线性代数与空间解析几何期末考试题

第一篇：线性代数与空间解析几何期末考试题

… 2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

………课程 线性代数与空间解析几何B考试时间 2012 年7 月2 日

……………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

…

……

一、填空题（每小题3分，满分27分）

……x

yz

2x2y2z

…

1、设行列式4

036，则行列式4301_________.……

1……

2、已知矩阵A满足A2-2A-8E= 0，则(A+E)-1=_____________.……

3、已知向量组T…1=(1,2,3)T, 2=(3,-1,2), T3=(2,3,k)线性相关，则常数k =_________.线……5200……

4、设矩阵A=2

100

…0021，则A-1

=________________.…

00

1

……

5、若A、B为5阶方阵，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，则R(AB)=___________.……

6、三元线性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________.订…0

b

…

7、若矩阵

A=1

与矩阵B=…

43



a

x相似，则x=_____.

……1……

8、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=21,2=2且R(A)=2，则Ax=b的通解为……33

…装__________________.……

9、若f(x1, x2, x3)=x214x224x232x1x24x2x3为正定二次型,则的取值应满足______.……

二、选择题（每小题3分，满分15分）

……

…

1、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）

………(A)A=

1…AA*

；(B)A0；(C)(A2)

1

(A

1)

;(D)(3A)1

3A

1

.………

2、若A、B相似，则下列说法错误．．的是()…(A)A与B等价；(B)A与B合同；(C)| A |=| B |；

(A)A与B有相同特征值.…第 1 页，3、设有向量组A：1,2,3,4，其中1,2,3线性无关，则（）

(A)1,3线性无关；(B)1,2,3,4线性无关；(C)1,2,3,4线性相关(D)2,3,4线性相关.4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是()(A)AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax= 0存在非零解的充要条件是（）

(A)A的行向量组线性无关；(B)A的行向量组线性相关；(C)A的列向量组线性无关；(D)A的列向量组线性相关.三、计算题（每小题9分，满分18分）

a

00（1）D =11ab0011bc.1

1c

01（2）设矩阵A=

0

20

,而X满足AX+E=A2+X，求X.

1

四、应用题（每小题10分，满分20分）

（1）求向量组11,1，1，4T，3，5T，TT

22,1，33,1,5,6，41,-1，3，2的一个

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.1

0a（2）设A =

-1

0

20=

, b -1，已知非齐次线性方程组Ax=b存在两个不同



-11的解，求（I），a的值；（II）Ax=b的通解.五、证明题（满分8分）设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明:(AB)1A1B1.六、综合题（满分12分）

2

00100

设A=

0

3a的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P，使P-1AP =0

20.

0a

3

00

5

共 1 页

第二篇：2014线性代数期末考试题

线性代数期末考试题

第一部分 选择题(共20分)

一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式A．-81 B．-9 C．9 D．8l

等于()2．设A是m×n 矩阵，B是S×n 矩阵，C是m×s矩阵，则下列运算有意义的是()A．AB B．BC

3．设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是(B)

4．已知向量中可以由

线性表出的是(D)，则下列A．(1，2，3)B．(1，-2，0)C．(0，2，3)D．(3，0，5)

6、阵的秩为()A．1 8．2 C．3 D．4 7．设是任意实数，则必有(B)

8．线性方程组 的基础解系中所含向量的个数为()A.1 B．2 C．3 D．4 9．n阶方阵A可对角化的充分必要条件是(D)A．A有n个不同的特征值 B．A为实对称矩阵

C．A有n个不同的特征向量 D．A有n个线性无关的特征向量

第二部分 非选择题(共80分)

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11．行列式 的值为_________．

12．设A为2阶方阵，且

13．设向量α=(6，-2，0，4)，β=(一3，l，5，7)，则由2α+γ=3β所确定的向量y=_________． 14．已知向量组k=___．

线性相关，则

有解的充分必要条件是t=____．

16．设A是3阶矩阵，秩(A)=2，则分块矩阵的秩为——．5 17．设A为3阶方阵，其特征值为3，一l，2，则|A|=__-6__． 18．设n阶矩阵A的 n个列向量两两正交且均为单位向量，则_______

