逻辑思维与推理期末考试题

第一篇：逻辑思维与推理期末考试题

逻辑思维与推理期末考试题

一、名词解释（每小题3分，共计15分）

1、直言命题

2、关系命题

3、划分

4、逻辑方阵中的差等关系

5、矛盾律

二、简单题（每小题5分，共计25分）

1、简述概念的外延之间的可能关系并用欧拉图表示

2、简述明确词项（或概念）的逻辑方法

3、简述三段论的基本规则

4、简述三段论的定义、要素及三段论推理的基本规则

5、简述直言命题主项与谓项的周延性

三、应用题（每小题10分，共计60分）

1、对“十月份放映的影片都不是进口大片”进行对当关系推理，写出推演的逻辑形式；然后进行换质换位推理，写出推演的逻辑形式。

2、请将“人非圣贤，孰能无过”用自然语言还原成三段论形式，然后转换成用逻辑语言表达的三段论格式，判断该三段论是什么格什么式，判断该三段论推理是否有效，并说明理由。

3、已知某有效三段论的小前提是否定命题，请证明该三段论的大前提只能是全称肯定命题。

4、请证明：若第三格的三段论有效，其小前提必须是肯定命题。

5、根据S与P的外延关系，求证：（1）SIP假，则SAP假；（2）SOP真，则SEP可真可假。

6、请用自然语言编写一个第三格AAA式的三段论，并验证该三段论的有效性，请写出推理过程。

第二篇：逻辑思维与推理期末考试题

逻辑思维与推理期末考试题

一、名词解释（每小题3分，共计15分）

1、直言命题

直言命题：就是陈述事物具有或不具有某种性质的命题。（性质命题）

2、关系命题

关系命题：就是陈述事物之间具有某种关系的命题。

3、划分

划分：揭示概念外延的逻辑方法。就是将外延较大的属概念根据一定的标准，划分出若干个 外延较小的概念，从而明确概念全部外延的逻辑方法。

4、逻辑方阵中的差等关系

等差关系：AI/EO之间的真假关系：全称真，特称必真；全称假，特称真假不定；特称假，全称必假；特称真，全称真假不定。

5、矛盾律

矛盾律：在同一思维的过程中，两个互相矛盾的思想不能同真，即对同一事物不能既肯定 它是什么，又否定它是什么，其中必有一假。公式：A不是非A（思维的确定性要求运用命题时前后不能自相矛盾）。

二、简单题（每小题5分，共计25分）

1、简述概念的外延之间的可能关系并用欧拉图表示

2、简述明确词项（或概念）的逻辑方法

3、简述三段论的基本规则

4、简述三段论的定义、要素及三段论推理的基本规则

5、简述直言命题主项与谓项的周延性

三、应用题（每小题10分，共计60分）

1、对“十月份放映的影片都不是进口大片”进行对当关系推理，写出推演的逻辑形式；然后进行换质换位推理，写出推演的逻辑形式。

2、请将“人非圣贤，孰能无过”用自然语言还原成三段论形式，然后转换成用逻辑语言表达的三段论格式，判断该三段论是什么格什么式，判断该三段论推理是否有效，并说明理由。

3、已知某有效三段论的小前提是否定命题，请证明该三段论的大前提只能是全称肯定命题。

4、请证明：若第三格的三段论有效，其小前提必须是肯定命题。

5、根据S与P的外延关系，求证：（1）SIP假，则SAP假；（2）SOP真，则SEP可真可假。

6、请用自然语言编写一个第三格AEO式的三段论，并验证该三段论的有效性，请用逻辑语言写出推理过程。

第三篇：高二期末复习推理与证明

推理与证明

（一）．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

3.数学归纳法

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当n取第一个值n0是命题成立；

⑵假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

注：①证明时，两个步骤，一个都不能少。其中，第一步是递推的基础，第二步则是证明了递推关系成立。，②用归纳法证明命题，格式很重要，通常可以简记为“两步三结论”。两步是指证明的两步(1)(奠定递推基础)和(2)(证明递推关系)；三结论分别是指：步骤(1)中最后要指出当n=n0时命题成立，步骤(2)最后要指出当n=k+1时命题成立，证明的最后要

