2017-2018学年华东师大版数学九年级上册3A23.3 相似三角形

第一篇：2017-2018学年华东师大版数学九年级上册3A23.3 相似三角形

23.3相似三角形

1.相似三角形

【知识与技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；

3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；

4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】

在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】

培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】

掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】

熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识

复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？

二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念：

由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？

如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，ABBCAC，那么△ABCABBCAC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”.由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A与A′是对应顶点，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记

ABBCAC=k，那么这个比值k就表示这两ABBCAC个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指

ABAB=k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不ABABABBCAC=1，所ABBCAC是k了，应为多少呢？同学们想一想.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你会发现什么呢？以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？

2.△ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？

【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得判断出△ADE与△ABC相似.AEDEDEAD，通过度量发现，所以可以ACBCBCAB

思考（1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解 1.如图所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.（1）求证：GEAE;GBBC（2）若GE=2,BF=3，求线段EF的长.【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=35.2GEED.又∵ED=AE, GBBC2.（1）证明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴∴GEAE.GBBCGEAE, GBBC（2）设EF的长为x,则由（1）知又∵AEGEGEEF,∴,即 BCGBGBBF2x,解得x1=-6（舍去）,x2=1, 2x33∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后独立完成.四、师生互动，课堂小结

你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？

五、教学反思

本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.2.相似三角形的判定

【知识与技能】

1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 2.掌握相似三角形的判定定理

3：三条边对应成比例的两个三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.【过程与方法】

在推理过程中学会灵活使用数学方法.【情感态度】

培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.【教学重点】

相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.【教学难点】

相似三角形的判定定理的推导及应用.一、情境导入，初步认识

复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.2.如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点（即AD=ABC相似吗？你用的是哪一种方法？

11AB,AE=AC)，那么△ADE与△33

由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？ 【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.二、思考探究，获取新知

同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=

11AB,AE=AC,即是33AD1AE1ADAE,，因此.△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会AB3AC3ABAC对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？

1，将点E由点A开始在AC上31ADAE移动，可以发现当AE=AC时，△ADE与△ABC相似，此时.3ABAC图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？ 【教学说明】引导学生证明上述猜想.【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B′,ABAC.ABAC例1（课本中例4）判断图中△AEB与△FEC是否相似.例2 如图△ABC中，D、E是AB、AC上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:

解：因为AC=AE+CE，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于与△ABC不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.解：小张同学的判断是错误的.ADAE，所以△ADEABAC

因为AD3AE3.91ADAE,,所以，而∠A是公共角，∠A=∠A,所以△ADEAC6AB7.82ACAB∽△ACB.请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？

看课本69页“做一做”.通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似.例3 △ABC和△A′B′C′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm，试判定它们是否相似，并说明理由.三、运用新知，深化理解

1.如图，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由.2.如图，已知ABBCAC,∠BAD=20°，求∠CAE的大小.ADDEAE

【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.四、师生互动，课堂小结

1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.五、教学反思

本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2、3的认识，加深对判定定理的理解.教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力.3.相似三角形的性质

【知识与技能】

会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【过程与方法】

培养学生演绎推理的能力.【情感态度】

感受数学来源于生活，来源于实践.【教学重点】

1.相似三角形中的对应线段比值的推导；

2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导； 3.运用相似三角形的性质解决实际问题.【教学难点】

相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用.一、情境导入，初步认识

复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？

2.在△ABC与△A′B′C′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少?

二、思考探究，获取新知

上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′,相似比为AC=2.AC相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？

一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形，作对应边BC和B′C′边上的高，用刻度尺量一量AD与A′D′的长，AD等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比AD

等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B=∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′,∴

ADAB=k ADAB思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系? 【教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方.同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比.例1 S△AOD.如梯形ABCD的对角线交于点O，DC2,已知S△DOC=4，求S△AOB、AB3

【分析】∵DC∥AB,∴△DOC∽△BOA，由相似三角形的性质可求出S△AOB、S△AOD.解：∵DC∥AB，∴△DOC∽△BOA，三、运用新知，深化理解

1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面为1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为.【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.2.如图,△ABC中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH的长.【答案】1.0.81πm 2.HG=9.6cm;EH=7.2cm 【教学说明】充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.四、师生互动，课堂小结

