第一篇：数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：
1111n． 2n12n12n1133557请读者分析下面的证法： 证明：①n=1时，左边1111，右边，左边=右边，等式成立． 133213②假设n=k时，等式成立，即：
1111k．
2k12k12k1133557那么当n=k+1时，有：
11111
2k12k12k12k313355711111111111 2335572k12k12k12k31112k2 122k322k3k1k1
2k32k11这就是说，当n=k+1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．
11111
2k12k12k12k3133557k1
2k12k12k32k1k1 2k23k12k12k32k12k3
k1k1 2k32k11这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
a16，a12a224a2a3a60231解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式112131n2n(n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即112131k2k．
那么当n=k+1时，112131k1k1
2k1k12kk11k12k1k1
kk11k12k1
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
1121311k1k12k1，当代入归纳假设后，就是要证明：
2kk12k1．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．
例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
分析：设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．
当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)=4=22． 当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f(3)=9=32． 由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f(4)=16=42． 由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2． 用数学归纳法证明如下： ①当n=2时，上面已证．
②设n=k时，f(k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．
∴ f(k+1)=k2+k+(k+1)
=k2+2k+1=(k+1)2 ∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧． 由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．
说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f(2)=4，f(3)=f(2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中发现规律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．
第二篇：数学证明法例题
例1 已知，p，q∈R’且p+q＝2，求证：p+q≤
2证明用反证法
设
p+q＞
2，则q＞2-p，∴q＞8-12p+6p-p
p+q＞8-12p+6p＝2+6(p-1)≥2
与题p+q＝2，矛盾。
所以p+q＞2不成立，只能是p+q≤2。
说明当用直接证法证明比较困难时可以用反证法。反证法的步骤首先是否定结论，要找准结论的反面，然后根据题设或定理公理推出矛盾，即结论的反面不成立。
例2 已知x+y＝1，x，y∈R 223333223233
3证明∵x+y＝1 22
由三角函数的有界性可得
换元法中应用三角函数，将代数式化成了三角式再结合三角公式以及三角函数中正、余弦函数的有界性，可以使证明简练。例2的证法四
例3 已知a，b，m∈R，且a＜b，+
分析本题可以用比较法，综合法，分析法来证明，而且都比较容易，这里再介绍几种构造法证题。
证法一利用函数的性质来说明
证法二设点A(b，a)，点B(-m，-m)，其中m＞0∵0＜a＜b，则(如图5-2)直线OA
∵B在第三象限角的平分线上，所以AB必与x轴的正半轴相交，
第三篇：《人民警察法》例题
《人民警察法》例题
一、填充：
1、人民警察依法执行职务，受________保护。
2、人民警察依法实行________制度。
3、录用人民警察，必须按照国家规定公开________、严格_______择优选用。