*给出一个结论“根据(1)(2)可知，命题对任意n∈N(n≥n0)都成立”。

易错点分析：①初始值取值是多少；②第二步证明n=k+1时命题成立需要使用归纳假设；

1111n 2

321111

kkk1共2k项从n=k到n=k+1时，实际增加的项是k

2122232

③由n=k到n=k+1时，命题的变化(增减项)，如：fn1例1.1.当a0,b0时,有

ab

ab成立,并且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立2abc当a,b,c0时,有abc成立

abcd当a,b,c,d0时,有成立。猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

2..观察以下各等式：

①tan10tan20tan20tan60tan60tan101 ②tan5tan10tan10tan75tan75tan5

1分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对你的结论进行证 3．、将下列三段论形式的演绎推理补充完整： 纯虚数的平方是负实数，_______________________，3i的平方是负实数。.例2.设在R上定义的函数f(x)，对任意实数x都)有f(x2)f(x1)f(x),且f(1)lg3lg2,f(2)lg3lg5，试求归纳出f(200

1的值。

例3.1.设SAB的两边SA、SB互相垂直，则SASBBC。类比到空间中，写出相应的结论

2.设A1、B1分别是PAB的两边PA、PB上的点，则

SPA1B1SPAB



PA1PB

1PAPB

四面体猜想：设A1、B1、C1分别是四面体PABC的三条侧棱PA、PB、PC上的点，则有什么结论？

，则3.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式

例4.1.设k0,且k是奇数，求证:方程x2x2k0没有有理根

2.设a,b都是整数，且ab能被3整除，试用反证法证明a,b都能被3整除

例5.1.已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

2.设nN,fn52

3

n

n

1（2）你对fn的值2，3，4时，计算fn；1，1当N1，有何猜想，用数学归纳法证明你的猜想

推理与证明

1.从112,23432,3456752中，得出一般性结论是2.已知函数f(x)

xx，则ff....f(x)

n个f

3.f(n)1

111357

(nN)，f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32)，23n22

2推测当n2时，有

4.平面上有kk2条直线，其中任何两条不平行，任何三条不交于同一点，则这kk2条直线将平面分成的区域个数是

5.在RtABC中，若C900,ACb,BCa,则三角形ABC的外接圆半径

r

a2b2，把此结论类比到空间，写出类似的结论 2

，则6.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为、cos2cos21。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：7.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：

8.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．你认为比较恰当的是．

9.下面说法中是合情推理的是1由圆的性质类比出球的性质；（2）某次考试小明的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩是100分；（3）三角形有内角和是180，四边形的内角和是360五边形的内角和是540，由此得凸多边形的内角和是n2180；（4）我







国古代工匠鲁班根据带齿的草叶发明了锯子

10.下面说法中是演绎推理的是（1）由三角形的性质，推测空间四面体的性质；（2）高三有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人；（3）在数列an中，a11,an

11an1n2，由此可求a2,a3,，即可归纳2an1

出an的通项公式 ；（4）两条直线平行，同旁内角互补，如果A,B是两条平行直线的同旁内角，则AB180



11.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面，直线a平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为错误？

12.用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，正确的反设是 13.用反证法证明“若x2abxab0，则xa且xb”, 正确的反设是14.下列叙述“（1）a2的反面是a2；（2）mn的反面是mn；（3）三角形中最多有一个直角的反面是没有直角；（4）a,b,c不都为0的反面是a2b2c20a,b,cR 15.用数学归纳法证明1



11111111

nN，2342n12nn1n22n

n3n1的第二步中，nk1时的则从nknk1，左边所要添加的项是16.用数学归纳法证明n1n2nn

等式的左边与nk时的等式的左边的差是

17.用数学归纳法证明“52能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设的结论，应将5

k1

n

n

2k1变形为

18.平面内有nn2条直线，其中任何两条不平行，任何3条不过同一点，（1）请归纳它们交点的个数fn的表达式；（2）（理）请用数学归纳法证明你的结论

第四篇：信息论与编码期末考试题

信息论与编码期末考试题

（一）一、判断题.1.当随机变量和相互独立时，条件熵等于信源熵.（）

2.由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩阵有可能生成同一码集.（）

3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多.（）

4.只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通信.（）

5.各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件.（）

6.连续信源和离散信源的熵都具有非负性.（）

7.信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确

定性就越小，获得的信息量就越小.8.汉明码是一种线性分组码.（）

9.率失真函数的最小值是.（）

10.必然事件和不可能事件的自信息量都是.（）

二、填空题

1、码的检、纠错能力取决于

.2、信源编码的目的是

；信道编码的目的是

.3、把信息组原封不动地搬到码字前位的码就叫做

.4、香农信息论中的三大极限定理是、、.5、设信道的输入与输出随机序列分别为和，则成立的条件

..6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是

.7、某二元信源，其失真矩阵，则该信源的=

.三、计算题.1、某信源发送端有2种符号,；接收端有3种符号，转移概率矩阵为.（1）

计算接收端的平均不确定度；

（2）

计算由于噪声产生的不确定度；

（3）

计算信道容量以及最佳入口分布.2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示，信源的符号集为.（1）求信源平稳后的概率分布；

