数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第一篇：数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件

2、f(x,y)|(x0,y0)（）xAlimx0f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)；

B lim；

x0xxf(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)；

Dlim。

x0xxClimx03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微

；

B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；

D 以上全不对。

x2y24、f(x,y)22的二重极限和二次极限各为（B）2xy(xy)A、0，0，0；

B、不存在，0，0，；

C、0，不存在，0；

D、0，0，不存在。

5、设ze，则xxyzzy（A）xyA、0；

B、1；

C、-1；

D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）

xy

1、证明函数f(x,y)x2y20但它在该点不可微；

xxx2y20x2y20

在（0，0）点连续且可偏导，2、设f(x)eddt,求f(x),f(x)0t2；

xyzzF,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算Cex(cosydxsinydy)，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点的光滑曲线；



5、计算zdS22zxy，其中为在z14的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分原函数；

3、验证函数 (yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L2xy,x2y2022f(x,y)xy220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.部分题目参考答案：

二、1、证明：0|xyxy22||xy|（4分）

(x,y)(0,0)limxyxy22=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又lim00，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

x0xxy不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

(x,y)(0,0)x2y2lim

xxxxx'x由于f(x)(e0tx2t2d)dt,f(x)(e0tx2d)dt00exdtxex，所

0222112以 f(x)tedtetd(t2)et2020x0121ex.2

2二、3、[解法 1] 由隐函数、复合函数求导法

zxzF1'xyxF1'yF2'''F12F22zz zF2'xyxF1'yF2'''F12F22zz

F2'1zF1'1zzy [解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

xF1'dF2'dz

y'zdxxdz'zdyydz0FF01222zzz，zF1'dxzF2'dyzF1'zdz'''xF1yF2，故 xxF1yF2'

zF2'z'yxF1yF2'.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.YXxxxecosyesinyesiny,故被积表yxYX

二、4、解 令=，=，则 ==xxxe(cosydxsinxdy)d(ecosy)e达式一定有原函数，注意到=(cosydxsinxdy),知

xxu(x,y)ecosye = 是(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有

Cex(cosydxsinydy)=

a,b)excosy|((0,0)a =ecosb1.2122Dxy(x,y)xy2，而

二、5、解 曲面在x0y平面上的投影区域zz2x,2yxy，于是曲面的面积微元

dS1z14x24y2dxzyd22

所以 zdS(x2y2)14x24y2dDxy

20dr214x2rdr120

（在极坐标系下计算）

21401t14t2(rt)2

812(u4u2)du1260(u14t).三、1、解

由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)PQQRRP1,yxzyxzM0M(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

xyzu(x,y,z)(y0z0)ds(z0x)dt(xy)drx0y0z0(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M0为原点，则得u(x,y,z)xyxzyz.yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

x02xy0f(0,y)x0x2y2，与limf(x,y)limy02xy0f(x,0)y0x2y2，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续

2xy2x2limf(x,y)lim2lim210f(0,0)x0x0xy2x02xy0y0当xy时，却有，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.

第二篇：数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件B必要条件C充分必要条件D 无关条件

2、f(x,y)x

|(x0,y0)（）

Alim

f(x0x,y0y)f(x0,y0)

x

x0

；B lim

f(x0x,y0)

x；

x0

Clim

f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

x

x0

；Dlim

f(x0x,y0)f(x0,y0)

x。

x03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、f(x,y)

xy

xy(xy)的二重极限和二次极限各为（B）

A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。

x5、设zey，则x

zx

y

zy

（A）

A、0；B、1；C、-1；D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）





1、证明函数f(x,y)



xyxy0

2xyxy

00

在（0，0）点连续且可偏导，2

但它在该点不可微；

xx

f(x)

2、设

e

0t



2ddt,求f(x),f(x)；

zxyz

F,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算C的光滑曲线；

e(cosydxsinydy)

x，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点

5、计算



zdS

zxy，其中为在2

2z

4的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分(yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L

原函数；



2、说明对任意

3、验证函数

0,e

(x)

sintdx关于t(0,)

均一致收敛；

2xy2

2,xy022

f(x,y)xy

220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.xyz0

33

3xyz10

四、（11分）求由方程组确定的隐函数yy(x),zz(x)在点P(1,1,2)

