBDC根据等比定理有

SADPSADCSADCSADPSAPCSBDPSBDCSBDCSBDPSBPC，ADSAPCBESAPBCFSBPC所以DBS．同理可得，． ECSAPCFASAPBBPCADBECF1． 三式相乘得DBECFA注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，ADBECF1，那么直且D、E、F均不是ABC的顶点，若

DBECFA线CD、AE、BF三线共点．

证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有

AD/BECF1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都

因为

DBECFADBDB在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、B E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有

D E C G A F

ADBE

DBECCF1． FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．

CGCF因为CG // AB，所以 ————（1）ADFACGEC因为CG // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF1．由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边ACADBECF1，的延长线上有一点F，若

DBECFA

那么，D、E、F三点共线．

证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有

AD/BECF1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/1，所以有/．由于点D、D/都因为

DBECFADBDB

在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．

注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其证明

定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM．

因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得

D E A M B C ADDE，即ADBCACDE ————（1）ACBC由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得

ABBE

，即ABCDACCDAC ————（B2）

由（1）+（2）得

BC

ADABCDACDEACBE ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．构造有特点，不容易想到，要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明

定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．

证法1（同一法）：

在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 ADAC

———（2）

则由DAECAB及（2）可得DAE∽

E D C CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由EBADCA，得DBADCA，这说明A、B、C、D四点共圆．

证法2（构造转移法）

延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C共线，则命题获证）

那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆． A/B/

因此，ABA/DB/C/，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //ABADBCCD////

可得 ABBC.BDA/C/

另一方面，AC/A/DACAD//AC，即． CDCDABA/DBCC/DACA/D

欲证=，即证

CDBDABCDA/DBCCDC/DACBDA/D

//

即 BCCDCD(ACBDABCD)AD．

据条件有 ACBDABCDADBC，所以需证

BCCDC/DADBCA/D，//CDCDADAD，这是显然的．所以，即证A/B/B/C//ACA/、B/、C/共线．所以A/B/B与BB/C/，即

////互补．由于ABBDAB，BBCDCB，所以DAB与DCB互补，即A、B、C、D四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明

定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB且

————（2）ADAC则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×ADAC×BD 所以BE + DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其证明

定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其

延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．

证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．

B F A D C E P 因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．

因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．

所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．

所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．

由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．

注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件．但需注意运用同一法证明时的唯一性．

（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法．

五、欧拉定理

9．欧拉定理及其证明

定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足OH3OG．

BOHADEC

证明（向量法）：连BO并延长交圆O于点D。连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC．则

OHOAAH ——— ①

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

从而得AHDC．而DC2OE，所以AH2OE．

1因为OE2OBOC，所以AHOBOC ——— ②

由①②得：OHOAOBOC ———— ③ 另一方面，OGOAAGOA2GFOAGBGC．

GCGOOC，所以 而GBGOOB，

1OGOA2GOOCOBOGOAOBOC 3—— ④

由③④得：OH3OG．结论得证．

注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；

（2）此题也可用纯几何法给予证明． 又证（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．

因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD为平行四边形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽

BEOG ADHCEOG/．所以

AHAG/HG/2//． OEGEGO1AG/2由/，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即GE1G/与点G重合．

所以，G、O、H三点共线，且满足OH3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其证明

定理：如图，过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF，连接CF和ED，分别交AB于P、Q，则PM = MQ．

证明：过点M作直线AB的垂线l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/，交线段AB于点Q/．连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．据圆的性质和图形的对称性可知：

MFQ =MFP，FQM =FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因为C、D、F/、F四点共圆，所以

CDF +CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以

CDF =QPF，即MDF =QPF． /

/

/

/又因为Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有

MDF =MQF． /

//这说明Q/、D、F/、M四点共圆，即得MF/Q/ =Q/DM． 因为MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．这说明点Q与点Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理还可用解析法来证明： 想法：设法证明直线DE和CFx轴上的截距互为相反数．

证：以AB所在直线为x轴，段AB的垂直平分线为y轴建立直坐标系，M点是坐标原点．

设直线DE、CF的方程分别为

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直线CD、EF的方程分别为

y = k1 x，y = k2 x ．

则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为

(y –k1 x)(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy

–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0． 由于C、D、E、F四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆，所以必须

+ k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在线角

若=0，则k1k2=1，k1+k2=0，这是不可能的，故≠0； 又y轴是弦AB的垂直平分线，则圆心应落在y轴上，故有(n1 + n2)= 0，从而得n1 + n2 = 0．

这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数，即得PM = MQ．

注：利用曲线系方程解题是坐标法的一大特点，它可以较好地解决直线与曲线混杂在一起的问题．如本题，四条直线方程一经组合就魔术般地变成了圆方程，问题瞬息间得以解决，真是奇妙．运用它解题，不拘泥于小处，能够从整体上去考虑问题．

另外，待定系数法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

第四篇：高中平面几何定理

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去

这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB2AC22(AP2BP2)； 中线长：ma2b2ca2222．

4． 垂线定理：ABCDAC2AD2BC2BD2． 高线长：ha2ap(pa)(pb)(pc)bc

asinAcsinBbsinC．

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，则BD

DCAB

AC；（外角平分线定理）． cosA

2角平分线长：ta

6． 正弦定理：a

sinA2bcb

sinB(pa)csinC2bcbc（其中p为周长一半）． 2R，（其中R为三角形外接圆半径）．

7． 余弦定理：c2a2b22abcosC．

8． 张角定理：sinBAC

AD sinBAD

ACsinDAC

AB．

9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向

一边作垂线，其延长线必平分对边．

2214． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d－r就是点P对

于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d－r|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．

