第一篇：简述如何用同一法做几何证明题
简述如何用同一法做几何证明题
陈平
在整个中学数学学习过程中，几何证明题是无法逾越的一个重点和难点，而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法，所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要。中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种，有些题目，如果直接去证明，不但关系复杂，而且思路繁琐，在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题，但当你换一种思路，用间接的方法去考虑，往往能够达到意想不到的效果。间接的证明方法一般又分为两种，一种是反证法，另一种称为同一法（又称统一法），两种方法各不相同，反证法在教科书中有较为完整的学习体系，但同一法却没有给出明确概念和用法，但教科书中的例题却时不时地用到同一法，现就同一法的用法做简单概括说明。
要想用好同一法，就必须先对同一法有较为明确的概念区分，虽然学界对同一法一直存在争议，但王学贤老师就曾用集合的观点很好的解释过同一法的实质，大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的，一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a，那么（则）它们就具有某种性质b，在这里，条件是“某些对象具有性质a”，结论是“它们具有性质b”，如果我们把具有性质a的对象的集合记作A，把具有性质b的对象的集合记作B，把“某些对象中任一对象记作x，则x∈A。若原命题是真命题，则x∈B。因此，命题用集合描述为就是：A是B的子集，即A B。同样，其逆命题就是BA。显然A不一定等于B，即原命题成立，逆命题不一定成立，但当集合A仅含有一个元素m,集合B也仅含有一个元素n时，A＝B，此时，原命题成立，其逆命题也必然成立。因此，我们得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，则原命题、逆命题等价，这个基本原理叫做同一原理，例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理。当一个命题符合同一原理，且直接证明比较困难时，可转而证明它的逆命题，这种证明方法就是同一法，具体的做法是：当我们欲让某个图形A具有某种性质B时，先构造一个具有性质B的图形A′，然后证明图形A′就是图形A，实质上是证明逆命题来间接证明原命题的正确。下面通过几个例题更加清楚地来认识同一法。
例一：已知如图，E是正方形ABCD内部的一点，∠ECD＝∠EDC＝15°.求证：△EAB是等边三角形。
ADEC
E′B
分析：因为在正方形ABCD内部使得∠ECD＝∠EDC＝15°的点唯一存在。同样，在正方形ABCD内部以AB为边的等边三角形也唯一存在，因此，此题符合同一原理，可以用同一法来证明。
证明：以AB为边，在正方形ABCD内作等边三角形E′AB，连接E′C、E′D ∵E′A＝E′B＝AB＝DA＝CB，′
∴∠CB E′＝90°－60°＝30°, ∠BC E′=(180°-30°)÷2=75°
∴∠E′CD=90°－75°=15°, 由此可见，E′和E实际上是同一点，故△EAB是等边三角形。
例二：如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
分析：如图，在△ABC中，若AB边上D点确定，则在AC边上满足
AEAD＝的E点ECDB唯一确定，从而DE也唯一确定，另一方面，过D点平行于BC边的平行线唯一存在，因此此题符合同一原理，可先作D E′∥BC，然后证明D E′和DE重合即可。
证明：过D作D E′∥BC，交AC于E′
在△ABC中 ∵D E′∥BC ∴
AE′DBADAE'＝
DBE'CECADAE又＝ DBEC∴
AEAE'AE'AE＝，则＝
AE'E'CAEECE'CEC 即AE'AE＝，∴AE′＝AE ACAC故E′和E重合，DE′和DE重合。∵D E′∥BC ∴D E∥BC 例三：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝AB，F是CD的中点。求证：∠DAB的平分线过点F。
分析：此题只要连接AF，证明AF平分∠DAB，或作∠DAB的平分线于DC相交于点F，证明F是DC的中点即可。
证明：连接AF并延长与BC的延长线相交于点E ∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴∠D＝∠ECF 又∠AFD＝∠EFC，DF＝CF ∴△ADF≌△ECF ∴∠E＝∠DAF，AD＝CE，即BE＝BC+CE＝BC+AD 又∵AD+BC＝AB ∴AB＝BE ∴∠E＝∠BAE ∴∠DAF＝∠BAE，即AE平分∠BAD，又AE过F点，∴∠DAB的平分线过点F。
例四：在三角形ABC中，M为线段AB的中点，D为AB上的另一点，连接CD，N为CD的中点，P为BC的中点，连接MN，Q为MN的中点，试证明直线PQ平分线段AD。
分析：因为过P、Q两点的直线与AD的交点和AD的中点都唯一存在，所以题目符合同一原理，若直接证明，因关系复杂难以证明，因此我们采用同一法证明，欲证直线PQ平分AD，我们可先取AD的中点为E，然后证明P、Q、E三点共线即可。
证明：取AD的中点为E，连接NE、PM、NP ∵AE＝ED，DN＝NC ∴EN∥AC且 EN＝
CADFBCE1AC 21AC 2ANQEMP同理可证，PM∥AC且 PM＝∴EN∥PM且EN＝PM
DB∴四边形PNEM为平行四边形
连结PE，因为Q是MN的中点，所以对角线PE必过Q点，即P、Q、E三点共线 ∴直接PQ必平分AC
