2016年考研数学大纲专题解析之不等式证明（共五则）

第一篇：2016年考研数学大纲专题解析之不等式证明

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2016年考研数学大纲专题解析之不等式

证明

新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。专题二不等式证明

不等式证明是真题中常考大题的地方，其中2014年的字母不等式的证明题有不少同学就找不到思路。下面我们梳理不等式证明的基本题型以及处理思路。

1.基本思路

考虑一道题：证明f(x)>g(x),x属于(a,b)。如何证明呢?能否带入验证呢?即便有愚公移山的精神也不行!因为太行王屋二山再大，体积质量毕竟有限;而(a,b)中的实数确是真真切切的无穷多，所以带入验证的工作成了货真价实的“子子孙孙无穷匮也”。那有什么可行的思路呢?注意到，待证不等式可恒等变形为f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),进一步可化为F(x)>0,x属于(a,b)。如何证明一个函数在一个范围恒大于零呢?仅需证明其在该范围的最小值大于或等于0即可。而找一个函数在一个区间(考虑(a,b)对应的闭区间)上的最小值应该不难。

好，我们由此得到了证明函数不等式的基本思路：移项构造辅助函数，结合单调性证明该函数的最小值大于等于零即可。具体解题有什么步骤吗?基本步骤如下：1)移项构造辅助函数;2)计算区间端点处的函数值(常有一个端点处的函数值为0，不妨设左端点的函数值为0);3)仅需证明函数单增即可，也即证明导函数大于或等于0对于开区间成立。

2.若干变形

以上是函数不等式证明的基本思路，真题中有什么变形呢?首先，如果待证的不等式形式较复杂，得考虑先化简：若不等式两边有公因子，考虑约去公因子(考虑公因子的正负对不等号的影响);若待证不等式有分母，考虑去分母;若待证不等式是指数式，考虑不等号两边取对数。

其次，在

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料的简单：把其中一个字母看成常量，另一个字母看成变量(或者替换为x)，字母不等式就化为函数不等式，进而按照函数不等式的处理思路处理即可。赵本山的小品中老虎把乌龟看成穿上马甲的蛇闹出了笑话，咱们现在把字母不等式看成穿上马甲的函数不等式不仅不是笑话，而且是正确的处理方式。

4.积分不等式

积分不等式长得比较吓人，但我要套用毛爷爷那句话：一切积分不等式都是纸老虎!这不是盲目自信，而是事实确是如此。积分不等式也属函数不等式，只不过穿上了积分这个马甲。处理思路是函数不等式的思路结合积分的性质。

2016考研数学大纲专题解析之极限

新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。专题一极限

考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。

1.四则运算

此法可简要概括为“若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的极限存在，则和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商(分母不为零)”。

而在实际做题过程中，我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在，而是只观察出一部分的极限存在，这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊的加，除看成特殊的乘)两种运算讨论：两个函数相加，取极限，若能观察出一项的极限存在，若另一项的极限存在，则由四则运算法则，和的极限等于极限的和，可以往下算;若另一项的极限不存在，可以证明(用反证法)整个极限不存在，也即“收敛+发散=发散”，而这种情况在真题中的极限计算题中还未出现过。综上，两个函数相加取极限，只要一项极限存在，就可以放心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个极限不存在即可。下面讨论乘的情况，两个函数相乘取极限，若一个函数的极限存在，那得追问一句：极限值是否为0?若为0，则不能把该函数的极限算出(因为可能出现“0乘无穷”这种未定式);若极限值不为0，则后面的讨论类似于加的情况。

2.洛必达法则

洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必达念念不忘，可谓情有独钟。到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。洛必达法则有三个条件：1)0分之0或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体函数仅判断

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的思想方法(如x趋于0时，sinx等价于x，那么x的位置换成趋近于0的函数行不行?行!这就是广义化的思想)。再者，等价无穷小替换常在洛必达法则之前用，这样可以简化洛必达法则中的求导运算。注意，易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。