（2）求此信源的熵；

（3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为平

稳分布.求近似信源的熵并与进行比较.3、设码符号为，信源空间为试构造一种三元紧致码.4、设二元线性分组码的生成矩阵为.（1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；

（2）若接收矢量，试计算出其对应的伴随式并按照最小距离译码准则

试着对其译码.（二）

一、填空题

1、信源编码的主要目的是，信道编码的主要目的是。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是，二是。

3、三进制信源的最小熵为，最大熵为。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为。

5、当

时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为

和。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为

和。

8、若连续信源输出信号的平均功率为，则输出信号幅度的概率密度是

时，信源具有最大熵，其值为值。

9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“”

（1）当X和Y相互独立时，H（XY）

H(X)+H(X/Y)

H(Y)+H(X)。

（2）

（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)

0,H(Y/X)

0,I(X;Y)

H(X)。

二、若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。

三、已知信源

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）

（2）计算平均码长;（4分）

（3）计算编码信息率;（2分）

（4）计算编码后信息传输率;（2分）

（5）计算编码效率。（2分）

四、某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。

如果符号的码元宽度为0.5。计算：

（1）信息传输速率。（5分）

（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为。试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P。（5分）

五、一个一阶马尔可夫信源，转移概率为。

(1)

画出状态转移图。(4分)

(2)

计算稳态概率。(4分)

(3)

计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)

(4)

计算稳态下,及其对应的剩余度。(4分)

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。

试求这种信道的信道容量。

七、设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。

定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算

(1)

(2)

(3)

(4)

;

八、设离散无记忆信源的概率空间为，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为，信道传输概率如下图所示。

(1)

计算信源中事件包含的自信息量；

(2)

计算信源的信息熵；

(3)

计算信道疑义度；

(4)

计算噪声熵；

(5)

计算收到消息后获得的平均互信息量。

《信息论基础》参考答案

一、填空题

1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为bit/符号。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr=

Hr(S)）。

5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或时，信源具有最大熵，其值为值。

9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“”

（1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）

（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)>

0,H(Y/X)=0,I(X;Y)

二、若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。

=2bit/自由度

该信源的绝对熵为无穷大。

三、已知信源

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）

（2）计算平均码长;（4分）

（3）计算编码信息率;（2分）

（4）计算编码后信息传输率;（2分）

（5）计算编码效率。（2分）

（1）

编码结果为：

（2）

（3）

（4）其中，（5）

四、某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。

如果符号的码元宽度为0.5。计算：

（1）信息传输速率。

（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为。试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P。

解：

（1）

（2）

五、一个一阶马尔可夫信源，转移概率为。

(1)

画出状态转移图。

(2)

计算稳态概率。

(3)

计算马尔可夫信源的极限熵。

(4)

计算稳态下,及其对应的剩余度。

解：(1)

(2)由公式

有

得

(3)该马尔可夫信源的极限熵为：

(4)在稳态下：

对应的剩余度为

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。

试求这种信道的信道容量。

解：信道传输矩阵如下

可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为

七、设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。

定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算

(1)

(2)

(3)

(4)

;

解：(1)

Z

0

P(Z)

3/4

1/4

(2)

(3)

(4)

八、设离散无记忆信源的概率空间为，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为，信道传输概率如下图所示。

(6)

计算信源中事件包含的自信息量；

(7)

计算信源的信息熵；

(8)

计算信道疑义度；

(9)

计算噪声熵；

(10)

计算收到消息后获得的平均互信息量。

解：

(1)

(2)

(3)转移概率：

x

y

y1

y2

x1

5/6

1/6

x2

3/4

1/4

联合分布：

x

y

y1

y2

x1

2/3

12/15

4/5

x1

3/20

1/20

1/5

49/60

11/60

1/5

(4)