处的一阶导数。

部分题目参考答案：

二、1、证明：0|

xyxy

|0x

xy|（4分）

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

=0所以函数在（0，0）

点连续，（3分）又lim

xyxy

x0

0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

(x,y)(0,0)

lim不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

xx



xx



x

由于f(x)(e

x

d)dt,f(x)

(e

t

d)dt00

'x

e

x

dtxe

x，所

t

x

以 f(x)tedt

t

2e

t

d(t)

x

e

t



e

x



.二、3、[解法 1]由隐函数、复合函数求导法

F1



'

1

zF

1'

'

'

zx

xy''

F12F22zz

1xF1yF

2zF2

'

'

'

zy

F2



'

'

yx'

F12F22zz



xF1yF2

[解法 2]利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

dz

xyzdxxdzzdyydz''''

F1dF2d0F1F0222

zzzz，zF1dxzF2dyxF1yF2

'

'

'

'

z，故

x



zF1

'

'

'

zy

xF1yF2



zF2

'

'

'

xF1yF2

.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.Y

X

二、4、解令X=

ecosy

x，Y=

esiny

x，则

x

x

=y=esiny,故被积表

=

e(cosydxsinxdy)

x

x

达式知

e(cosydxsinxdy)

x

一定有原函数，注意到

d(ecosy),xx

u(x,y)=ecosy 是e(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有



C

e(cosydxsinydy)

x

=

ecosy|(0,0)

x(a,b)

a

=ecosb1.二、5、解曲面在x0y平面上的投影区域

Dxy

12

2(x,y)xy

2，而

zx

2x,zy

2y，于是曲面的面积微元

dS

2



所以





zdS



Dxy

(xy





20

d



r

（在极坐标系下计算）



81

2



(r



t)



uu)du

(u.Py

Qx

Qz

Ry

Rx

Pz

三、1、解由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)

1,

M0M

(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到

M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

y

xz

u(x,y,z)

(y

x0

z0)ds

(z

y0

x)dt

(xy)dr

z0

(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc

其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M

u(x,y,z)xyxzyz.为原点，则得

x1时e

(x)

sinte

(x)

e



1e

x

e

x

1x

,又

三、2、解当

x

收敛，所



(x)

以

e

sintdt

关于t(0,)一致收敛.而积分0



e

(x)

sintdt

是定积分，所以

e

(x)

sintdx关于t(0,)

一致收敛.2xyxy

yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

limf(x,y)lim

y0

x0x0

0f(0,y)，与

2xyxy

y0

0f(x,0)，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续 2xy

2x2x

2limf(x,y)lim

当xy时，却有

x0

y0x0y0

xy

lim

x0

10f(0,0)，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.四、解方程两边对x求导有

1y(x)z(x)0(1)

222

3x3yy(x)3zz(x)0(2)

(1)3z

(2)有:y(x)

zz

xy

z(x)

xyzy

222，代入（1）有：，所以

y(1)1，z(1)0.

第三篇：数学分析期末考试题

数学分析期末考试题

一、叙述题：（每小题5分，共15分）

1、正交多项式

2、正项级数的比较判别法

3、Rn上的基本列

二、计算题：（每小题7分，共35分）



1、

40xtan2xdx2、计算

10.5xlnxdx的cauchy主值 23n(2)n3、求(x1)n的收敛半径和收敛域 nn

14、设zx2y2sin(xy)，求函数的梯度

5、求ux2y2z2在（1，1，1）点的全微分

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

(y2x)

21、讨论f(x,y)4（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限,(x,y)(0,0)，2yx

和函数的二重极限

2、讨论1的敛散性 qnlnnn2

3、讨论函数项fn(x)nx(1x2)n(0x1)的一致收敛性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）