4.泰勒公式

泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称“一把泰勒走天下，洛必达之类都是浮云”。确有几分道理。该公式有两种形式：带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式。前者用来算极限，后者用来证明。

算极限首先应记清8个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx，ln(1+x),(1+x)^a在0点展开的泰勒公式)，接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒公式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式，即题目中出现高阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。

5.幂指型函数的处理

幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我们求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招：指数对数恒等式转化。

6.夹逼定理

首先要熟悉该定理的内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之间(并不要求对所有的n成立，对充分大的n成立即可)，且在n趋于无穷时，两头的数列收敛到同一个数，则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹逼定理类似理解。

接着应熟悉一个结论：无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用其解题。

最后，一种长得非常有型的极限计算题——n项分母互不相同的分式的和的极限，可考虑夹逼定理，也可能考虑定积分定义。限于篇幅，本文在此点到为止，不详述。

7.单调有界定理

该定理内容并不难：单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限。此处需注意，不是严格的单调也可以。

该定理数一数二同学尤其要注意，因为真题在此处考过多次大题。该定理的一种比较典型的应用场合是递推式数列的极限问题。一般情况下，证明数列的极限存在就可考虑该定理。

第二篇：2014年考研数学大纲解析

2014考研数学大纲解析

试卷题型结构为：

单项选择题8小题，每小题4分，共32分；

填空题6小题，每小题4分，共24分；

解答题（包括证明题）9小题，共94分。

数学一

高等数学部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

线性代数部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

概率论与数理统计部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

数学二

高等数学部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

线性代数部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

数学三

微积分部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

线性代数部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

概率论与数理统计部分：2014年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2013年完全相同。

第三篇：2016考研数学大纲解析之证明题分析剖析

2016考研数学大纲解析之证明题分析

大家好，2015年考研数学已经落下帷幕。凯程数学教研室的老师针对2016年考纲对考试复习提供建议。

在2015年考研数学中，数学三的19题考查的导数定义证明。可以说出乎了很多人的意料之外。但是从证明思路来说，还是很简单的。2014和2015连续两年都没有涉及到中值定理的考查，这为2016年考查方式做了铺垫。2016年很有可能回到考查微分中值定理上面。针对2015年对证明题的考查方式，经过对2016年考纲的分析同学们在2016年考研备考中应该注意下面问题

一.注意考纲要求

2016年的考纲在中值定理这块没有太大变化。考试对数学一，数学二，数学三的要求也是不一样的。数学一和数学二要求理解泰勒定理。这意味着在微分中值定理的考查中，有可能单独考查泰勒中值定理。而数学三方面只是了解，所以数学三的重点还是应该放到罗尔定理和拉格朗日中值定理上面。

二．考纲的题型分析

通过对2016年考纲的分析，我们发现有关微分中值定理的考查一般都是以解答题的形式出现。

三．考纲要求的复习方法

根据对2016年考纲的分析，同学们要完成证明题是需要明晰知识体系的。首先，同学们要掌握极限的保号性，介值定理及费马引理；然后，掌握核心的三大中值定理以及数学一要重点掌握的泰勒定理；最后，掌握积分中值定理。同学们在清楚了微分中值定理所需要掌握的知识体系后，再通过做题总结，我想证明题就不难了。我再次提醒，微分中值定理的证明题一定要自己总结，自己活用体系，这样的话上考场才能达到游刃有余的目的，才能正真的做对题。

总之，同学们根据考纲要求明确微分中值定理的真正重难点，即上面说的基本知识体系。同学们思考证明题一定要有逻辑顺序，注意总结，这样的话，证明题就成为了“加分”题了。祝大家马到成功。

2016考研数学大纲解析之整体规划 数学教研室——向喆

大家好，2015年考研数学已经落下帷幕，凯程教育数学教研室老师针对2016年考纲要求提出复习规划。

2016年数学考纲在整体上和往年没有太大变化。高等数学部分还是考察了极限，导数以及积分；线性代数还是围绕着方程组和矩阵设计；概率还是围绕着随机变量的分布以及常见的统计量分布来命题。复习建议如下：

