第一篇：简单任意四边形的求积公式
简单任意四边形的求积公式
----扩展后的婆罗摩笈多公式和海伦公式
设四边形的的边长分别为a、b、c、d，两对角线长分别为e、f，其夹角θ，四边形的四顶点分别为A、B、C、D(如图所示)，求此任意四边形的面积表达式。
1、〖扩展的婆罗摩笈多公式〗
由三角形面积公式得：S四边形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinC S2＝(1/4)(adsinA)2 +(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC
＝(1/4)(ad+bc)+(1/4)(adcosA)+(1/4)(bccosC)+(1/2)abcdsinAsinC ＝(1/4)(ad+bc)2-(1/4)2abcd +(1/4)(a2d2cos2A)+(1/4)(b2c2cos2C)+(1/2)abcdsinAsinC
其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC 有：a2+d2-b2-c2=2adcosA-2bccosC(a2+d2-b2-c2)2=(2adcosA)2+(2bccosC)2-8abcdcosAcosC 得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2-8abcdcosAcosC 代入时有: S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd
-(1/2)abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinC S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd-(1/2)abcdcos(A+C)＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd｛1-cos(A+C)｝
＝(1/16)｛〔2(ad+bc)+(a2+d2-b2-c2)〕〔2(ad+bc)-(a2+d2-b2-c2)〕｝
-abcd cos2〔(A+C)/2〕
＝(1/16)｛〔(a+d)2-(b-c)2〕〔(b+c)2-(a-d)2〕｝-abcd cos2〔(A+C)/2〕
＝(1/16)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔(b+c)-(a-d)〕｝
-abcd cos2〔(A+C)/2〕
令2p＝a+b+c+d，代入后化简: S2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)– abcd cos2〔(A+C)/2〕 S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)– abcd cos2〔(A+C)/2〕｝ 此为著名的扩展后的婆罗摩笈多公式。
2、〖婆罗摩笈多公式的基本形式〗
=1= 222
222婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若四边形ABCD为园内接四边形时，则有cos〔(A+C)/2〕=0，则上面推导的面积公式为：
S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos〔(A+C)/2〕｝
＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝ 就是著名的婆罗摩笈多公式。
3、〖更特殊的情况〗
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：证明：由于四边形内接于圆O，所以：
其中p为半周长：
又因为四边形外切圆C，所以： 则： 同理: 综上：，证毕。
4、〖三角形面积的海伦公式〗
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取 S ＝√｛p(p-a)(p-b)(p-c)｝
5、〖若四边形的对角线夹角为θ时〗
若四边形的对角线夹角为θ时，四边形的面积 S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│ 证明：因：a2＝e12+f12-2 e1f1 cos(180-θ〕
b2＝f12+ e22-2 f1 e2cosθ
c2＝e22+f22-2 e2f2 cos(180-θ〕 d2＝f22+ e12-2 f2 e1cosθ
得：a2-b2+ b2-d2＝-2(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)cosθ 又因：(1/2)(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)sinθ＝S四边形 所以：S＝(1/4)│(a2-b2+c2-d2)tanθ│ 证毕。
6、〖若四边形的两对角线长为e、f时〗
。的特殊情形。
=2= 若四边形的两对角线为e、f时，S＝(1/4)√｛4ef-(a-b+c-d)｝ 证明：因：a2＝e12+f12-2 e1f1 cos(180-θ〕
b2＝f12+ e22-2 f1 e2cosθ
c＝e2+f2-2 e2f2 cos(180-θ〕 d2＝f22+ e12-2 f2 e1cosθ
得：a2-b2+ b2-d2＝-2(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)cosθ
(a2-b2+ b2-d2)2＝4(e1f1+ f1 e2+ e2f2+ f2 e1)2 cos2θ(a2-b2+ b2-d2)2＝4(ef)2cos2θ(其中：因e+ e＝e，f+ f＝f)
122222222
。222
。又因：S＝(1/2)ef sinθ，S2＝(1/4)(ef)2sin2θ＝(1/4)(ef)2(1+cos 2θ)得：S2＝(1/4)e2f2-(1/4)(ef)2 cos 2θ＝(1/4)e2f2-(1/4)2(a2-b2+ b2-d2)2 所以：S＝(1/4)√｛4ef-(a-b+c-d)｝ 证毕。
7、〖若四边形为平行四边形时〗
若四边形为平行四边形时，且平行四边形的边长分别为a、b(a≥b)，两对角线的夹角为θ(θ＜90)，则平行四边形的面积S＝(1/2)(a2-b2)tanθ，且tan(θ/2)≤(b/a)。
证明：因：四边形为平行四边形，则在上题中有c=a，d=b，所以：S＝(1/4)│(a2-b2+a2-b2)tanθ│＝(1/2)│(a2-b2│tanθ 同时：由题意设两对角线分别为2x、2y，有：a2＝e2＋f2＋2efcosθ，b2＝x2＋y2－2xycosθ，xy＝(a2－b2)/(4cosθ)，x2＋y2＝(a2＋b2)/2 得：x4－[(a2＋b2)/2]x2＋[(a2－b2)/(4cosθ)]2＝0
依题意，方程的根判别式应大于等于零，即B2－4AC≥0 故有：{－[(a2＋b2)/2]}2－4[(a2－b2)/(4cosθ)]2≥0，[(a2＋b2)2－[(a2－b2)2/cos2θ≥0（因a≥b，0＜α＜90。，有a2≥b2，cosθ＞0)进而得：(a2＋b2)≥(a2－b2)/cosθ，(1－cosθ)/(1＋cosθ)≤b2/a2，tan2(θ/2)≤b2/a2，tan(θ/2)≤b/a。证毕。
20141012於上海松江。
=3=
第二篇：不规则四边形公式
如果没有别的条件，可以用对角线把四边形分成两个三角形，知道两个三角形的各边长，可以用海伦公式算出两个三角形的面积。海伦公式：