(5)

(三)一、选择题

1、有一离散无记忆信源X，其概率空间为，则其无记忆二次扩展信源的熵H(X2)=（）

A、1.75比特/符号；

B、3.5比特/符号；

C、9比特/符号；

D、18比特/符号。

2、信道转移矩阵为，其中两两不相等，则该信道为

A、一一对应的无噪信道

B、具有并归性能的无噪信道

C、对称信道

D、具有扩展性能的无噪信道

3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（）

A、互信息量一定不大于C

B、交互熵一定不小于C

C、有效信息量一定不大于C

D、条件熵一定不大于C4、在串联系统中，有效信息量的值（）

A、趋于变大

B、趋于变小

C、不变

D、不确定

5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（）

A、B、C、D、二、填空题

1、(7,4)线性分组码中，接受端收到分组R的位数为____，伴随式S可能的值有____

种,差错图案e的长度为，系统生成矩阵Gs为____

行的矩阵，系统校验矩阵Hs为____

行的矩阵，Gs和Hs满足的关系式是。

2、一张1024×512像素的16位彩色BMP图像能包含的最大信息量为。

3、香农编码中,概率为的信源符号xi对应的码字Ci的长度Ki应满足不等式。

3、设有一个信道，其信道矩阵为，则它是

信道（填对称，准对称），其信道容量是

比特/信道符号。

三、，通过一个干扰信道，接受符号集为，信道转移矩阵为

试求（1）H(X),H(Y),H(XY);

(2)

H(Y|X),H(X|Y);

(3)

I(Y;X)。

(4)该信道的容量C

（5）当平均互信息量达到信道容量时，接收端Y的熵H（Y）。

计算结果保留小数点后2位,单位为比特/符号。

四、简述平均互信息量的物理意义，并写出对应公式。

五、假设英文字母表(n=26),密钥k=abc，当明文m=familycome时，使用Vigenere密码算法后得到的密文c=？请写出具体的步骤。

六、设有离散无记忆信源，其概率分布如下：

对其进行费诺编码，写出编码过程，求出信源熵、平均码长和编码效率。

七、信道编码

现有生成矩阵

1.求对应的系统校验矩阵Hs。

2求该码字集合的最小码字距离d、最大检错能力、最大纠错能力t

max。

2.填写下面的es表

e

s

0000000

0000001

0000010

0000100

0001000

0010000

0100000

1000000

4.现有接收序列为，求纠错译码输出。

5.5.画出该码的编码电路

(四)四、简答题

1.利用公式介绍无条件熵、条件熵、联合熵和平均互信息量之间的关系。

2.简单介绍哈夫曼编码的步骤

五、计算题

1．某信源含有三个消息，概率分别为p(0)=0.2，p(1)=0.3，p(2)=0.5，失真矩阵为。

求Dmax、Dmin和R

(Dmax)。

2．设对称离散信道矩阵为，求信道容量C。

3．有一稳态马尔可夫信源，已知转移概率为p(S1/

S1)=

2/3，p(S1/

S2)=

1。求：

(1)

画出状态转移图和状态转移概率矩阵。

(2)

求出各状态的稳态概率。

(3)

求出信源的极限熵。

（五）一、填空题

（1）

1948年，美国数学家

发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

（2）

必然事件的自信息是。

（3）

离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的。

（4）

对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__

_。

（5）

对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是。

（6）

已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出______个码元错误，最多能纠正___个码元错误。

（7）

设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__

__C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。

（8）

平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___

__________和___

___有关

二、判断题

（1）

信息就是一种消息。

（）

（2）

信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。

（）

（3）

概率大的事件自信息量大。

（）

（4）

互信息量可正、可负亦可为零。

（）

（5）

信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。

（）

（6）

对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。

（）

（7）

非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。

（）

（8）

信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。

（）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数.（）

三、居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则

P(A)=0.25

p(B)=0.5

p(B|A)=0.75

故

p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375

I(A|B)=-log0.375=1.42bit

五、.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1）

黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；

2）

假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为，，求其熵。

3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。

六、.信源空间为，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。

七.设有一离散信道，其信道传递矩阵为，并设，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1）最小似然译码准则下，有，2）（最大后验概率准则下，有，八.二元对称信道如图。