4、人民警察必须执行上级的决定和命令。人民警察认为决定和命令有错误时，可以按照规定提出意见，但___________或者__________决定和命令的执行。
5、人民警察执行职务，依法接受人民检察院和_______________的监督。
6、人民警察包括公安机关_____________、_____________劳动教养管理机关的人民警察和人民法院、人民检察院的司法警察。
7、公安机关人民警察对严重危害社会治安秩序或者威胁公共安全的人员，可以强行____________、依法予以拘留或者采取法律规定的其他措施。
8、对被盘问人的留臵时间自带至公安机关之时起不超过____________小时。
9、为制止________________活动的需要，公安机关的人民警察依照国家有关规定可以使用警械。
10、违反纪律的人民警察，必要时可以对其采取停止执行职务、___________的措施。
11、为制止严重违法犯罪活动的需要，公安机关的人民警察依照国家有关规定可以使用_______________。
12、公安机关的人民警察因履行职责的紧急需要，经出示相应证件，可以_______乘坐公共交通工具，遇交通阻碍时，___________通行。
13、人民警察在非工作时间，遇有其职责范围内的紧急情况，应当________。
14、人民警察个人或者集体在工作中表现突出，有显著成绩和特殊贡献的，给予奖励。奖励分为：嘉奖、________、_______、一等功、授予________。
15、人民警察必须以___________和____________为活动准则，忠于职守，清正廉洁，纪律严明，服从命令，严格执法。
16、人民警察遇到公民人身、财产安全受到侵犯或者处于其他危难情形，应当_____________。
17、人民警察对超越法律、法规规定的人民警察职责范围的指令，有权___________，并同时向______________报告。
18、人民警察的警用标志、___________、___________证件为人民警察专用，其他个人和组织不得持有和使用。
19、人民警察执行职务，依法接受人民检察院和_______________的监督。
20、人民警察在非工作时间，遇有其职责范围内的紧急情况，应当_________。
21、对受奖励的人民警察，按照国家有关规定，可以_________，并给予一定的物质奖励。
22、人民警察的警用标志、制式服装、__________、___________为人民警察专用，其他个人和组织不得持有和使用。
23、人民警察执行职务，必须自觉地接受社会和公民的监督。人民警察机关作出的与公众利益直接有关的规定，应当向__________公布。
二、单项选择：
1、人民警察对超越法律、法规规定的人民警察职责范围的指令，在向上级机关报告的同时()。
a、不得拒绝执行b、不得中止执行c、可以改变执行d、有权拒绝执行
2、对违反纪律的人民警察停止执行职务的期限为15天至()。
a、1个月b、2个月c、3个月d、4个月
3、人民警察必须按照规定着装，佩戴人民警察标志或者持有人民警察证件，保持
()，举止端庄。
a、服装整齐b、语言文明c、警容严整d、文明礼貌
4、人民警察法的立法依据是()。
a、法律b、法规c、宪法d、刑法和刑事诉讼法
5、对违反纪律的人民警察，采取禁闭的天数为1至()
a、3天b、5天c、7天d、15天
6、对有违法犯罪嫌疑的人，需要继续盘问的，在特殊情况下，经县级以上公安机关批准，可以将留臵时间延长至()小时
a、12b、24c、48d、727、人民警察执行职务，依法接受人民检察院和()的监督。
a、人民法院b、上级公安机关c、行政监察机关d、当事人
8、县级以上人民政府公安机关，为预防和制止严重危害社会治安秩序的行为，可以在一定的区域和时间，限制人员、车辆的通行或者停留，必要时可以实行()
a、现场封锁b、现场管制c、交通封锁d、交通管制
9、县级以上人民政府公安机关，经上级公安机关和同级人民政府批准，对严重危害社会治安秩序的突发事件，可以根据情况实行()。
a、交通封闭b、交通管制c、现场管制d、现场封闭
10、录用人民警察，必须按照国家规定，()，严格考核、择优选用。
三、多项选择：
1、人民警察在办案过程中，如果()，应当回避。
a、是本案的当事人b、是当事人的近亲属c、本人与本案有利害关系d、其近亲属与本案有利害关系
2、公民或者组织对人民警察的违法、违纪行为，有权向()检举、控告。a、公安机关b、人民检察院c、人民法院d、行政监察机关
3、人民警察的任务有()等。
a、维护国家安全b、维护社会治安秩序c、保护公民人身安全、人身自由和合法财产d、保护公共财产
4、公安机关的人民警察有()等权限。
a、实施行政强制措施b、实施行政处罚c、按照规定使用武器d、执行刑事强制措施和搜查
5、人民警察义务和纪律的基本要求是()
a、秉公执法、办事公道b、模范遵守社会公德c、尊重人民群众的风俗习
惯d、礼貌待人、文明执勤
6、对人民警察的外部执法监督包括()监督。
a、检察b、行政c、公民和社会组织d、新闻媒介