通过上面几条例题中我们可以看出，要想能够正确快捷的利用同一法解决几何题，首先要能够快速的判断出题目是否符合同一原理，只有在符合同一原理的情况下才能够运用此法。实际上，同一法的根据是原命题和逆命题等价，通过证明逆命题正确来判定原命题正确，这一点要与反证法注意区分开。我们知道，任何命题的原命题与逆否命题都是等价的，而反证法是通过证明逆否命题的正确来判断原命题的正确，所以从理论上讲，任何命题都可以用反证法来证，能用同一法证明的题目都可用反证法证，而同一法只适用于一些特殊命题的证明。
第二篇：几何证明题
几何证明题
1.在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?
答题要求:请写出详细的证明过程，越详细越好.ED平行且等于1/2BC
取MN为BO,OC中点
则MN平行且等于1/2BC
得到ED平行且等于MN，则EDNM是平行四边形
则OD=OM,又M为BO中点，显然BO=2OD
一定过
假设BC中线不经过O点，而与BD交与O'
同理可证AO'=2O'G
再可由平行四边形定理得到O与O'重合所以必过O点
2.在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M为BC边上一点。且角DMC=45度
求证：AD=AM
(1)几何证明题,首先画图
哎没图不好说啊
就空说吧你在纸上画图
先看已知条件,从已知条件得出直观的结论.因为M是BC边上一点,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,则三角形DMC是个等腰直角三角形,MC=CD.又AB=BC,M是BC边上一点,MC长度小于BC,所以知道这个直角梯形是以CD为上底,AB为下底,图形先画对
接下来求证
要证AD=AM,从已知条件中得知,MC=CD,则作一条辅助线就可得证
连接AC
∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是个等腰直角三角形
∴角BCA=45度
∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA
所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC——边角边)
所以AD=AM得证
(2)
延长CD至F点~CF=AB连接AF~~因AB=BC~SO~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要证AFD~和ABM~是一样的3角形就OK了~~哎~快10年没碰几何了~那些专业点的词我都忘了~这题应该是这样吧~不知道有没错
回答者：fenixkingyu-试用期一级2007-8-719:23
上楼的有两处错误:
1.描述错误,ABCF不是四边形,ABFC才是.2.按照条件并不能证明ABFC是正方形.注意:要证明四边形是正方形,必须证明2个问题:
1.该四边形是矩形;2.该四边形是菱形。
(3)
把图画出来就好解了。我是按自己画的图解的，楼主画梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加辅助线就行了，度那个圆圈打不出来，我就没写了。
证明：连接MD，AM，连接AC并交MD于E
因为角DMC=45，角C=90
所以三角形MCD为等边直角三角形，既角CDM=45
又角B=90AB=BC
所以角CAB=45
由梯形上下两边平行，则内对角相加为180度
因角CAB角DMB=45+45=90
所以角EDA角DAE=90
既AC垂直于MD
在等腰直角三角形CDM中则有ME=ED，且AC垂直于MD
所以AE是三角形AMD的中垂线
既AD=AM(等腰三角形的法则)。
第三篇：几何证明题
几何证明题集（七年级下册）
姓名：_________班级：_______
一、互补”。
E
D
二、证明下列各题：
1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D
3ACB2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.AD BCE3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC
A1 O
4B
D F4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.E DF
N
M
AC B5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C
EF
AB D6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，1求证：CE//DF.CE
FD
2B7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC
A E8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.B
F
ED
AC9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.A
EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F
A
G
BCDE12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.F
E 4G1AD 5 2B13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A
CBED14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA
ED
C16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA
E
DC18、如上图，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求证：AB//CD.