1）若，求、和；

2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分

2），此时输入概率分布为等概率分布。

九、设一线性分组码具有一致监督矩阵

1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？

2）求此分组码的生成矩阵G。

3）写出此分组码的所有码字。

4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）

2）设码字由得

（3分）

令监督位为，则有

（3分）

生成矩阵为

（2分）

3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）

4）由得，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）

（六）一、概念简答题

1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？

2.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？

3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？

4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。

5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。

6.解释无失真变长信源编码定理。

7.解释有噪信道编码定理。

8.什么是保真度准则？对二元信源，其失真矩阵，求a>0时率失真函数的和？

二、综合题

1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1）

黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵；

2）

假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为：，，求其熵；

2.二元对称信道如图。；

1）若，求和；

2）求该信道的信道容量和最佳输入分布。

3.信源空间为，试分别构造二元和三元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率。

4.设有一离散信道，其信道传递矩阵为，并设，试分别按最小错误概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。

5.5.已知一（8，5）线性分组码的生成矩阵为。

求：1）输入为全00011和10100时该码的码字；2）最小码距。

6.设某一信号的信息传输率为5.6kbit/s，在带宽为4kHz的高斯信道中传输，噪声功率谱NO=5×10－6mw/Hz。试求：

（1）无差错传输需要的最小输入功率是多少？

（2）此时输入信号的最大连续熵是多少？写出对应的输入概率密度函数的形式。

答案

一、概念简答题

1.答：平均自信息为

表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。

平均互信息

表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。

2.答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。

最大熵值为。

3.答：信息传输率R指信道中平均每个符号所能传送的信息量。信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率。信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。

平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U型凸函数。

4.答：通信系统模型如下：

数据处理定理为：串联信道的输入输出X、Y、Z组成一个马尔可夫链，且有。说明经数据处理后，一般只会增加信息的损失。

5.答：香农公式为，它是高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。

由得，则

6.答：只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。

7.答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。

8.答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。

2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有，而。

二、综合题

1.答：1）信源模型为

2）由得

则

2.答：1）

2），最佳输入概率分布为等概率分布。

3.答：1）二元码的码字依序为：10，11，010，011，1010，1011，1000，1001。

平均码长，编码效率

2）三元码的码字依序为：1，00，02，20，21，22，010，011。

平均码长，编码效率

4.答：1）最小似然译码准则下，有，2）最大错误概率准则下，有，5.答：1）输入为00011时，码字为00011110；输入为10100时，码字为10100101。