7、公安机关的人民警察对违反治安管理或者其他公安行政管理法律、法规的个人或者组织，依法可以实施()
a、行政强制措施b、行政处分c、行政处罚d、刑事处罚
8、人民警察不得()。
a、参加罢工b、接受当事人请客c、从事营利性的经营活动d、受雇于某组织
9、人民警察义务和纪律的基本要求是()
a、秉公执法、办事公道b、模范遵守社会公德c、尊重人民群众的风俗习惯d、礼貌待人、文明值勤
4、对违反纪律的人民警察的行政处分包括()。
a、警告b、记过c、记大过d、禁闭
10、公安机关因侦查犯罪的紧急需要，可以优先使用有关组织和个人的()。a、交通工具b、通信工具c、现金d、建筑物
四、判断改错：
1、人民警察必须以人民警察法为活动准则，忠于职守，清正廉洁，纪律严明，服从命令，严格执法。
2、对被盘问人的留臵时间，在特殊情况下，经县级以上公安机关批准，可以延长四十八小时。
3、人民警察遇到公民人身财产安全受到侵犯或者处于其他危难情形的，可以参加救助。
4、县级以上人民政府公安机关，为预防和制止严重危害社会治安秩序的行为，可以在一定的区域和时间，限制人员车辆的通行或者停留，必要时可以实行现场管制。
5、对违反纪律的人民警察，必要时可以对其采取停止执行职务，责令具结悔过的措施。
6、公安机关在报纸上刊登通缉令，并附有被通缉人的照片，公安机关因此侵犯了被通缉人的肖像权。
7、人民警察所有执行职务的行为都受法律保护。
8、基层公安机关认为上级的决定和命令有错误时，可以按照规定提出意见，也可以中止决定和命令的执行。
9、对人民警察采取禁闭措施的期限为1至3天。
10、人民警察遇到公民人身财产安全受到侵犯或者处于其他危难情形的，可以参加救助。
11、人民警察执行职务，必须自觉地接受社会和公民的监督。人民警察机关作出的与公众利益直接有关的规定，不必向公众公布。
12、录用人民警察，必须按照国家规定，开卷考试，严格考核，择优选用。
13、人民警察对超越法律、法规规定的人民警察职责范围的指令，不得拒绝执行，向上级机关报告。
14、县级以上人民政府公安机关，经上级公安机关和同级人民政府批准，对严重危害社会治安秩序的突发事件，可以根据情况实行交通管制。
15、人民警察执行职务，受法律保护。
16、人民警察认为上级的决定和命令有错误时，可以按照规定提出意见，也可以中止决定和命令的执行。
17、对人民警察采取禁闭措施的期限为1至3天。
18、人民警察在非工作时间，遇到其职责范围内的紧急情况，可以不履行职责。
五、简答：
1、简述继续盘问的条件。
2、何为交通管制
六、案例简释：(回答问题，并说明理由)
1、公安民警柏某下班后着便装乘公共汽车回家。在车上恰遇两名歹徒持刀对乘客恐吓抢劫，柏某见状与歹徒展开搏斗。后在乘客协助下将歹徒制服，柏某左臂受伤住院，柏
某的行为得到当地群众的赞扬。
问：柏某的行为是见义勇为，还是履行职责？为什么？
2、侦察员张某、李某驾车追缉一逃犯过程中，因车辆发生故障，不能继续行驶。这时，一辆出租车路过，民警将其拦下，要求使用该车追逃犯，司机以其要做生意为由拒绝，民警张某当机立断将车开走，在追缉返回途中致车辆外壳被碰坏。
问：民警这种做法是否合法？对使用的车辆及造成的损坏公安机关应如何处理？
3、某青年明知是赃物而替人窝藏，被公安民警盘问，后又被带至公安机关继续盘问。经过1天的盘问，认为需要拘留，经县公安局领导批准，依法予以拘留。
问：公安民警的执法行为是否符合程序？为什么？
4、某日晚，派出所民警王某、张某执勤时发现一男青年神色慌张，形迹可疑，上前盘问检查，发现该青年提包内装有2万元现金和几件首饰。问其姓名、地址、钱物来源、欲往何处，均不作回答。在此情况下，民警将该青年带至派出所。
问：根据人民警察法，下一步该怎么办？如案情复杂，1天内仍盘查不清又该怎么办？
5、某车站派出所民警在候车室发现旅客张某手提密码箱，形迹可疑，遂将其带至派出所进行盘问，并对其密码箱进行检查，发现里面装1支雷管和1把自制手枪。由于张某拒不讲明自己的真实身份、住址，盘问近24小时仍无进展，经派出所长批准继续盘问。问：派出所长的行为是否适当？为什么？
6、某夜，一辆长途客车正在行驶，旅客们大都睡意朦胧。突然，一名歹徒持枪对准乘客，声称谁不交出钱和首饰就打死谁。看到这种情况，车上的公安民警孙某暗暗掏出手枪，选择有利时机将其击毙。
问：民警孙某的行为有无不当？为什么？
7、民警王某休假期间着便装乘公共汽车回故乡，在车上恰遇两名歹徒对乘客恐吓抢劫，王某见状与歹徒搏斗。后在乘客协助下将歹徒制服，王某负伤，受到群众赞扬。王某是履行人民警察职责，还是见义勇为？
8、民警张某在夜巡中，发现一男青年推着一辆摩托车行为鬼祟。遂上前出示警官证，对其当场盘问检查，因前言不搭后语，回答自相矛盾，张某遂将其带至派出所决定继续盘问。经盘问，该称摩托车是其邻居朱某委托其开回家，因发动不着而推行。民警张某认为其态度不老实，经派出所长批准，决定对其延长留臵盘问至48小时。期间经调查核实，该青年无违法犯罪嫌疑。48小时后该离开派出所留臵室。本案，公安机关执法中有哪些问题？
9、陶某参加其同事婚礼，酒席间喝得烂醉如泥，又拒绝同事送其回家，在回家的大马路上，陶某对过往行人寻衅滋事，民警接报后，迅速赶赴现场。