三、计算题(本大题共6小题。每小题8分，共48分)21．计算行列式的值．

22．设矩阵23．已知向量组，求矩阵B，使A+2B=AB．

分别判定向量组由。

24．求与两个向量向量．

25．给定线性方程组

均正交的单位的线性相关性，并说明理

(1)问λ在什么条件下，方程组有解?又在什么条件下方程组无解?(2)当方程组有解时，求出通解． 26．求二次型的标准形

四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)，若Aa≠0，但向量组a，Aa线性无关．

参考答案

一、单项选择题(本大题共l0小题．每小题2分，共20分)1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10.B

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)11．0 12．2 13．(-21，7，15，13)14．2 15．1，证明： 16．5 17.-6 18．E

三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分)21．解法一

解法二

经适当的两行对换和两列对换

22．解 由A+28=AB，有(A-2E)B=A，23．解

24．解 设与均正交的向量为，则

这个方程组的一个基础解系为

(一β也是问题的答案)25．解

所以，当时，方程组无解；

(2)当时

方程组有无穷多解．

26．解 此二次型对应的矩阵为

四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)27．证 由行列式乘法公式

28．证

第三篇：线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元

习题3.11.写出下列平面的方程:(1)过点M(1,1,1)且平行于平面:-2xy-z10;(2)过点M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面:yx10;(3)过z轴且与平面2xy-5z0的夹角为3.解:(1)所求平面与平行,故其法向量n2,1,1,由点法式方程, 所求平面方程:2(x1)(y1)(z1)0,即:2xyz20(2)法一:设所求平面的法向量为n,则由已知条件n垂直于平面的法向量n0{1,1,0}ijk 与M1M2{1,1,1},n110ij111 由点法式方程,所求平面方程为(x1)(y2)0,即xy30法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M1,M2的坐标代入,且由向量{A,B,C}与平面A2BD0 的法向量n0{1,1,0}垂直得方程组2ABCD0AB0 解得AB-1313D,C0,所求平面方程为DyD0,即xy30.Dx13(3)因平面过z轴,故可设其方程为AxBy0,因其与已知平面的夹角为3, 其法向量n{A,B,0}与已知平面的法向量n0{2,1,5}的夹角为,3nn02AB1 cos,2232||n||||n0||10AB 6A16AB6B220,即A13B或3B 平面x3y0或3x-y0为所求.2.下列图形有何特点?画出其图形.(1)2z30;(2)y0;(3)3x4yz0.解:(1)平面平行于xOy面,图形如下图.(2)与xOz面重合,图形如下图.(3)平面过原点,其图形如下图.3.由原点向平面作垂线,垂足为(x0,y0,z0),求此平面的方程.解:连结(x0,y0,z0)点与原点的向量{x0,y0,z0},可作为平面的法向量, 由平面的点法式方程得: x0(xx0)y0(yy0)z0(zz0)0,即 x0xy0yz0zx0y0z0为所求平面方程.4.平面过点A(2,3,0),B(1,1,2)且与向量a(4,5,1)平行,求此平面的方程.解法一:平面的法向量n与AB{3,4,2}与a垂直,ijk naAB45114i5j31k,由点法式方程得342222 14(x2)5(y3)31z0 即14x5y31z430.解法二:设平面的一般式方程为AxByCzD0,将A,B坐标代入,-2A3BD0 并由其法向量{A,B,C}与a垂直可得方程组AB2CD0,4A5BC014AD435 解得BD.4331CD43由此得平面方程:14x5y31z430.5.求以平面xaybzc1与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积.解法一:设原点为O,平面与坐标轴的三个交点为A,B,C,则四面体OABC的体积 V16|abc|,平面ABC上的高为O到平面的距离d11a21b21c2，ABC的面积 S3Vd12bcacab.222222解法二:设所求平面与三个坐标轴的交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c), 则AB{a,b,0},AC{a,0,c},则ABC的面积ijk111 S||ABAC||ab0||bciacjabk||222a0c 12bcacab2222226.平面过点M(2,0,8)且与二平面x2y4z70,3x5y2z30都垂直,求的方程.解法一:所求平面的法向量n与两已知平面的法向量n1,n2都垂直,ijk nn1n212416i14j11k,352 由点法式方程得所求平面方程为 16(x-2)-14y-11(z8)0,即16x-14y-11z-1200.解法二:设所求平面的一般式方程为AxByCzD0,将点M的坐标代入, 由其法向量与两已知平面的法向量n1,n2垂直可得方程组16AD12014解得BD12011CD1202A8CD0 A2B4C03A5B2C0所求平面方程为16x14y11z1200

