有关类比推理一个例子与证明

第一篇：有关类比推理一个例子与证明

类比推理的教学案例分析

大兴安岭实验中学 袁玉娟

引言：我记得曾经读过这样一条轶闻：在我国科学家代表团前去参加世界大会的飞机上，当时，主要有均已作古的华罗庚、钱三强、赵九章等我国老一辈科学家。一位前去参加大会的历史学家，即兴给数学家华罗庚出了一幅上联“三强，赵韩魏”。这幅上联，即嵌含着物理学家钱三强的名字，又涉及到中国古代战国时期的一段历史，符合出联者身份；华罗庚稍加思索，很快就对出“九章，勾股玄”。此下联对得很巧妙，既嵌入了空间物理学家赵九章的名字，用“勾股玄”这个数学概念，表明了对者的身份。一般说来，数学家是靠逻辑思维和推理的。但也不尽然，作为学者不仅要有严谨的科学态度，而且也需要深厚的文学功底。本文着重想谈数学中的推理和证明。

一、教材分析

“类比推理”是人教版选修2—2的第二章第二节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.在教学中教师从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的.教材中试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

二、问题提出

问题提出一：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中相应的结论．

大家都知道，学过《平面几何》后，就要继续学习《立体几何》了。人们常常根据平面几何中的定理，类比推广到立体几何中。有这样一个例子，从平面直角三角形勾股定理，“斜边的平方等于两条直角边的平方和”，直接推测出三个两两垂直的平面和一个斜三角形平面构成四面体（示如图）的面积关系定理，“四面体斜面的面积的平方等于三个直角面的面积平方和”。先给出如下证明：

设三个两两垂直的直三角形平面的边分别为：a ,b ,c;构成斜平面三角形的三条边分别为：A , B ,C。根据勾股定理有构成四面体斜面的三条边分别为：

A2=a2+c2(1)；B2=a2+b2(2)

； C2=b2+c2(3)

再依据南宋数学家秦九昭所著《数书九章》（卷五）记载“问有沙田一段，有叁斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知田几何。以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”

此即为我国古代计算三角形面积公式： S={1/4[A2C2-（(A2+C2-B2)/2）2]}1/2。此公式等同于世称海伦公式的三角形面积计算公式。在证明此题时，也可以应用海伦公式，但计算颇为复杂。若用《数书九章》中的“三斜求积”公式，则计算过程相对简单些。先将此公式经化简得：

S2=1/4{(A2C2-[(A2+C2-B2)/2)]2 }

=A2C2/4-[(A2+C2-B2)(A2+C2-B2)/16] =A2C2/4-[(A4+B4+C4+2A2C2-2A2B2-2B2C2)/16] =(2A2C2+2A2B2+2B2C2-A4-B4-C4)/16，再将式（1），（2），（3）代入上式，计算后得：

S2=(a2c2+a2b2+c2b2)/4 又根据已知条件，知构成四面体的三个直角形面积平方和，当三条直角边分别为a、b、c时

∵S12=a2c2/4，S22=b2c2/4，S32=a2b2/4 ∴S12+ S22+ S32=（a2c2 + a2b2）+ b2c2）/4 ∴S2= S12+ S22+ S32 证毕。

“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.教师根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，如：地球和细胞多相似啊，细胞分细胞壁、细胞质、细胞核，那么地球也差不多得分这么几层，果不其然：地壳、地幔地核；鸟的飞翔与飞机的飞行等等。带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，我也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值.问题提出二：圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点的连线的斜率之积为定值-1”是正确的。通过类比，对于椭圆们有结论“ ”成立。，我通过椭圆的类比，那么双曲线上任意一点与过中点的弦的两端连线的斜率之积是否也为定值？

当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.

第二篇：类比推理和证明（推荐）

类比推理

一、类比推理

1.什么是类比推理

类比推理是指根据A、B两类对象在一系列属性上的相似，又已知A对象还有其他属性，从而推出B类对象也具有其他相似属性的推理。2.类比推理的公式表示为：

对象A有属性a、b、c、d 对象B有属性a、b、c 所以，对象B也具有属性d 3.类比推理的特点是：

第一，从思维类型上看，类比推理具有跨域性和跳跃性。

第二，从思维进程或思维方向上看，类比推理是从特殊到特殊。

演绎推理是从一般到个别，归纳推理是 从个别到一般。

第三，类比推理的前提和结论的联系具有或然性。第三，类比推理的前提和结论的联系具有或然性。第四，类比推理不同于比较的思维方法。

类比是在比较的基础上进行的推理，而比较是认识两类事物异同点的一种简单逻辑方法。类比推理也不同于语言表达中的比喻。

二、类比推理的基本类型 1．肯定类比

肯定类比(或正类比)是类比推理的最一般形式。它根据两个对象存在某些相似的属性推出它们在另一属性上也是相似的。2．否定类比

否定类比(或负类比)是根据两个对象存在某些属性的相异而推出它们在另一属性上也是相异的。3．中性类比

中性类比是根据两个对象在某些方面的相似而在另外一些方面的差异，在平衡两者之间的相似点和差异点的基础上，依据关键的相似或相异要素，推出两个对象在其他方面的相似或相异的结论。