2）

6.答：1）无错传输时，有

即则

2）在时，最大熵

对应的输入概率密度函数为

（七）一、名词解释（25道）

1、“本体论”的信息（P3）

2、“认识论”信息（P3）

3、离散信源（11）

4、自信息量（12）

5、离散平稳无记忆信源（49）

6、马尔可夫信源（58）

7、信源冗余度

（66）

8、连续信源

（68）

9、信道容量

（95）

10、强对称信道

（99）

11、对称信道

（101-102）12、多符号离散信道（109）

13、连续信道

（124）

14、平均失真度

（136）

15、实验信道

（138）

16、率失真函数

（139）

17、信息价值率

（163）

18、游程序列

（181）

19、游程变换

（181）

20、L-D编码（184）、21、冗余变换

（184）

22、BSC信道

（189）

23、码的最小距离

（193）24、线性分组码

（195）

25、循环码

（213）

二、填空（100道）

1、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到

形式、含义和效用

三个方面的因素。

2、1948年，美国数学家

香农

发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

3、按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。

4、按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。

5、人们研究信息论的目的是为了

高效、可靠、安全

地交换和利用各种各样的信息。

6、信息的可度量性

是建立信息论的基础。

7、统计度量

是信息度量最常用的方法。

8、熵

是香农信息论最基本最重要的概念。

9、事物的不确定度是用时间统计发生

概率的对数

来描述的。

10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用

随机矢量

描述。

11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为

其发生概率对数的负值。

12、自信息量的单位一般有

比特、奈特和哈特。

13、必然事件的自信息是

0。

14、不可能事件的自信息量是

∞。

15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于

两个自信息量之和。

16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量

趋于变小。

17、离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。

18、离散平稳有记忆信源的极限熵。

19、对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有

nm

个不同的状态。

20、一维连续随即变量X在[a，b]区间内均匀分布时，其信源熵为

log2（b-a）。

21、平均功率为P的高斯分布的连续信源，其信源熵，Hc（X）=。

22、对于限峰值功率的N维连续信源，当概率密度

均匀分布

时连续信源熵具有最大值。

23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度

高斯分布

时，信源熵有最大值。

24、对于均值为0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值P和信源的熵功率

之比。

25、若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为

3。

26、m元长度为ki，i=1，2，···n的异前置码存在的充要条件是：。

27、若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为

log26。

28、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为1/6，则“3和5同时出现”这件事的自信息量是

log218（1+2

log23）。

29、若一维随即变量X的取值区间是[0，∞]，其概率密度函数为，其中：，m是X的数学期望，则X的信源熵。

30、一副充分洗乱的扑克牌（52张），从中任意抽取1张，然后放回，若把这一过程看作离散无记忆信源，则其信源熵为。

31、根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续

信道。

32、信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为

无记忆

信道。

33、具有一一对应关系的无噪信道的信道容量C=

log2n。

34、强对称信道的信道容量C=

log2n-Hni。

35、对称信道的信道容量C=

log2m-Hmi。

36、对于离散无记忆信道和信源的N次扩展，其信道容量CN=

NC。

37、对于N个对立并联信道，其信道容量

CN

=。

38、多用户信道的信道容量用

多维空间的一个区域的界限

来表示。

39、多用户信道可以分成几种最基本的类型：

多址接入信道、广播信道

和相关信源信道。

40、广播信道是只有

一个输入端和多个输出端的信道。

41、当信道的噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输入的线性叠加时，此信道称为

加性连续信道。

42、高斯加性信道的信道容量C=。

43、信道编码定理是一个理想编码的存在性定理，即：信道无失真传递信息的条件是

信息率小于信道容量。

44、信道矩阵代表的信道的信道容量C=

1。

45、信道矩阵代表的信道的信道容量C=

1。

46、高斯加性噪声信道中，信道带宽3kHz，信噪比为7，则该信道的最大信息传输速率Ct=

kHz。

47、对于具有归并性能的无燥信道，达到信道容量的条件是

p（yj）=1/m）。

48、信道矩阵代表的信道，若每分钟可以传递6*105个符号，则该信道的最大信息传输速率Ct=

10kHz。

49、信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和

数据压缩的理论基础。

50、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。

51、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就

越大，获得的信息量就越小。

52、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大道传输消息所需的信息率

也越小。

53、单符号的失真度或失真函数d（xi，yj）表示信源发出一个符号xi，信宿再现yj所引起的误差或失真。

54、汉明失真函数

d（xi，yj）=。

55、平方误差失真函数d（xi，yj）=（yj-

xi）2。

56、平均失真度定义为失真函数的数学期望，即d（xi，yj）在X和Y的联合概率空间P（XY）中的统计平均值。

57、如果信源和失真度一定，则平均失真度是

信道统计特性的函数。

58、如果规定平均失真度不能超过某一限定的值D，即：。我们把称为

保真度准则。

59、离散无记忆N次扩展信源通过离散无记忆N次扩展信道的平均失真度是单符号信源通过单符号信道的平均失真度的N

倍。

60、试验信道的集合用PD来表示，则PD=。

61、信息率失真函数，简称为率失真函数，即：试验信道中的平均互信息量的最小值。

62、平均失真度的下限取0的条件是失真矩阵的每一行至少有一个零元素。

63、平均失真度的上限Dmax取{Dj：j=1，2，···，m}中的最小值。

64、率失真函数对允许的平均失真度是

单调递减和连续的。

65、对于离散无记忆信源的率失真函数的最大值是

log2n。

66、当失真度大于平均失真度的上限时Dmax时，率失真函数R（D）=

0。

67、连续信源X的率失真函数R（D）=。

68、当时，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函数为。