7.求由平面1:x3y2z50与2:3x2yz30所成二面角的平分面方程.解法一:设平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得: |x-3y2z-5|1413x2yz3114, 从而得所求平面方程为: 2xy3z80,或4x5yz20.解法二:过平面1,2的交线的平面束方程为(3)x(23)y(21)z350. 由于它为1,2的平分面,因此其法向量n与1,2的法向量有相等的夹角.得 |(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|14||n||14||n|| 解得1或1, 因此,所求平面方程为4x-5yz-20或2xy-3z80.习题3.41.对于直线x1 l1:y12,与l2z(1)证明:l1//l2;(2)求l1与l2的距离;(3)求l1与l2所确定的平面方程.解:(1)l1的方向向量s1{1,2,1},l2的方向向量ijk s2210{2,4,2},s22s1,012 s1//s2,得l1//l2.(2)法一:在l2上找一点A(1,-3,0),过该点作垂直于l2的平面(x1)2(y3)z0,即x2yz50, 将l1的参数方程代入 12450, 解得23,从而得平面与l1的交点2xy50:y2z30172 B(,-,-).333 则A与B的距离|AB|233为所求.法二:在l1上找一点C(1,1,0),l2上找一点A(1,-3,0),设AC与l1的夹角为,则s1AC421 cos,而sin,||s1||||AC||26632 则所求距离d||AC||sin3.3(3)法一:在l1上找一点C(1,1,0),l2上找一点A(1,-3,0),则平面的法向量ijk ns1AC121{2,0,2},020 由点法式方程得2(x-1)-2z0,即x-z-10为所求.法二:在l1上找两点C(1,1,0),D(0,3,1),l2上找一点A(1,3,0)

设平面的一般式方程为AxByCzD0,将A,C,D的坐标代入得方程组A3BD0 ABD0解得3BCD0 从而得平面方程xz10.ADB0CD2.证明:二直线2xy3z30 l1:与l2x10y2102xy0:7xz60 相交,并求出l1与l2的交点,夹角以及l1与l2所确定的平面.ijk解法一:l1的方向向量s1213{30,3,21},取s1{10,1,7},1100 在l1上找一点A(21,0,15),l2的方向向量s2{1,2,7}, l2上找一点B(0,0,6)从而得l1与l2的参数式方程x2110 l1:y,l2z157x:y2,令z67211012122 解得12,21,分别代入l1,l2的参数方程得(1,2,1)为l1,l2的交点1919 cosl1,l2coss1,s2,l1,l2arccos,3030 平面的法向量ns1s2{21,63,21} 取n{1,3,1},得平面方程(x-21)3y(z15)0,即x3yz-60.解法二:s1,s2,A,B同上,则由s1,s2,AB0,知l1与l2共面,而s1//s2,l1与l2 相交,将l2的参数式方程代入l1的第一个方程解得1,从而得交点 坐标(1,2,-1),其余同解法一.3.求与平3.求与平面2x-3y-6z140平行,且与坐标原点的距离为5的平面方程.解法一:由已知条件可设平面的一般式方程为2x-3y-6zD0, 原点到平面的距离 d|D|495,得D35,解法二:设原点到平面垂线的垂足为A(x,y,z),由OA与已知平面法向量平行可设5 OA{2k,3k,6k},由||OA||7|k|5,得k,7153010 A的坐标为,,,777 由点法式方程得平面方程 2(x107)-3(y157)-6(z307)0,即2x-3y-6z350.平面方程为2x3y6z350xy4z1204.求点M(3,1,4)关于直线l:的对称点.2xy2z30ij解法一:设对称点的坐标为A(x,y,z),l的方向向量s1121k4{6,6,3}2 取s{2,2,1},过M作垂直于l的平面为:2(x-3)-2(y-1)(z4)0,即 2x-2yz0.在l上找一点B(-5,7,0),得l的参数式方程x2-58 代入平面,得,3y27158x31y15z48 从而l与的交点(，)为MA的中点,即,,,333232323158 从而l与的交点(，)为MA的中点,即333 x321y15z48,,,从而32323