1.真题阶段

这个阶段的复习时间一般为9月到10月。任务：熟悉真题的考法，完善技巧和方法。在强化阶段复习后，大家知识点和方法都比较清楚了。那么在真题阶段，就是让大家知道真题是怎么考查大家的。同时检测一下大家强化的效果。通过真题，大家可以查缺补漏，进一步的完善知识点和方法。配合这个任务，大家可以参考我们凯程教育的《2016年数学三阶讲义》。总之，希望大家能够通过真题形成知识点和方法的完整体系。

2.模拟阶段

这个阶段的复习时间一般为11月到12月初。经过真题阶段的洗礼，大家知识点和解题能力都比较完善了。那么，在这个阶段，通过模拟题让大家保温。我们凯程教育精心准备了一些模拟题，大家通过这些模拟题就能进一步的巩固知识点和技巧，从而达到熟能生巧的境界。

3.巩固阶段

这个阶段的复习时间一般为12初到考前。这个阶段，请大家把以前总结的笔记仔细再看一遍，把错题仔细的做一遍，把真题认真琢磨一遍。我相信大家此时一定有不同的收获。然后就可以调整好心态迎接考试了。

总之：我相信大家只要保持好的心态，有良好的学习态度并且按照规划来认真复习，那么成功一定属于大家。祝大家马到成功！

2016考研数学大纲解析之极限 数学教研室——向喆

大家好，2015年考研数学已经落下帷幕。凯程数学教研室的老师针对2016年考纲对复习提供建议。

2015年考研真题中，数学二和数学三的15题都是考查了极限计算方法。这两个解答题是以无穷小比较为依托，但本质是极限计算问题。总体难度和去年持平。

结合2016年考纲应该注意下面问题 1.牢记极限的知识体系

极限这章包括三个部分：首先是极限的概念以及无穷小和无穷大的介绍；然后是极限的基本性质；最后是极限的计算方法。大家可以把这个知识体系与我前面说的2015年真题做个对照，就会发现极限的计算是重点。

2.理解极限知识点内容

在牢记知识体系之后，大家要做的就是理解知识点。首先是极限的概念以及无穷小和无穷大的介绍。历年考研几乎没考过用定义来求极限。所以，大家要做的是理解这个概念，并能用自己的话来表述。至于无穷小和无穷大，关键也是要理解内涵，并且与极限联系。然后是极限的基本性质。大家也不需要强记性质。大家需要做的还是理解。最后是极限的计算。这个是重点。每年的考研必考至少一道关于极限的计算大题。但是在学习极限时，很多同学都是在这里出现了瓶颈。究其原因，我想主要是两点：一，方法理解不透彻。具体就是被极限式子的形式多，因而求极限的方法多，很多同学容易混淆，张冠李戴，没理解方法的使用条件和内涵。二。心态。因为求极限的方法比较多，而且题目更多。很多同学为了更好的巩固知

识点，做了大量的题。这种想法是好的，但是同时会出现大量不会的题。所以一些同学就开始灰心丧气，心态失衡，继续题海战术。针对这样情况，我建议大家要学会对求极限的题目进行归类。每一类做一些题目就够了。它的目的是巩固知识点不是为了做难题。大家只有掌握了方法和类型，以后做题就能对号入座，也就不用题海战术了。