69、保真度准则下的信源编码定理的条件是

信源的信息率R大于率失真函数R（D）。

70、某二元信源其失真矩阵D=，则该信源的Dmax=

a/2。

71、某二元信源其失真矩阵D=，则该信源的Dmin=

0。

72、某二元信源其失真矩阵D=，则该信源的R（D）=

1-H（D/a）。

73、按照不同的编码目的，编码可以分为三类：分别是

信源编码、信道编码和安全编码。

74、信源编码的目的是：

提高通信的有效性。

75、一般情况下，信源编码可以分为

离散信源编码、连续信源编码和相关信源编码。

76、连续信源或模拟信号的信源编码的理论基础是

限失真信源编码定理。

77、在香农编码中，第i个码字的长度ki和p（xi）之间有

关系。

78、对信源进行二进制费诺编码，其编码效率为

1。

79、对具有8个消息的单符号离散无记忆信源进行4进制哈夫曼编码时，为使平均码长最短，应增加

个概率为0的消息。

80、对于香农编码、费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是

香农编码。

81、对于二元序列******1111，其相应的游程序列是

23652457。

82、设无记忆二元序列中，“0”和“1”的概率分别是p0和p1，则“0”游程长度L（0）的概率为。

83、游程序列的熵

等于

原二元序列的熵。

84、若“0”游程的哈夫吗编码效率为η0，“1”游程的哈夫吗编码效率为η1，且η0>η1对应的二元序列的编码效率为η，则三者的关系是

η0>η>η1。

85、在实际的游程编码过程中，对长码一般采取

截断

处理的方法。

86、“0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复，但

C码

必须不同。

87、在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起占时作用的符号称为

冗余位。

88、“冗余变换”即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个

缩短了的多元序列。

89、L-D编码是一种

分帧传送冗余位序列的方法。

90、L-D编码适合于冗余位

较多或较少的情况。

91、信道编码的最终目的是

提高信号传输的可靠性。

92、狭义的信道编码即：检、纠错编码。

93、BSC信道即：无记忆二进制对称信道。

94、n位重复码的编码效率是

1/n。

95、等重码可以检验

全部的奇数位错和部分的偶数位错。

96、任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距dmin，则dmin=。

97、若纠错码的最小距离为dmin，则可以纠正任意小于等于t=

个差错。

98、若检错码的最小距离为dmin，则可以检测出任意小于等于l=

dmin-1

个差错。

99、线性分组码是同时具有

分组特性和线性特性的纠错码。

100、循环码即是采用

循环移位特性界定的一类线性分组码。

三、判断（50道）

1、必然事件和不可能事件的自信息量都是0

。错

2、自信息量是的单调递减函数。对

3、单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对

4、单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错

5、单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对

6、自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：

对

7、自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系：

对

8、当随即变量X和Y相互独立时，条件熵等于信源熵。对

9、当随即变量X和Y相互独立时，I（X；Y）=H（X）

。错

10、信源熵具有严格的下凸性。错

11、平均互信息量I（X；Y）对于信源概率分布p（xi）和条件概率分布p（yj/xi）都具有凸函数性。

对

12、m阶马尔可夫信源和消息长度为m的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。

错

13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求m阶马尔可夫信源的极限熵。

对

14、N维统计独立均匀分布连续信源的熵是N维区域体积的对数。

对

15、一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。

错

16、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。

错

17、连续信源和离散信源都具有可加性。

对

18、连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。

对

19、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。

对

20、若对一离散信源（熵为H（X））进行二进制无失真编码，设定长码子长度为K，变长码子平均长度为，一般>K。

错

21、信道容量C是I（X；Y）关于p（xi）的条件极大值。

对

22、离散无噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息个数。

错

23、对于准对称信道，当时，可达到信道容量C。错

24、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。

对

25、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错

26、高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。

对

27、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对

28、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p（xi）），使信道所能传送的信息率的最大值。

错

29、对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi）=1/n），达到信道容量。

错

30、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。对

31、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。

错

32、当p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）给定后，平均失真度是一个随即变量。

错

33、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。对

34、率失真函数没有最大值。

错

35、率失真函数的最小值是0

。对

36、率失真函数的值与信源的输入概率无关。错

37、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。

对

38、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。

对

39、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。

错

40、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。

对

41、在编m（m>2）进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为0的码字，以使平均码长最短。

对

42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵与“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。