1.相似三角形对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.五、教学反思

本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手，提出问题继续探究相似三角形的有关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思维.24.相似三角形的应用

【知识与技能】

会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.【过程与方法】

通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.【情感态度】

让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.【教学重点】

构建相似三角形解决实际问题.【教学难点】

把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.一、情境导入，初步认识 复习

1.相似三角形有哪些性质？

2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？

（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）

二、思考探究，获取新知

第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出

金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度.解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA, ∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°, ∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB为137米.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=

BDEC12050=100（米）.CD60答：两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例3 如图，已知D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC.【分析】把等积式化为比例式证明.ADAC,猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以AEAB

证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）.∴ADAE, ACAB∴AD·AB=AE·AC.三、运用新知，深化理解

1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？

【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长.2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？

【答案】1.24m 2.20.8m 【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.四、师生互动，课堂小结

这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？

【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.五、教学反思

本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.

第二篇：九年级数学《相似三角形》说课稿

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了九年级数学《相似三角形》说课稿，希望能给大家带来帮助!

相似三角形说课稿

今天，我的说课将分三大部分进行：

一、说教材;

二、说教学策略;

三、说教学程序。

一、说教材

从教材地位、学习目标、重点难点、学情分析、教学准备五个方面阐述

1、本课内容在教材中的地位

本节教学内容是本章的重要内容之一。本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓广，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是今后研究圆中线段关系的有效工具。

从新课程对几何部分的编写来看，几何知识的结论较之老教材已经大为减少，教材首要关注的不是掌握多少几何知识的结论，相对更重视的是对学生合情推理能力的训练与培养。从这个角度上说，不论是全等还是相似，教材只是将它们作为训练学生合情推理的一个有效素材而已，正因为此，本节课应重视学生有条理的思考及有条理的表达。

2.学习目标

知识与技能方面：

探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题;

过程与方法方面：

培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力。

情感态度与价值观方面：

让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。

3.教学重点、难点

立足新课程标准和学生已有知识经验、数学活动经验，我确立了如下的教学重点和难点。

教学重点：相似三角形、相似多边形的性质及其应用

教学难点：①相似三角形性质的应用;

②促进学生有条理的思考及有条理的表达。

4.学情分析

从七上开始到现在，学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学生顺利完成本节学习内容的一个有利条件。

对相似形的性质的结论，学生是有生活经验与直观感受的。比如说两幅大小不等的中国地图，如果其相似比为2：1，我们在较大的地图上量出北京到南京的图上距离为4cm，问在较小的地图上北京到南京的图上距离是几厘米?学生肯定知道是2cm，这个问题中学生又没有学过相似形的性质，他怎么会知道呢?从中可以看出学生对比例尺的理解实际上是基于生活经验的。再比如说，如果你找一个没学过相似形性质的学生来问他：如果用放大镜将一个小五角星的边长放大到原来的5倍，则这个小五角星的周长被放大到原来的几倍?面积被放大到原来的几倍?这些问题学生基本上能给出较准确的回答。其实这就是学生对相似形性质的一种生活化的直观感受。

大家知道，源于学生原有认知水平和已有生活经验的教学设计才更能激发学生学习的内驱力，从而取得良好的教学效果。所以本节课在教学设计过程中不能把学生当作是对相似形的性质一无所知的，而是应在充分尊重学生已有的生活经验的基础上展开富有成效的教学设计。

5.教学准备

教师：直尺、多媒体课件

学生：必要的学习用具

二、说教学策略

从设计的指导思想、教学方法、学习方法三方面阐述

新课程标准指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者，那么如何让学生在教学过程中真正成为学习的主人，同时教师在教学过程中又引导什么，与学生如何合作?这就是我这节课处理教学设计时的指导思想。为了更好地体现学生主体教师主导的地位，我打算从两条主线进行教学设计：一是从知识研究的大背景出发，结合知识的生长点拓展延伸、合理整合、组织教学;二是从尊重学生已有的知识与生活经验出发，利用学生已有的生活本能体验感受相似形的一系列性质的结论，并在此基础上创设教学情境，组织教学。力图将这两条线索有机融合，行成完整的教学体系。