总之，通过2016年考研大纲的解析，希望大家在备考2016年的时候经过这两个步骤能够学习好极限，为以后的高等数学的复习打好基础！

2016考研数学大纲解析之级数复习数学教研室——向喆

大家好，2015年考研数学已经落下帷幕。凯程数学教研室的老师针对2016年考纲对考试复习提供建议。

在2015年的数学考试中，有点出乎意料。级数知识点的考查并没有单独命题。结合2016年考纲，同学们在2016年考研备考中应该注意下面问题

一.注意考纲要求

2016年的考纲对级数的要求不会有太大变化。级数只对数学一和数学三的考生有要求。但是在具体的要求层次上还是有很大差别的。比如说级数收敛，发散及收敛级数和的概念上数学一要求的是理解，而数学三只是了解。所以，从真题的角度，数学一就可以在概念上出大题。同时，数学一要求掌握交错级数的莱布尼茨判别法，而数学三只是了解。所以，数学一考查绝对收敛和条件收敛的情况较多。当然对幂级数展开和求和，数学一和数学三的要求是一样的。考生都要求会用逐项求导和逐项求和的方法来进行展开和求和。

二．考纲的题型分析

通过对考纲的分析，我们发现有关级数的问题是每年的必考题。提醒比较灵活，选择题，填空题和解答题都有可能出现。

三．考纲提示的复习方法

首先，同学们要清楚级数这章的知识体系，要把知识结构搞清楚，区分绝对收敛和条件收敛以及常数项级数收敛性质。然后，同学们应该记住常见的收敛级数，比如p 级数及几何级数，清楚常见函数的麦克劳林公式。最后，同学们应该多做真题，进一步熟悉知识点，在做的过程中要学会总结，形成自己的知识体系和方法。

总之，同学们根据考纲要明确级数的真正重难点，即上面说的基本体系。同学们不要一味的追求很偏的怪题，只要能够掌握重点方法，考研级数的重难点也就掌握了。祝同学们马到成功。

2016考研数学大纲解析之定积分复习数学教研室——向喆

大家好，2015年考研数学已经落下帷幕。凯程数学教研室的老师针对2016年考纲对复习提供建议。

在2015年的考研数学中，数学三的第十题考查的是变限积分问题。数学二的十六题考查的是定积分的应用，即求平面图形的面积。这些都是常规考法，而且难度不大。

针对2015年对定积分的考查方式，结合2016年考纲，同学们在2016年考研备考中应该注意下面问题

1.结合考纲：明晰知识体系

这章包括：定积分的定义，性质；微积分基本定理；反常积分；定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点；要理解微积分基本定理；要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。

2.挖掘考纲：深刻理解知识点

首先是定积分的定义及性质。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性；比较定理；积分中值定理。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线；单调性；极值；凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。

总之，通过对2016年考研大纲的分析，希望大家为2016考试做好准备，学习好定积分，为以后的高等数学的复习打好基础。祝大家马到成功！

凯程教育：

凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由

一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕

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第四篇：考研数学中的不等式证明

考研数学中的不等式证明

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．

关键词：考研数学不等式中值定理幂级数

（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用． 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．

例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

(2)设bae，证明ab ba

xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，f(x)ax，f(a)0，然后证明

在xa时，f(x)0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．

证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna

lnblna lna

lnblnalna baa

1lna，其中eablnabaa

1

1lna，其中eab． a

原命题得证．

证：Ⅱ 利用微分中值定理，abeblnaalnb









blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a

1

lna，（1b）a

原命题得证．

证明Ⅲ 利用幂级数展开：

设bax，原不等式等价于

aaxa (ax)aaaax(a)x

xa(1

而 xa)，a

ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()()． aa2!an!a

a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通过比较以上两个级数可知原na

不等式成立．

对于不等式a(1

一下．

例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a

设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2)． 证：不妨设x1x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1)

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1x2)(x2)x10

f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减．原不等式得证．

例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

论证：当x0时,(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx

证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22

(x1)lnx1 x1

(x1)lnx(11)ln11，（柯西中值定理）x1

ln(1)