得对称点坐标(-7728，).333x3y1z-4解法二:设对称点为A(x,y,z),由MA的中点(，)在l上及MA222xy4z42 与l的方向向量s{2,2,1}垂直可得方程组2xy2z21,2x2yz07x377728 解得y,得对称点为(，).333328z35.求点P(3,1,2)在直线l:x3t,yt1,zt1上的投影P,并求点P到l的距离d.解法一:过点P作垂直于l的平面,其方程为3(x-3)(y-1)(z-2)0,即3xyz-120,将l的参数式方程代入得9tt-1t1-120,解得t得投影点P的坐标(36,1,23)及P到l的距离d|PP|***1.解法二:设l上任一点的坐标为A(3t,t1,t1),则P,A的距离|PA|(3t3)(t2)(t1)1101122211t24t14,当t36,1,23).21211时,此距离取得最小值即为P到l的距离d,从而得投影点坐标(111111

6.求直线x2y3z50l:的标准方程和在三个坐标面上的投影.2xyz20ijk解:l的方向向量为s123{1,7,5},取s{1,7,5}.211x1y17z15.取l上一点A(0,1,1),得直线标准方程法一:在l的一般式方程中消去z得7x-y10,7x-y10从而得在xOy面上的投影z0在l的一般式方程中消去y得5x-z-10,5x-z-10从而得在xOz面上的投影y0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-120,5y-7z-120从而得在yOz面上的投影x0法二:过l的平面束为(21)x(2)y(-3)z(2-5)0,其中与xOy面垂直的平面1的法向量与k{0,0,1}垂直,得3,从而得1的方程7x-y10,从而得l在xOy面上的投影7x-y105x-z-10,同样方法可得其在xOz面上的投影,在yOz面上的投影z0y05y7z120x0