三、提高类比推理结论可靠性的要求 第一，尽可能寻找类比对象的相似属性。

第二，尽量采取类比对象的本质属性或最接近本质 属性的属性进行类比。

第三，尽可能查证分析两类比对象间的差异性，防止忽视重要差异而犯“机械类比”的错误。

四、类比推理的作用

1．类比推理可以为人们提供认识事物的途径 2．类比推理是科学知识创新的有效方法

3．类比推理是人们进行论证或说明的重要方式

运用类比推理可增强论证的说服力或反驳的效力。

康德说：每当理智缺乏可靠论证的思路时, 类比这个方法往往能指引我们前进。4．类比推理是模拟方法的理论基础

20世纪中叶出现的仿生科学就是运用了模拟类比的方法，专门研究生物系统的构造和功能，并创造出模拟它们的技术系统。

5、运用类比推理，可以培养司法类推能力。

证明与反驳

一、证明的概述 1.何谓证明

证明由三部分组成，即论题、论据和证明方式。

证明是由论题和论据两个部分通过论证方式而组成的。论题是真实性需要加以证明的判断。论据是用来证明论题真实性的那些判断。

二、证明的原则——充足理由原则 1.充足理由原则的要求 第一，作为理由的判断应当是真实的；

第二，理由和推断之间应当具有逻辑上的必然联系。2.违反充足理由原则要求的逻辑错误（1）“虚假理由”：理由本身是虚假的。（2）“推不出”：理由和推断之间没有必然的联系。

三、证明的种类

1.演绎证明和归纳证明

⑴演绎证明,用一般原理确定关于特殊事实命题之真实性的证明。⑵归纳证明,用关于特殊事实的命题确定一般原理之真实性的证明。2.直接证明和间接证明

⑴直接证明就是用论据正面推出论题的证明。

⑵间接证明就是通过证明相关命题的虚假，以迂回的方式确定论题之真实性的证明，又称反证法。常用的间接证明有两种，即归谬法和穷举法。

四、证明的规则 1.关于论题的规则

⑴论题必须明确。相应谬误：“论旨不明”

⑵在同一过程证明中，论题应当保持确定。相应谬误：“转移或偷换论题” 2.关于论据的规则

⑴论据必须是真实的。

⑵论据的真实性不能依赖论题来说明。相应谬误：“循环论证” 3.关于证明方式的规则

论据和论题之间应当有必然的逻辑联系。相应谬误：“推不出”;（1）违反推理规则（无效推论）（2）题论据不相干（无关推论）（3）以相对为绝对（以偏概全）（4）论据不充分

以人为据（人身攻击、诉诸权威、诉诸无知、诉诸感情等）.通常所说的“因人纳言”或“因人废言”就是犯了这种错误。所谓“嘴上无毛，办事不牢”，用“办事者年纪轻”为论据来证明“年轻人办不好事”，也属这类错误。

五、谬误

谬误是指人们在思维和语言表达中所产生的一切逻辑错误。谬误可以分为两大类：形式谬误与非形式谬误。由于形式谬误是指那种由于违反形式逻辑的规则而产生的逻辑形式不正确的各种谬误，这在前面已介绍过，下面我们仅着重介绍一些常见的非形式谬误。1.词语歧义。这是指在确定的语言环境下对同一语词在不同意义下使用(即表达了不同概念)而引起的逻辑错误。

2.语句歧义。这是指在确定的语言环境下，对同一语句作不同意义的解释(即用以表达了不同的判断或命题)而导致的逻辑谬误。3.诉诸无知。

4.诉诸武断。主观作出判断的一种谬误。5.诉诸怜悯。

6.诉诸感情，亦称投从所好。“以人为据”： 7.人身攻击。这是指在论辩中用攻击论敌的个人品质，甚至谩骂论敌的手段，来代替对具体论题的论证。8.诉诸权威。摘引权威人士的言论，以之作为论证论题正确的充分论证的一种谬误。9.因人纳言。

10.因人废言。这是指在论辩过程中，仅仅根据立论者的道德品质或自己个人对立论者的厌恶态度，而不考虑立论者的论断内容是否真实，也不根据逻辑反驳的规则和要求，就对立论者的论点加以否定而表现出来的一种谬误。

第三篇：收入证明(例子)

***有限公司年薪职务收入证明

兹证明***系我单位员工，性别：*，于1991年8月参加工作。现担任***，办公室电话为：***，近三年收入情况如下：

2013年：年收入为人民币***元，其中

工资为人民币***元

奖金为人民币***元

福利、津贴为人民币***元

2012年：年收入为人民币***元，其中

工资为人民币***元

奖金为人民币***元

福利、津贴为人民币***元

2011年：年收入为人民币***元，其中

工资为人民币***元

奖金为人民币***元

福利、津贴为人民币***元

以上个人所得税由本单位统一缴纳。

负责人：

职务：

电话：

手机：

年

月日

第四篇：房屋产权证明例子

房屋产权证明

XXX 男，XX 年 XX 月 XX 日出生，身份证号码为： XXXXX

现户口所在地：北京市 XX 区 XX 镇 XX 号，非农业户口。此人在 XXX 镇 XX10 号自建住房 XX 间，此房屋未

办理房屋产权证，房屋产权归本人所有。情况属实 特此证明 XXXXX 居民委员会 公章 ： XXXX 镇政府土地科 XX 年 XX 月 XX 日 经办人签名： XX 年 XX 月 XX 日