17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马

点．

18． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线

共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．

19． 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对

边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:

（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕． 20． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；

xAxBxC,yAyByC)

重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD2:1；

（2）设G为△ABC的重心，则SABGSBCGSACG

交

DEBC

3SABC；

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，BC

FPCA

于



F，过

KHAB



G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则

2DEFPKH

;2； 3BCCAAB

（4）设G为△ABC的重心，则

①BC23GA2CA23GB2AB23GC2； ②GA2GB

GC



(AB

BC

CA)；

③PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2（P为△ABC内任意一点）；

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2GB2GC2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA

b

：

xB

三

c

角

xC,形

acosA的yA

b

三

yB

条

c

高

yC)

线的交点；

cosBcosC

abc



cosAcosBcosCcosBcosC

abc



cosAcosBcosC

垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则BAOHAC,CBOABH,BCOHCA．

25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

I（axAbxBcxC

abc,ayAbyBcyC

abc)

内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；（2）设I为△ABC的内心，则BIC90

2A,AIC90

B,AIB90

C；

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；（4）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc, A平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则

AIIDAKKI

IKKD

bca；

（5）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆

半

径

为

r，令

p

(abc)，则①

SABCpr

；②

AEAFpa;BDBFpb;CECDpc；③abcrpAIBICI．

26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

O（sin2AxAsin2BxBsin2CxC

sin2Asin2Bsin2C,sin2Ay

A

sin2ByBsin2CyC

sin2Asin2Bsin2C)

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则BOC2A或BOC3602A；（3）R

和． 27．

旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边

(abc)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为



abc4S

；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之

BCa,ACb,ABc,令p

IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC．

旁心性质：（1）BIAC90（2）IAIBIC

A,BIBCBICC

A,（对于顶角B，C也有类似的式子）；

(AC)；

（3）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DI

A

； DBDC（对于BIB,CIC有同样的结论）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R． 28． 三角形面积公式

SABC

12aha

absinC

a4R

c2b

2RsinAsinBsinC

a4（：

b

c

oC)o

o

tt

t

AccBc

pr

p(pa)(pb)(pc)，其中ha表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p

(abc)．

29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

A2

rtan

B2tan

C2

r4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb4Rcos

;1ra

1rb



A2

sin



B2

1r.cos

C2,rc4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

,rb,rc

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一

BPPC

CQQA

ARRB

1．（逆定理也成立）

顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有

31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB

于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线． 32． 33．

梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．

塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设

BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．

线交于一点的充要条件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点． 37．

塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38． 西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．

41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其

余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点． 42． 史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通

过线段PH的中心． 43．

史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线． 44． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共

线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45． 46．

牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．

笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和

F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2)．49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点． 50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取

三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR

为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点． 52．

波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．

53． 卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线． 54．

奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．

55． 清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则

D、E、F三点共线． 56． 他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点

分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直

线上．58．

从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．

59． 一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点． 60． 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点． 61．

康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线． 62． 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线

交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．

63． 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线． 64． 65．

费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．

莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线

共点． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延长线的）交点共线． 68． 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆． 69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个

三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆． 70． 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四

个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点． 71． 葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边

作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： SDEF

SABC

|R

d

|

．

4R

第五篇：平面几何的几个重要定理--西姆松定理答案

《西姆松定理及其应用》

西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线；证明：连接DE、DF，显然，只需证明BDEFDC即可；BDPBEP90B、E、P、D四点共圆，BDEBPE同理可得：FDCPFC又BEPPFC90且PCF180PBAPBEBPEFPCBDEFDCD、E、F三点共线

西姆松的逆定理：从一点P向ABC的三边(或它们的延长线)作垂线，若其垂足L、M、N在同一直线上，则P在ABC的外接圆上；

例1.设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上；证明：设ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆由西姆松定理有：Q、R、S三点共线又O、F、B、D四点共圆且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线P、Q、R、S四点共圆

例2.四边形ABCD是圆内接四边形，且D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。证明：作BGDC,由西姆松定理有：F、E、G共线，又BFDFDGDGB90

四边形BFDG为矩形 对角线FG平分另一条对角线BD

例3.求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为GBGFBGCCGFBECCDABGFA180，即圆ABF过点G同理圆AED也过点G圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上

例4.设ABC的外接圆的任意直径为PQ，则关于P、Q的西姆松线是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂线并延长交外接圆于点P'、Q'，先证P'A、Q'A分别与点P、Q的西姆松线平行，再证PP'QQ'是矩形，则P'AO'A

练习

1、四边形ABCD是圆内接四边形，且CDA是直角，若从B点作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF或其延长线平分BD；

证明：由B作DC的垂线BG，由西姆松定理可知E、F、G共线

BFDFDG90

四边形BGDF是矩形，BD被另一对角线FG所平分

练习

2、如图，设P、Q为ABC外接圆上的两点，求证，若ABC关于P、Q的西姆松线DE和FG交于M，则FME＝PCQ;(奥林匹克数学高二分册P242、11题)证明：设PEFG＝N，PEQGL由题设可知，图中Q、F、G、C和E、L、G、C和C、E、D、P分别四点共圆EGQ＝FCQ，NLQ＝GCE，DEP＝DCPFME＝MENMNEDEPNGLNLCDCPFCQRCBPCQFME＝PCQ，2 练习

3、设ABC的垂心为H，其外接圆上任意一点P，求证:ABC关于P点的西姆松线过线段PH的中点。(奥林匹克数学高二分册P242、12题)