7.证明:直线l1;x12y23z54与l2;x73y22z12位于同一平面内,并求这平面及两直线间的夹角.x12解法一:l1,l2的参数式方程为y23z5412173110解方程组得,23122222将1代入l1的参数式方程得l1与l2的交点(1,2,5),ijkl1与l2共面,平面的法向量n234{2,16,13},3由点法式方程得平面方程2x-16y-13z310,两直线间的夹角为其方向向量的夹角8cosl1,l2cos(s1,s2)-,493l1,l2arccos.493822x73,y22,z12解法二:在l1,l2上分别取两点A(1,2,5),B(7,2,1),[s1,s2,AB]0,l1与l2共面,设平面一般式方程为AxByCzD0,将A,B坐标代入,且由其法向量与l1的方向向量垂直得方程组2AD31A-2B5CD0167A2BCD0,解得BD,312A3B4C013CD31得平面方程2x-16y-13z310,其余与法一同.8.对于直线l1:x73y44z32与l2:x216y54z21(1)证明:它们不在同一平面上;(2)写出过l2且平行于l1的平面方程.解:(1)法一:l1,l2的参数式方程为x73y44z32x216,y54,z27312162解4415422819得,将1,2代入l1,l2的参数式方程知l1,l2无公共交点.2829而l1//l2,l1与l2不在同一平面上.法二:l1,l2上分别取一点A(7,4,3),B(21,5,2)3则s1,s2,AB628441215070,l1与l2不共面.5(2)法一:取l2上点B(21,-5,2),平面的法向量ijkns1s2342{12,9,36},取n{4,3,12}641由点法式方程得平面方程4x3y12z930在l2上取两点B(21,5,2),C(27,9,1).设平面的一般式方程为AxByCzD0,将B,C的坐标代入,且其法向量与s1垂直可得21A5B2CD0 27A9BCD0,3A4B2C04AD931解得BD,代入得平面方程.4x3y12z930314CD31 复习题三1.设a,b均为非零向量,且||b||1,a,blim||axb||||a||x4,求x0解:ab||a||cos原式lim4222||a||,2(axb)ax0x(||axb||||a||)lim2abxx||b||22x0x(||axb||||a||)2||a||2||a||22.2.设向量r与ai2j2k共线,与j成锐角,且||r||15,求r.解:由于r与a共线,设r{k,2k,2k},||r||3|k|15.得k5,由r与j成锐角,取k5,得r{5,10,10},3.设向量p和向量q3i6j8k与x轴都垂直,且||p||2,求向量p.解:由于p与q和x轴都垂直,p平行于qi6k8j186设p{0,8k,6k},||p||10|k|2,得k,从而p{0,,}.5554.设向量1,2,3两两垂直,且符合右手系规则:||1||4,||2||2,||3||3.计算(12)3.解:由于1,2,3两两垂直,且符合右手系规则,12,30(12)3||12||||3||||1||||2||||3||sin224.5.平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且与平面xyz0垂直,求的方程.解法一:由已知条件,平面的法向量n与M1M2{1,0,2}和n1{1,1,1}均垂直.ijkn1022ijk,由点法式方程得平面方程2x-y-z0.111解法二:设的一般式方程为AxByCzD0,将M1,M2的坐标代入ABCD0由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组BCD0,ABC0

A2B解得CBD0从而得的方程: 2x-y-z0.6.平面过1:2x3yz10与2:xyz0的交线且与平面2垂直,求的方程.解法一:过1,2的平面束方程为(21)x(13)y(1)z0且由其法向量与2的法向量垂直得211-31-0,解得从而得的方程 8x-7y-z30.解法二:化1,2的交线为标准方程x12y13iz25jk315{8,7,1},132,其方向向量s{2,3,5},的法向量nsn121由点法式方程得的方程8x7yz30.解法三:设的一般式方程为:AxByCzD0,在1,2的交线上找两点(1,1,2),(1,2,3),将其代入的方程,且由与2垂直可得方程组8AD3-A-B2CD07A2B3CD0解得BD3ABC01CD3从而得的方程8x7yz307.求点A(1,-2,1)到直线l:x32y13z24的距离.x32t解:法一:将l写成参数方程:y13tz24t点A(1,2,1)到l上一点(32t,13t,24t)的距离为:d(42t)(33t)(34t)22229t58t34229(t1)52最小值为d5,此即点A到l的距离法二:过点A做一平面与l垂直,平面方程为2(x-1)-3(yz)4(z-1)02(x-1)-3(y2)4(z-1)0求平面与直线的交点x3,解得y1z2342故距离为d(-1-1)(22)(21)222x1:y2,z25.8.求过点A(1,2,3)与向量(4,3,1)垂直,并与直线l:直线方程.解:关键是求出待求直线与已知直线l的交点法一:过点A且与向量垂直的平面方程为4(x1)3(y-2)(z-3)0此平面与l的交点应满足:4(x1)3(y-2)(z-3)05510,求得交点为(,,)x1y2z3333211故待求直线方程为:x18y211z31.x12y21z31相交的法二:设待求之交点为(12t,2t,3t),此交点与A的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为0,即(22t,-4t,t)(4,3,1)04(22t)3(-4t)t0t15510交点为(,,)3333x18y211z31.故待求直线方程为:

第四篇：线性代数与空间几何,教学大纲

《线性代数与空间解析几何》A教学大纲

Linear Algebra and Analytic Geometry A

课程编码：09A00110

学分：3.课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：56

其中讲课：56

实验或实践：0

上机：0 适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业

推荐教材：于朝霞 张苏梅 苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.参考书目：

1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.课程的教学目的与任务

线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。

3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。

5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议

本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一 词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解n阶行列式的定义。

2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。3.了解克拉默(Cramer)法则。

[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式的定义 1.2.1 排列与逆序数 1.2.2 n阶行列式的定义 1.3 行列式的性质与计算

1.3.1 行列式的性质 1.3.2 行列式的计算 1.4 克拉默法则习题课

第二章：矩阵及其运算

建议学时：10 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。

3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。

5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。[教学重点与难点]

重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。

难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容]

2.1 矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的概念 2.1.2 矩阵的运算 2.2 逆矩阵 2.2.1逆矩阵的定义 2.2.2 方阵可逆的充要条件 2.3 分块矩阵及其运算 2.3.1 分块矩阵的概念 2.3.2 分块矩阵的运算

2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.4.1 矩阵的初等变换 2.4.2 矩阵秩的概念与求法 2.5 初等矩阵

2.5.1 初等矩阵及其性质 2.5.2 用初等变换求逆矩阵习题课

第三章：向量与向量空间

建议学时：10 [教学目的与要求]

1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。

2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。

3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。

4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。

[教学重点与难点]

重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。

难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的基本概念 3.1.2 几何向量的线性运算 3.2 空间直角坐标系 3.2.1 空间直角坐标系 3.2.2 几何向量的坐标表示 3.2.3 用坐标进行向量运算

3.3 n维向量及其线性运算 3.3.1 n维向量的概念 3.3.2 n维向量的线性运算 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量组及其线性组合 3.4.2 线性相关与线性无关的概念 3.4.3 线性相关性的性质 3.4.4 线性相关性的判定 3.5 向量组的秩

3.5.1 最大线性无关组 3.5.2 向量组的秩

3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 3.6 向量空间

3.6.1 向量空间的概念 3.6.2 坐标变换习题课

第四章：欧氏空间

建议学时：8 [教学目的与要求]

1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。

2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。

[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 4.1 向量的内积

欧氏空间 4.1.1 R3中向量的内积

4.1.2 n维向量的内积

欧氏空间 4.2 标准正交基

4.3 R3中向量的外积和混合积

4.3.1 向量的外积 4.4 R3中的直线与平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空间直线及其方程 4.4.3 位置关系 4.5 空间曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋转曲面 4.5.3 柱面

4.6 空间曲线及其方程 4.6.1 空间曲线的一般方程 4.6.2 空间曲线的参数方程 4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 椭球面 4.7.2 抛物面 4.7.3 双曲面 4.7.4 二次锥面习题课

第五章：线性方程组

建议学时：6 [教学目的与要求]

1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。

[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判 断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 5.1 线性方程组有解的充要条件 5.2 线性方程组解的结构 5.2.1 齐次线性方程组解的结构 5.2.2 非齐次线性方程组解的结构

5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组

5.3.2 线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）习题课

第六章：特征值、特征向量及相似矩阵

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。

[教学重点与难点]

重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。

难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的概念 6.1.2 特征值与特征向量的性质 6.2相似矩阵

6.2.1 相似矩阵的概念及性质 6.2.2 方阵的相似对角化问题 6.3 实对称矩阵及其对角化

6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课

第七章：二次型

建议学时：6 [教学目的与要求]

1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。

2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定义及其矩阵 7.1.2 矩阵的合同 7.2 化二次型为标准形

7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 7.2.2 用配方法化二次型为标准形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的惯性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的应用 7.4.2 二次曲面方程化标准形

习题课

撰稿人：张苏梅

审核人：杨殿武

第五篇：向量代数与空间解析几何

1．向量代数与空间解析几何

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分； 偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

7、一阶线性方程的通解公式；