第五篇：信息技术工作总结一个例子

信息技术工作总结

学期即将结束，回顾这一学期，本人能够努力工作，认真学习，从多方面进行计算机教学和管理工作。有辛勤的耕耘，有收获的喜悦，也有不足与遗憾，现总结如下：

一、微机室管理方面

在本学期，我的主要工作是进行微机教学，及微机室的管理工作。要保证学生在愉悦的氛围中学习，必须有一个良好的学习环境，所以我尽职尽责，保持微机室有一个清新、卫生的环境，保证微机的正常使用，无故障产生。为了做好微机室管理工作，更好地完成教学任务、为教学服务，本学期继续以发现和培养具有综合素质的学生为辅助小教师，具体分工，连带促进，使每个班在上课时都能分好组，每个组都能相互帮助，形成良好风气，使学生的精神面貌及文化素养得到改观，增强集体观念，培养学生的责任感、义务感、及主人翁意识。在学习时，要求学生严守微机室规章制度，按老师要求进行正确操作，使学生养成了较为良好的习惯，为以后学习打下基础。

二、课堂教学

1、做到期初有计划，有教学进度，使教学工作能有条不紊地顺利进行下去；在备课过程中我对每节的重点、难点、教学过程的处理等进行研究，选择出适合本学科特点的教学方法；在课堂中充分调动学生的学习积极性,使学生真正成为“主体”，使学生在学习过程中充分发挥个人的想象力和创造力，在掌握基础知识的前提下，使学生能做出有创新、有创意的作品。虽然还没有实现每节课都能有以上的结果，但我正在努力实现这种教学模式。

2、按照学校工作管理规定，努力上好每一节课，同时完成领导的材料打印工作。微机课学校安排的课时比较少，对于学生来讲每节课都十分重要。所以能够上好每节课对老师、对学生都是很关键的。除了备好课外，我还要查阅各种资料，能上网时还上网寻找好的教学材料，教学课件，把它们和我所从事的工作结合起来，为我所用。

3、在教学之余，我也注重自身发展进步。除了参加听课，评课，及教研活动外，我还注意到要自学。从思想上，利用听评课机会端正自己教学态度；从行动上参加各种对微机教学有益的培训活动，以学习电脑技术、教学技能等；在生活上注意形象，为人师表。

三、教学业务方面

教学工作是教师的中心工作。在本学期里，本人认真担负本职工作，认真备课，并针对学生实际学习情况有的放矢的开展工作。课堂上，耐心细致地讲解，为使学生能够更好地接受书本知识，并能够在使用上学会正确操作，我认真研究学生、钻研教材，尽量为学生提供实践的机会，使学生在易学易懂的情境下进行学习，以提高学生学习的积极性。并且以自己在实践中摸索到的教学模式去进行教学。同时，认真研究相关教育理论书籍，与实践相结合，以促进自身的发展。

四、教育教学能力及自身素质方面

适逢教育改革的大趋势及实施“课改”的严峻挑战，作为年轻教师，我积极响应上级教育部门及本学校的号召，利用业余时间，阅读有关教育改革、课程改革的资料，使自己首先具有一种先进的教育意识及理念，为新学期的教学工作不断积累理论知识。同时将理论知识与自己的实践结合，为自己的教学工作打下更扎实的基础。

四、其它方面

在本学期做到了严格要求自己，认真执行学校的各项规章制度，忠诚党的教育事业，遵守作息时间，按时参加继续教育学习，并认真做好笔记，努力把学到的知识应用到教学实践中去，做到学以致用。服从领导分配，积极配合领导工作，勇挑重担。

在倡导素质教育的今天，我时刻警醒自己，严格要求自己，努力使自己成为一名具有时代感，在教科研中具有领先意识的优秀教师。

短暂的工作期间，通过自己的努力及领导与其他老师的扶携，我取得了一些成绩，但在此其中也有许多不足之处，如：微机课的课堂教学模式需要探索研究，课堂中如何使学生即能有兴趣地去学习、又将学生自身能力提高上去，以及如何对待学生在微机课堂中出现的不配合教师一起学习的现象等等，这些都说明自身水平与能力还有待以加强，都需要自己在以后的教学实践中去探索。所以，在以后的工作中，我将一如既往地将自己奉献给教育事业，踏踏实实地工作，为学生能够得到更好的教育，为学生的长大成才，在“基础教育”的这方沃土上，甘为学生作坚实的基石。

“越是对事业爱得深，越感到自己对事业的不尽职。”在以后的教学工作中，我会积极努力加强自身建设，使自己的工作更扎实、更有效、更完善、更优秀。