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为三角形半周长：
p=(a+b+c)/2 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式
假设四边形为ABCD，对角线AC=m，BD=n，对角线夹角为α，由sin（180°-α）=sinα，我们知道sin∠AOB=sin∠BOC=sin∠COD=sin∠AOD=sinα，因为四边形ABCD的面积=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，而S△AOB=0.5*OA*OB*sin∠AOB；
S△BOC=0.5*OB*OC*sin∠BOC；
S△COD=0.5*OC*OD*sin∠COD；
S△AOD=0.5*OA*OD*sin∠AOD；
左右两边相加，得：
S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=0.5*OA*OB*sin∠AOB+0.5*OB*OC*sin ∠BOC+0.5*OC*OD*sin∠COD+0.5*OA*OD*sin∠AOD =0.5sinα（OA*OB+OB*OC+OC*OD+OA*OD）=0.5sinα[OB*（OA+OC）+OD*（OA+OC）] =0.5sinα（OA+OC）*（OB+OD）=0.5sinα*m*n =1/2*m*n*sinα
即四边形的面积为1/2*m*n*sinα
参考资料： 不知道
第三篇：海伦公式与四边形面积公式
海伦公式与四边形面积公式
2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：
所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：
证明：
设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：
联立两式解得：
第四篇：任意三角形
主要的一些公式：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝a/c，cosA＝sinB＝b/c，tanA＝a/b。
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC。
三角形的面积公式：
（1）△＝ 1/2*a*ha＝1/2*b*hb＝1/2*c*hc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）△＝1/2absinC＝1/2bcsinA＝1/2acsinB；
（3）△＝a^2sinBsinC/2sin(B+C)＝b^2sinCsinA/2sin(C+A)＝
c^2sinAsinB/2sin(A+B)；
（4）△＝2R^2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）
（5）△＝abc/4R；
（6）△＝根号[s(s-a)(s-b)(s-c)] ；s=(a+b+c)/2 ；
（7）△＝r•s
解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）
余弦定理a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC
它们的变形形式有：a=2RsinA，sinA/sinB=a/b，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc。
第五篇：教案《任意角》
《任意角》教案
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它00等于30与750；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
00师：如图3，以OA为始边的角α=-150，β=-660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包
括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
00000师生讨论：好，按照象限角定义，图中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60
0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
0师：（2）锐角就是小于90的角吗？
0生：小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
00师：（3）锐角就是0～90的角吗？
000000生：锐角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
0000（1）420；
（2）-75；
（3）855；
（4）-510.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现? 390
330
30
1470
1770 生:终边重合.0师:请同学们思考为什么？能否再举三个与30角同终边的角？
0000000000生：图中发现390，-330与30相差360的整数倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；000与30角同终边的角还有750，-690等。
0师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差360的整数倍。例0000000如：750=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了这些角之外，与30角终边相同的角还有：
3×360+30
-3×360+30
0000
4×360+30
-4×360+30
„„，„„，000由此，我们可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。6.例题讲评
例1 设E{小于90o的角｝，F{锐角｝，G＝{第一象限的角｝，那么有（D 0000）．
（
）
D．
A．例2用集合表示：
B．
C．
（1）各象限的角组成的集合．
（2）终边落在
o
o
o
轴右侧的角的集合．
解：(1)第一象限角：｛α|k360π＜α＜k360+90,k∈Z｝
oooo第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝
oooo第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝
ooo第四象限角：{α|k360+270o＜α＜k360+360 ,k∈Z｝
三.本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。判断一个角 么 是第几象限角，只要把
改写成
与角，适合关系：，那，在第几象限，则、就是第几象限角，若角
与 终边相同；若角 适合关系：
则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把，这种模式（），然后只要考查 的相关它们化为：
问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业:
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