初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全[五篇范例]

第一篇：初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全

初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

第二篇：1.初中证明直线垂直、平行的方法

证明两条直线垂直（直角）的常用方法

（一）相交线与平行线

1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。

2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。即：若a‖b，a⊥c，则b⊥c。

3.邻补角的平分线互相垂直。

4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

（二）三角形

5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。

（三）四边形

9.矩形的两邻边互相垂直。

10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

（四）圆

12.半圆或直径所对的圆周角是直角。13.圆的切线垂直于过切点的半径。

（五）图形变换法

14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。15.同一法或反证法（不要求掌握）

证明直线平行的常用方法

（一）平行线与相交线：

1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。

2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。3.平行于同一直线的两直线互相平行。4.平行线的判定方法：

（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。

（二）三角形

5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。

（三）四边形 7.平行四边形的两组对边互相平行。8.梯形的两底边平行。

9.梯形的中位线平行于两底。

（四）同一法或反证法（不要求掌握）

证明两线段相等的常用方法

（一）三角形

1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。2.证明三角形全等：全等三角形的对应边相等。

3.三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边。

4.线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。5.角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。6.过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边。

（二）特殊四边形

7.平行四边形的对边相等、对角线互相平分。8.矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等。9.等腰梯形两腰相等，两条对角线相等。

（三）圆

10.同圆或等圆的半径相等。

11.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。

12.圆的旋转不变性：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弧中有一组量相等，那么对应的其余各组量也相等。

13.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

（四）其他

14.等量代换：若a=b，b=c，则a=c。

15.等式性质：若a=b，则a-c=b-c；若，则a=b。

16..等量的一半相等。

17.计算长度：证明两线段相等。

18.面积相等法：面积相等的三角形（或平行四边形），若底（高）相等，则高（底）相等。

19.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。20.图形变换法

（1）轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。22.同一法或反证法（不要求掌握）

acbc证明两角相等的常用方法

（一）平行线与相交线

1.同角（或等角）的余角相等、补角相等。2.两直线平行，同位角相等、内错角相等。

3.证角平分线：到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。

（二）三角形

5.全等三角形的对应角相等。

6.相似三角形的对应角相等。7.同一个三角形中，等边对等角。

8.三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角平分线互相重合。

（三）特殊四边形

9.平行四边形的对角相等。

10.菱形的对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

（四）圆

11.同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等。

12.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

13.圆的内接四边形的每一个外角等于它的内对角。14.补充：圆的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

（五）15.计算角度，证明两角相等。

16.等量代换：若a=b，b=c，则a=c。17.等式性质。

18.等量的一半相等。

19.等量加等量，其和相等；等量减等量，其差相等。20.若，则a=b.21.若a+c=b+c，则a=b.22.图形变换法

（1）轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。23.同一法或反证法（不要求掌握）acbc证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。6.直角三角形中30度锐角所对的直角边等于斜边的一半。7.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。8.利用相似三角形对应边比例的性质。9.利用锐角的三角函数值。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。4.利用比利式或等积式化得。

5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

第三篇：证明两直线垂直的方法

证明两直线垂直的方法

1.矩形四个内角

2.三角形中的两角之和为90°，则另一角必为直角

3.证明两直线中的一条是等腰三角形的底边，另一边是顶角平分线或底边上的中线

4.勾股定理逆定理

5.圆直径所对的圆周角

6.垂径定理的判定

7.利用菱形的对角线互相垂直

8.利用正方形的对角线互相垂直

9.圆的切线垂直于过切点的半径

10.证这两直线中的一直线与第三直线平行，另一直线与第三直线垂直；或证明这两直线各与已知的两垂线平行

11.相交两圆的连心线垂直平分公共弦

12.轴对称那类的图形，对应点垂直于轴

13.到线段两边距离相等的点在这个线段的中垂线上

14.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

15.与直角三角形相似的三角形 对应角是直角

16.与直角三角形全等的三角形 对应角是直角

17.利用邻角相等：两直线相交所成的两个邻角相等，可确定两直线垂直

18.点到直线最短的线段

19.45圆周角所对的圆心角

20.等边三角形中，任一顶点与内心所在直线垂直于底边

21.利用已知的直角或其余角：证两直线的夹角等于已知的直角，或证明两直线的夹角是两锐角互余的三角形的第三角

22.矩形中位线垂直他所在的两边

23.利用反证法、同一法

24.平面直角坐标系x、y轴垂直

第四篇：两直线平行证明

两直线平行相关证明题目

1、如图，已知∠ABC=30，∠ADC=60，DE为ADC的平分线，请你判断哪两条直线平行，并说明理由。

2、如图，在△ABC中，∠B=90,D在AC边上，DF⊥BC于点F，DE⊥AB于点E，那么AB与DF平行吗？CB与DE平行吗？为什么？

3、如图，根据下列条件：∠A=∠AOD，∠ACB=∠F，∠BED+∠B=180，分别可以判定哪两条直线平行？并说明判定的依据。

4、如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？

5、如图，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90，猜测AB、CD的位置关系，并说明理由。

6、如图，AE∥BC，∠

B=

∠C，试说明∠

1=∠2。

7、如图，AD∥BC，∠A = ∠C，试说明AB∥CD8、如图，AB∥CD，∠B=∠D,试说明BF∥DE.9、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度数10、1.已知∠BED=∠B+∠D，试判断AB与CD的位置关系。

2.如图，AB∥CD,猜想∠E与∠B、∠D之间有何关系，试说明你的结论。

11、如图，AB∥CD, ∠1: ∠2:

∠，求证：

BA平分

EBF

第五篇：空间几何——平行与垂直证明

三、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行

2)利用三角形中位线性质

3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理： a∥ca∥bb∥c

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥

aβ a a∥

b

α b b

5)利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//aa//b



b

6)利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

baa∥

b7)利用平面内直线与直线垂直的性质：

8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1)利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

ab

a∥

b

a∥b

2)利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a

∥

a∥

a

β

3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1)利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a⊂b⊂a∩bPa//b//

//

b

2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3)利用定义：两个平面没有公共点

三、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a

b

ba

b

a

4)利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

l

abalbl

a

b

5)利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另

一条直线也垂直于第三条直线。

a∥b

ac

b

c

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么

这两条直线互相垂直。

a

b∥

ab

b

（二）直线与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3)利用直线与平面垂直的判定定理：

ababAlalb



l

l

b

A

a

4)利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

l

aal





a

l

5)利用常用结论：

①

a∥bb

a

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一

个平面。

∥

a



a

（三）平面与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

aa







a