1，（介于1与x之间）

1ln0． 当1时，上式显然成立；当01时，我们可以证明，

命题得证．

例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）

(15)设eabe2，证明lnblna

22224(ba)． 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e

142ln2，(eabe2)e

1

ln2，2e

因为eabe2，所以，lnelne222． eee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）

证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa．

证：令f(x)xsinx2cosxx

bsinb2cosbbasina2cosaa

f(b)f(a) 0

f(b)f(a)0 ba

f()cossin0，0ab

令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0．

原命题得证．

例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题

(1)比较1

0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。01

解：因为lnt[ln(1t)]n

tnlnt[ln(1t)]n tn

[ln(1t)nln(1t)ln(10)n][]（拉格朗日中值定理）tt0

()1，0t1，1n



所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1

0lntt)]dtn10tnlnt。

例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）

1xx2

cosx1，(1x1)．证明：xln1x2

证：原不等式等价于：

x2

x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2

xx2

（仅当x0时取等号）x[ln(1x)ln(1x)]2sin222

[ln(1x)ln(1x)]1（当x0时）2xxx2sin222

11111，（柯西中值定理，其中0x1），sinx

21，0x1 2(sin)(1)x

因为(sin)(12)22x，所以不等式成立．

利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立．

综上所述，原不等式成立．

xx例8 证明：当x0时，xe1xe．

证：当x0时，ex1xxe1xe1e xxx

exe0

1ex，（利用柯西中值定理）x0

1eex，其中0x．

原不等式成立．

例9 证明：当0x

2时，sinxtanx2x．

证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x

sinxtanx(sin0tan0)2 x0

cossec22（柯西中值定理）1

cossec22，因为

cossec2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

2，

第五篇：2010考研英语大纲解析

2010考研英语大纲解析

北京导航、北京领航 英语名师—李勇全

2010大纲终于揭开了她“神秘”而又“晚到“的面纱。本次大纲变化很小，其中阅读部分没有任何变化，只在词汇和写作上有些说法改变。下面我本次大纲变化部分以及学生最为关心的写作部分解析如下：

大纲词汇要求

北京导航、北京领航 英语名师—李勇全

2010大纲终于揭开了她“神秘”而又“晚到“的面纱。„根据《全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲解析》(2010年版)援引自考研英语大纲的内容，与2009年考研英语大纲相比，2010年考研英语大纲中对于词汇的要求变的更加具体，除了要求考生应能掌握5500左右的词汇及相关词组外，还要求“除掌握词汇的基本含义外，考生还应掌握词汇之间的词义关系，如同义词、近义词、反义词等；掌握词汇之间的搭配关系，如动词与介词，形容词与介词，形容词与名词等；掌握词汇生成的基本知识，如词源、词根、词缀等。”

其中掌握“词根、词源、词缀”以前大纲只是在词汇部分附录出了常见135组常见词根词缀，未加强点特殊说明。本次大纲特别在词汇总序部分加以强调，其目的和重要性显而易见：

1、阅读中会出现很多大纲未列的同根同源词；

2、完型填空要求学生通过词源词根了解次的本源意思，区分近义词。

词根词缀的扩展能力很强，例如Act，这个词我们都认识，考研词汇根据词根词以扩展为：actactingactionactivateactivacationactivitoractiveactivelyactivismactiviistactivityactor

actressactualactualityactuallyactualnessenact

enactableenactionactualnessenactenactableenaction enactiveenactmentenreactenreationreactionaryreactionism reactivatereactivereactivityreactorinteractinteraction。。。。。。。。

解决办法

具体化的词汇要求实际上并不应该打乱我们复习词汇的计划。虽然有少部分同学没有接触过词根词缀等相关知识，平时也没有可以收集词汇辨析，积累固定搭配等，但是由于常见词根词缀以及相关辨析与搭配都比较固定，所以复习起来也并非难事。下面对词根词缀的知识做一个简单的梳理：

1.词根词缀各司其职。词根往往是决定单词含义最重要的部分，前缀通常改变单词的词义，而后缀起着改变单词词性的作用。其中，前后缀是最固定的一类，变化较缓慢，所以也应当成为大家复习的切入点。词根也是相对封闭的一类。所以，通过单词词根确定单词大致含义，再加上从单词的后缀推断出的单词词性，以及前缀对词义的修改，我们对单词的理解就可以加深，记忆速度也会加快，效率也会提高。