1

1、证明Riemann函数R(x)p0

yxq为既约分数在[0，1]上可积 px为无理数

2、设zx(x0,x1)，证明它满足方程xz1zz yxlnxy

参考答案

一、1、设gn(x)是定义在[a,b]上的多项式，若对任意的m和n，gm(x)，gn(x)在[a,b]上可积，且有的正交多项式连续。

2、设

b

a

mnb0

gm(x)gn(x)dx则称gn(x)是[a,b]上

2g(x)dxmnan

x,y

nn

1n1



n

是两个正项级数，若存在常数A0，成立xnAyn,n1,2则







（1）当

y

n1



n

收敛时，x

n1

n

也收敛（2）当

x

n1

n

发散时，也

y

n1

n

发散

n3、如果R上的点列xk满足：对于任意给定的0，存在正整数K,对任意的k,lK，成立xlxk，则称xk为基本列。







二、1、

xtanxdx4xsecxdx4xdx

1dx0（7分）

0.5xlnx







2ln2（7分）3222、解：(cpv)

nn

43(2)

3、：lim，由于x时，级数收敛，3，收敛半径为1/3（4分）

n3n

x

4、：

42级数发散，所以级数的收敛域为[,)（3分）33

3zz=2xy3cos(xy)=2ysin(xy)xy2cos(xy)（4分）xy

gradu(2xy3cos(xy),2ysin(xy)xy2cos(xy))（3分）

5、ux

xxyz

3uy

yxyz

uz

zxyz

（4分）

du(dxdydz)（3分）

(y2x)2

2三、1、解、由于沿ykx趋于（0，0）时，lim，而沿yx趋于 

1(x,kx)(0,0)y4x

2（0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分）

1

|1dx2p12、函数非负递减，（3分）且(1p)lnx2xlnpxxlnqxlnlnx|2

分）由此仅p1，收敛（2分）。

3、limfn(x)0f(x)（3分），取

n

p1p

1，（511

fn(xn)f(xn)(12)n1(n)，所以函数列不一致收敛（7分）nn

四、证明题（每小题10分，共20分）

xn

1、证明：由Riemann函数的性质，0在[0,1]上使得R(x)

的点至多只有有限个,（3''

分）不妨设是k个，记为0p1pk1作[0,1]的分点0x0x2k11，使满足pi[xi1,xi],xixi1

2k1i

1k1j0

k1j1

'



2k,i1,2,k，由于

ixi2j1x2j12jx2j，而在右边的第一个和式中，有x2j1



且



2k

且2j11，在第二个和式中有2j以函数可积（7分）

2、证明：

x

j1

k1

2j

1，因此得到ixi，所

i1

n

uuxz1zxy11y

yxy1，xylnx（6分）yxxlnxzxyyxlnxyylnx

（4分）

第四篇：山东大学考研数学系数学分析考试大纲

山东大学数学与系统科学学院—基础数学专业科目大纲

651—数学分析考试大纲：

一、考查目标

全国硕士研究生入学统一考试基础数学硕士专业学位（数学分析）考试是为高等院校和科研究所招收基础数学专业硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平，有效地测试考生是否具备攻读基础数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家培养具有良好职业道德和专业知识、具有较强分析与解决实际问题能力和高层次数学专业人才。考试要求是测试考生掌握数学分析理论的基本知识与内容、分析处理和证明基本问题的方法与技巧。

具体来说，要求考生：

① 掌握了基本的数学分析知识。

② 掌握实分析理论的基本方法和技巧。

③ 掌握数学分析的基本原理。

④ 具有运用时分析方法论证和解决问题的基本能力。

二、考试形式和试卷结构

1.试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间180分钟。

2.答题方式

答题方式为闭卷、笔试。不使用计算器。

3.试卷内容与题型结构

本试卷基于理解与计算，分析与证明、综合与提高的原则，题型一般包括计算题及证明题。

三、考查内容

1.函数、集合、映射的概念和基本理论。

2.极限理论与方法。

3.函数的连续性和连续函数的性质。

4.一元微分学基本理论与应用。

5.一元积分学理论与应用。

6.无穷级数理论。

7.多元函数的微分学理论与应用。

8.广义积分理论。

9.含参变量的积分与广义积分理论。

10.多重积分理论。

11.线积分与面积分理论与应用。

12.傅里叶级数与傅里叶积分。

注：参考教材：

《数学分析》（上下册）华东师范大学数学系编（第四版），高等教育出版社.1

第五篇：一年级数学分析期末

2016-2017学年第一学期北师大版一年级

数学期末质量分析

一、基本情况

一年级数学期末参试人数为22人，平均分94.68，及格人数21人，及格率95.45%；优秀人数20人，优秀率90.9%；良好人数21人，良好率95.45%。整体来说，学生通过一学期的学习，成绩有了很大进步。