第四篇：从一道几何证明题谈面积法
龙源期刊网 http://.cn
从一道几何证明题谈面积法
作者：李小龙
来源：《理科考试研究·初中》2014年第01期
如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求证：CF=PD+PE
对于该题，一般同学会想到截长法与补短法
如图2，过点P作P⊥CF于，则四边形PFD是矩形，则PD=F易证△PC≌△CPE，则C=PE于是CF=F+C=PD+PE这种方法叫做截长法
如图3，过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N，则四边形NCFD是矩形，则CF=DN易证△CPN≌△CPE，则PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE这种方法叫做补短法
无论是截长法还是补短法，都需要证明三角形全等，比较麻烦如果能够注意到已知条件中的垂直条件，联想到三角形的面积公式，于是便有如下简捷证法：
如图4，连结AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP
由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得
这样我们仅根据图形面积间的关系，利用三角形的面积公式便轻而易举地完成证明这种证明几何命题的方法叫做“面积法”巧用“面积法”证明几何命题，往往能收到出奇制胜、简捷明快之效
说明平行线具有“传递面积”的功能也就是说，如果两条直线互相平行，那么在其中一条直线上取两定点，以这两个定点和另一条直线上的任意一点构成的三角形的面积都相等
第五篇：几何证明题练习
几何证明题练习
1.如图1，Rt△ABC中AB = AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。试判断△DEF的形状，并加以证明。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。
①画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。
附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由。
E
A
AM
AMD
D
F
E
F
A
F
K
C
AD
D
F
A
EEC
图 16
C
N
B
图 1
5B
MF
MF
图 17
D
C
图 17
图 16图 15
2．（1）如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线 CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题 A 的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求 至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得 7分；选取③完成证明得5分。
① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE； A ② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。（2）：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后
（如图13－
3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
D
F
E
图
13-2 D
图13－
33．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，①当点N在线段AD上时（如图2），△P求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.N
A A A D D D B
图1 A B
D F C
B
F C
B
M
图
2F C B
N
F
C
M 图3 D F C
（第3题）A
图5（备用）图4（备用）
4.如图4，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3……
Pn都在函数y
(x > 0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3……An－1An都在x轴上。x
⑴求A1、A2点的坐标；
⑵猜想An点的坐标(直接写出结果即可)
图 1
55.如图5-1，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写
3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC = 90°(如图17)
附加题：如图5-3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系。
E
E
AM图 17
C
D
图 18
EC
D
A
D
M图 16
6.O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．
（1）如图，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．
A
B
7.如图，已知三角形ABD为⊙O内接正三角形，C为弧BD上任意一点，已知AC=a，求S四边形ABCD。
D到直线l的距B、C、8.如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、离分别为a、b、c、d．
（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．
9.10.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
B
A
D C
A
图②
C
图①
11.如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.ABC60，12.（北京市石景山中考模拟试题）（1）如图1，四边形ABCD中，ABCB，ADC120，请你 猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，若点P为四边形ABCD内一点，且APD120，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．
第12题图１ 图2 13.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC
相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的 数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的 取值范围；
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所
有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由..B
QC
A
P
D
点击咨询 