2.同义词、近义词与反义词为做题带来的启示。首先，完形部分的词义辨析和词汇之间的搭配关系在考题中占有较大的比例，所以我们平时对于同义词、近义词及反义词的积累以及搭配关系就显得尤为重要。其次，在阅读理解中，正确答案的依据往往出现在文章内部，所以同义词替换就成为正确选项的特征，选择的根据。最后，同义表达的积累为我们写作时提供丰富的选择范围，可以避免表达单一，实现丰富多变的目的。总而言之，对于词汇关系的具体化规定也是让我们增强学习效果，使词汇学习和真题分析结合起来的制度化规定，为我们的设定更明确的词汇记忆目标。

因此，今年大纲解析中体现的词汇具体化变化一方面为我们提供了学习方法的指导，另一方面明确学习的目的，加强词汇学习的重要性，以方便我们更加深入的全面的掌握词汇。

2010年 考研大纲写作要求

北京导航、北京领航 英语名师—李勇全

A．考生应能写不同类型的应用文，包括私人和公务信函、备忘录、摘要、报告等，以及一般描述性、叙述性、说明性或议论性的文章。写作时，考生应能：

1）做到语法、拼写、标点正确，用词恰当；

2）遵循文章的特定文体格式；

3）合理组织文章结构，使其内容统一、连贯；

4）根据写作目的和特定读者，恰当选用语域。

B．该部分由A、B两节组成，考查考生的书面表达能力。共30分。

A节：考生根据所给情景写出约100词（标点符号不计算在内）的应用性短文，包括私人和公务信函、备忘录、摘要、报告等。考生在答题2上作答。总分10分。

B节：考生根据提示信息写出一篇160-200词的短文（标点符号不计算在内）。提示信息的形式有主题句、写作提纲、规定情景、图、表等。考生在答题卡2上作答。总分20分。其中规定写作部分由A、B两节组成，考查考生的书面表达能力。共30分。

作文与四六级相比主要变化来自于增加一篇应用文，表面是为了适应经济发展的需要，实际上是因为写作题型容易拉开分数差异，把写作分数由15分提高到30分，更能考查同学们的语言输出和应用实际能力，更容易拉开分数档次，有利于选拔人才。

A节：

作文是一篇100字左右的应用性短文，文体包括有信件、便笺、备忘录等。满分10分。其实，2003和2004年的大纲都强调了要会写应用文，如书信、简历摘要和备忘录，但同学们在复习中一般不会将其作为重点来抓，老师讲课的时候也主要以议论和记叙描述类为主，且历年真题命题情况也是如此。但2010大纲对写作部分的新要求我们要正视应用文，所以同学们平时要注意应用文写作的特定的格式要求，有意识的掌握各类应用文的写作方法。按照大纲的要求，要注重写作内容信息点覆盖的全面性、篇章结构组织的条理性与逻辑性、语言使用的准确性、文体格式的正确性及语域把握的合理性。不要简单认为复习应用文就是复习相应的格式，格式只是应用文写作的最起码要求，要想在10分钟左右写好一篇应用短文，这既需要英语语言基本功，又需要根据题目所给outline迅速构思成篇的能力。另外，同学们还要了解应用文的常见模式，背诵经典的套话，注意词句的多样性的训练。就象图表作文中不能老用show一样，（应该用indicate, reveal等），对于新大纲应用文中的“参考书”一词，我们除了用reference books, 也可以用reading materials，还可以用reference materials。为了让同学们打好基础，我将在课堂上详细讲述：求职信和辞职信、订购或退货信、投诉信、感谢信、申请信、安排通知的写法。总的来说，应用文写作无疑比听力好得分,提前多下功夫做准备,得分一定会很理想。