错

43、在游程编码过程中，“0”游程和“1”游程应分别编码，因此，它们的码字不能重复。

错

44、L-D编码适合于冗余位较多和较少的情况，否则，不但不能压缩码率，反而使其扩张。

对

45、狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。

对

46、对于BSC信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息m的长度等于码字c的长度。

错

47、等重码和奇（偶）校验码都可以检出全部的奇数位错。

对

48、汉明码是一种线性分组码。对

49、循环码也是一种线性分组码。

对

50、卷积码是一种特殊的线性分组码。

错

四、简答（20道）

1、信息的主要特征有哪些？（4）

2、信息的重要性质有哪些？（4）

3、简述几种信息分类的准则和方法。（5）

4、信息论研究的内容主要有哪些？（8）

5、简述自信息的性质。（13）

6、简述信源熵的基本性质。（23）

7、简述信源熵、条件熵、联合熵和交互熵之间的关系。（48）

8、信道的分类方法有哪些？（93-94）

9、简述一般离散信道容量的计算步骤。（107）

10、简述多用户信道的分类。（115-116）

11、简述信道编码定理。（128）

12、简述率失真函数的性质。（140-145）

13、简述求解一般离散信源率失真函数的步骤。（146-149）

14、试比较信道容量与信息率失真函数。（164）

15、简述编码的分累及各种编码的目的。（168）

16、简述费诺编码的编码步骤。（170）

17、简述二元哈夫曼编码的编码步骤。（173）

18、简述广义的信道编码的分类及各类编码的作用。（188）

19、简述线性分组码的性质。（196）

20、简述循环码的系统码构造过程。（221）

第五篇：公差与配合期末考试题

长春机械电子学校

公差与配合期末考试题

（五）（满分100分）

命题人王爱华

班级：姓名：

一、名词解释（每题6分，共30分）

1、公差：

2、配合：

3、互换性：

4、检验：

5、公差原则：

二、判断题(每题1分，共10分)

1、实际尺寸就是真实的尺寸，简称真值。()

2、因Js为完全对称偏差，故其上、下偏差相等。()

3、同一公差等级的孔和轴的标准公差数值一定相等。()

4、φ10f6、φ10f7和φ10f8的上偏差是相等的,只是它们的下偏差各不相同。()

5、偏差可为正、负或零值，而公差只能为正值。()

6、最大实体尺寸是孔和轴的最大极限尺寸的总称()

7、由于零件的最大极限尺寸大于最小极限尺寸，所以上偏差绝对值大于下偏差绝对值。()

8、尺寸误差是指一批零件上某尺寸的实际变动量。()

9、实际尺寸相等的两个零件的作用尺寸也相等。()

10、因配合的孔和轴基本尺寸相等，故其实际尺寸也相等。()

三、选择题(每题1分，共10分)

1、绝对误差与真值之比叫。

Ａ、绝对误差Ｂ、极限误差Ｃ、相对误差

2、精度是表示测量结果中影响的程度。

Ａ、系统误差大小Ｂ、随机误差大小Ｃ、粗大误差大小

3、相互结合的孔和轴的精度决定了。

Ａ、配合精度的高Ｂ、配合的松紧程Ｃ、配合的性质

4、基孔制是基本偏差为一定孔的公差带，与不同轴的公差带形成各种配合的一种制度。

Ａ、基本偏差的Ｂ、基本尺寸的Ｃ、实际偏差的5、下列孔、轴要选择过渡配合的有。

A、既要求对中，又要求装拆方便B、工作时有相对运动

C、永久性结合6、公差只能。

A、大于零B、小于零C、等于零7、1.基本尺寸尺寸。

A、一定是理想B、不是理想C、不一定是理想

8、配合代号H7/g6中的H7是的公差带代号。

A、孔B、轴

9、评定参数更能充分反应被测表面的实际情况。Ａ、轮廓的最大高度Ｂ、微观不平度十点高度

Ｃ、轮廓算术平均偏差Ｄ、轮廓的支承长度率

10、优先选用基孔制，是因为。

A、孔难加工B、减少定值尺寸的刀、量具C、制造简单

四、填空题（每空2分，共30分）

1、形位公差分为（）、（）和形状或位置公差三大类。

2、配合是（）相同的，互相结合的孔和轴公差带之间的关系。

3、基准制分为（）和（）。

4、在选择孔、轴配合的基准制时，一般情况下，优先选用（）。

5、配合分为以下三种()()()。

6、机械制造中的互换性按互换的程度分，可分为（）互换和（）互换两类。

7、尺寸公差带包括()和（）两个要素。

8、包容要求的使用可以用（）公差来控制（）误差，从而保证孔、轴的配合性质。

五、问答题（每题4分，共20分）

1、规定取样长度和评定长度的目的是什么？

2、表面粗糙度的主要评定参数有哪些？优先采用哪个评定参数？

3、形位公差无法采用代号标注时怎么办？

4、公差值的大小反映了什么？

5、尺寸公差的标注方法有几种形式？只注极限偏差数值可以吗？