二、学生答题分析

1、学生答题的总体情况: 大部分学生基础知识扎实，学习效果较好，特别是在计算部分、立体图形的认识、整时、半时的认读,数数、分类上失分较少。但也反映出教学中存在的问题，学生在提出问题、分析问题、并解决问题上存在困难，不能用自己学到的知识解决生活中的实际问题。同学之间还存在较大的差距，如何扎实做好培优辅差工作，如何加强班级管理，提高学习风气，在今后教育教学工作中应该引起足够的重视。

2、本次检测结合试卷剖析，学生主要存在以下几个方面的普遍错误类型：

第一、不良习惯造成错误。学生在答题过程中，不认真听老师读题，造成抄写数字错误、加减号看错等。

第二、审题不认真造成错误。学生在答题过程中，审题存在较大的问题，有的题目需要学生在审题时必须通过分析才能找出答案，但学生经常大意。

三、存在问题

本次检测，学生主要存在的问题有：

1．第一题填空乐园。学生在数一串珠子时，从左数，黑珠子是第几，黑珠子右边有几颗珠子，存在数错的情况。

2．第三题画一画，圈一圈。第一小题，比较两个物体的多少，要求划出错误的答案，学生有划错的情况。第二小题让小狗跳台阶，每次跳三下，有些孩子不会3个3个地数数，而失分。

3．第四题我是计算小能手。第一小题学生做口算时分不清加减号，把加法当减法导致计算错误。第三小题学生对一共有多少不知用什么方法计算，导致错误。

4.第五题解决问题，学生对一共有多少、还剩多少区分不清，不清楚用什么方法导致错误。

四、今后教学改进措施

通过本次测试情况分析我们的教学现状，在今后的教学与评价过程中应作如下几方面的工作：

1.培养学生良好学习习惯。如：认真思考、勤于动脑、认真听讲、积极发言、独立完成作业、书写整齐的习惯。加大学生在校辅导力度，避免回家家长代做作业的情况，切实保证作业的质量。加大对学生的教育，认真对待考试，不乱写，勤于动脑，发挥最好水平。

2．加强与其他老师的互相交流。对教学中出现的问题要多向有经验的教师请教，多听他们的课，学习他们在教学上的优点，克服自己的不足，改进自己的教学工作。

3.做好培优辅差工作，与后进生多沟通，多谈心，消除他们的心理障碍；帮助后进生形成良好的学习习惯；加强方法指导；严格要求后进生，从最基础的知识抓起，弥补知识漏洞。

4.严格遵循课标，灵活处理教材。在新课标理念指导下，把教材当作学生从事数学学习的基本素材，重视现实生活中所蕴藏着的更为丰富的教学资源，善于驾驭教材，能从学生的年龄特点和生活经验出发，组织学生开展有效地数学学习活动。

5.营造和谐的环境，引导学生主动学习。教师要发扬教学民主，保护每个学生的自尊心，尊重每个学生独特的富有个性的见解，引导学生的主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，改变单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式，发展学生搜集和处理信息的能力。

6.结合具体的教学内容，渗透数学思想方法。在课堂教学中，教师要意识渗透数学思想方法，引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的。7.在教学过程中，及时将知识加以明晰，进行完整的归纳，让学生形成清晰完整、准确的知识体系。在教学中应在学生理解意义的基础上联系，对比找出应用题的不同点，给学生总结规律性的方法，强化理解，记忆训练的东西一定要到位，要落到实处。

通过这次的检测反思，使我认识到在今后的教学中应做到：

1、加大题型的训练，多加强学生语言口头能力的培养和书写能力的训练。

2、以后多出一些新颖，多样化的题目让学生练习。

3、培养学生分析问题，选择计算方法的能力。

4、培养他们认识做题的好习惯。

5、多鼓励学生，培养他们爱学习，爱数学的自信心。

6、多培养学生的观察能力，发展空间观念，让学生乐于交流，学会倾听的好习惯。

2017年1月9日