B节：

B节占20分，要求的字数160-200个词汇。从历年短文写作命题来看，其历年题型有“命题作文、图表作文、图画作文”。命题作文（1991---1996），图表作文（1997，1999），图画作文（1998，2000---2009）。相比起来，图表图画作文要难一些，因为命题作文有统一标题，有一个规定好的outline，有的甚至还有段首句，考生只需按规定思路发展3至4句便可。而图表图画作文需要考生自己挖掘图中所表达的主要信息，通常要用对比分析、归纳、演绎等方法进行，要从数字、图像中总结出趋势来，抓往隐性的思

想内容，阐明自己的看法，主张，观点。至于2010年会怎样考？大家一般持两种看法。一种人认为2010年必定会考图表图画作文，因为按照历年考查的趋势，为了使写作能够尽量拉开分数档次，图画作文已经成为主流题型，连续考查了11次，分别是1998年的“如此承诺”，2000年的“世界商业捕鱼简史”，2001年的“爱心是一盏灯”，2002年的“民族文化与世界文化”，2003年的“温室中的花朵经不起风雨”，2004年的“终点又是新的起点”。。。到2009年“你一条腿，我一条腿，相互搀扶走天涯”；而图表作文也有1997年的“吸烟有害健康”，99年的“人口和动物灭绝”。并且，由于每年的大纲样题对考试都起到一种指导暗示作用，今年刚颁布的大纲样题又是图画作文，基本在预料之中，因此我们在复习中，依然要把图画作文作为重点。所以，2010年肯定考图画作文，并且还要继续2001年和2009年的考法，让考生举出自己的个人例子来说明自己的观点。

2010年的大纲英语知识应用

英语知识运用不仅考查考生对不同语境中规范的语言要素(包括词汇、表达方式和结构)的掌握程度，而且还考查考生对语段特征(如连贯性和一致性等)的辨识能力等。共20小题，每小题0.5分，共10分。

在一篇240~280词的文章中留出20个空白，要求考生从每题给出的4个选项中选出最佳答案，使补全后的文章意思通顺、前后连贯、结构完整。其文体多为说明文、议论文。在20

道小题中，通常12~15题考查词汇，包括词义辨析(形近异义词、形异义近词、形异义异词等)、习语(即一些固定的词组)等；5~8题考查语法结构和篇章结构(包括逻辑关系、前后照应、语篇衔接等)。

英语知识运用体现在考研试卷中即为完型填空题。主要考查三点：词汇、语法、篇章。以下是英语辅导老师帮助考生对完型题的考查点所作的具体分析：

首先是词汇的复习。

词汇是用语言表达思想时所需要的最基本的要素。英语中有些词汇的运用非常灵活，一个词可以用作不同的词性，搭配和词义也有所变化。比如一个简单的词abstract,它就可以用作三种词性，分别为动词、形容词、名词，搭配和用法都有所不同。有些动词可以组成若干个动词词组，比如动词make,get,bring,take等。考生在熟记词义的同时，必须要灵活掌握词汇在不同语境中的运用。“英语知识运用”不但要求考生掌握所规定词汇的意义，而且要求考生能在实践中运用恰当的词汇。从历年考试试卷来看，词汇是“英语知识运用”测试的重点，占总体谅的2/3左右。特别是实词：名词、动词、形容词、副词的理解和学习。

其次是语法的复习。

全面、扎实的语法知识在阅读理解英文篇章的中起着至关重要的作用。可以帮助考生更好地把握上下文的内容和逻辑关系。语法结构知识的内容比较多，考查的范围也比较广泛，对考生而言，对语法知识应该全面掌握。尤其重要的是，虚拟语气、非谓语动词、主从复合句及连接用语、形容词/副词比较结构和特殊结构等。

英语知识应用（完形填空）虽然在套题第一道题列出，但建议考生正式考试时最后再做，以免因为做题时间把握不好，或正确率低而导致情绪低落影响考试成绩。但完型绝对不能像四六级一样才去放弃态度，只要掌握完型出题方式，完型是可以的高分的一道题，可能比阅读A进步更大。暑期我教过的学生在一天时间内完型多数学生能从放弃到认真对待，再到掌握方法（“四步法”）正确12—16个。