问：该民警下一步应如何处臵？还应注意哪些事项？
10、民警小孔在办理一起治安案件时，私自接受了一方当事人（系小孔的同学）王某的两条香烟，另一方当事人李某知悉此情后，要求小孔逥避。小孔说：我与王某是同学关系，收他两条香烟又没有违反什么规定，再说我与王某又不是亲戚关系，不符合迴避的条件。
问：你对此事有何认识？为什么？
11、某县政府决定召开一次万人大会，根据县领导的指示，为了维护好会场的交通秩序，保证安全，县公安交巡大队决定在某日7时30至10时30分，县体育场南侧主要街道实行交通管制。
问：交巡大队决定实行交通管制对不对？为什么？
第四篇：放缩法典型例题
放缩法典型例题
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
一．先求和后放缩
例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：
（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；
(2)求证：
解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到
∴，又由条件得
所以，所以
（2）因为，所以，所以；
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；
（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．
解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
． ．
（2）∵，，∴公比． ∴．
．
∴
3．放缩后为差比数列，再求和 ．
例4．已知数列满足：，．求证：
证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列
．j
（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列
321的逆序数
（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以
=
综上，..注：常用放缩的结论：（1）
（2）．
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论
相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项
第五篇：数学归纳法基础例题
典型例题
用数学归纳法证明等式
例１用数学归纳法证明
分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当 时，等式两边的式子与 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．
证明：（1）当
（2）假设当 时，左边 时，等式成立，即，右边，赞美式成立．
则当 时，即当时，等式成立．，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切
说明：解题过程中容易将 时，等式右边错写为，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随 的变化而变化．
猜想数列通项、利用归纳法证明不等式
例2 设数列
（1）当
（2）当 满足 时，求，并由此猜想出的一个通项公式；时，证明对所有的，有（ⅰ）
（ⅱ）
分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．
解：（1）由
由
由 得，得的一个通项公式： 得由此猜想
（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：
①当
②假设当，不等式成立．时不等式成立，即
也就是说，当
根据①和②，对于所有
（ⅱ）由，有 及（ⅰ），对
……，有，那么，时，于是
说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题． 例3.用数学归纳法证明:
an1.求证:Sn介于2(11)与2n之间.n
证明：当n=1时
有Sn=S1=a1=1/1=1,2（√（n+1）-1）=2√2-2<1,2√n=2√1=2>1
即2（√（n+1）-1） 当n=2时 有Sn=S2=a1+a2=3/2,2（√（n+1）-1）=2√3-2<3/2,2√n=2√2>3/2 即2（√（n+1）-1） 假设当n=k时2（√（k+1）-1） 则当n=k+1时有 Sk+1= Sk+a1+k= Sk+1/（k+1） 2（√（n+1）-1）=2（√（k+2）-1）< Sk+1/（k+1） 而2√n=2√（k+1）> Sk+1/（k+1）即2（√（k+2）-1）
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