采取引导发现法进行教学，充分发挥教师的主导作用与学生的主体作用，加强知识发生过程的教学，环环紧扣、层层深入，逐步引导学生观察、比较、分析，用探索、发现的方法，使学生在掌握知识的同时，逐步形成技能。

有一位教育家说过：教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。本节课教给学生的学习方法有：提出问题，感受价值，探究解决的研究问题的基本方法，从特殊到一般的拓展研究方法等。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，逐步训练学生由被动学会变成主动会学。

三、说教学程序

(一)类比研究，明确目标

师：同学们，回顾我们以往对全等三角形的研究过程，大家会发现，我们对一个几何对象的研究，往往从定义、判定和性质三方面进行。类似的我们对相似三角形的研究也是如此。而到目前为止，我们已经对相似形进行了哪些方面的研究呢?

生：已经研究了相似三角形的定义、判别条件。

师：那么我们今天该研究什么了?

生：相似三角形的性质。

设计意图：

从几何对象研究的大背景出发，给学生一个研究问题的基本途径。从而让学生自然明白本节课的学习目标：相似三角形的性质。

(二)提出问题，感受价值，探究解决

师：就你目前掌握的知识，你能说出相似三角形的1-2条性质吗?并说明你的依据。

生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。根据是相似三角形的定义。

师：对于相似三角形而言，边和角的性质我们已经得到，除边角外你认为还有哪些量之间的性质值得我们研究呢?

设计意图：

我们常常会说：提出问题比解决问题更重要。但是作为教师，我们应该清醒地认识到，学生提出问题的能力是需要逐步培养的。此处设问就是要培养学生提出问题的能力。我希望学生能提出周长、面积、对应高、对应中线、对应角平分线之间的关系来研究，甚至于我更希望学生能提出所有对应线段之间的关系来研究。估计学生能提出这其中的一部分问题。如果学生能提出这些问题(如相似三角形周长之比等于相似比等)，就说明他的生活经验的直觉已经在起作用了。如果学生提不出这些问题，说明他的生活直觉经验还没有得到激发，我可以利用前面提到的放大镜问题、大小两幅地图问题等逐步启发，激发学生的一些源自生活化的思考，从而回到预设的教学轨道。

师：对于同学们提出的一系列有价值的问题，我们不可能在一节课内全部完成对它们的研究，所以我们从中挑出一部分内容先行研究。比如我们来研究周长之比，面积之比，对应高之比的问题。

师：为了让同学们感受到我们研究问题的实际价值。我们来看一个生活中的素材：

给形状相同且对应边之比为1：2的两块标牌的表面涂漆。如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆多少听?

师：(1)猜想用多少听油漆?(2)这个实际问题与我们刚才的什么问题有着直接关联?

生：可能猜半听、1听、2听、4听等。同时学生能感受到这是与相似三角形面积有关的问题。

设计意图：从学习心理学来说，如果能知道自己将要研究的知识的应用价值，则更能激发起学生学习的内在需求与研究热情。

师：同学们的猜测到底谁的对呢?请允许老师在这儿先卖个关子。让我们带着这个疑问来对下面的问题进行研究。到一定的时候自然会有结论。

情境一：如图，ABC∽DEF，且相似比为2：1，DE、EF、FD三边的长度分别为4，5，6。(1)请你求出ABC的周长(学生只能用相似三角形对应边成比例求出ABC的三边长，然后求其周长)

(2)如果DEF的周长为20，则ABC的周长是多少?说出你的理由。(通过这个问题的研究，学生已经可以得到相似三角形周长之比等于相似比的结论)

(3)如果ABC∽DEF，相似比为k：1，且DEF三边长分别用d、e、f表示，求ABC与DEF的周长之比。

结论：相似三角形的周长之比等于相似比。

情境二：

师：相似三角形周长比问题研究完了，下面我们该研究什么内容了?

生：面积比问题。

师：那么对于相似三角形的面积比问题你打算怎样进行研究?请你在独立思考的基础上与小组同学一起商量，给出一个研究的基本途径与方法。

设计意图：人类在改造自然的过程中，会遇到很多从未见过的新情境、新课题。当我们遇到新问题的时候，确定研究方向与策略远比研究问题本身更有价值。如果你的研究方向与研究策略选择错误的话，你根本就不可能取得好的研究成果。而这种确定研究问题基本思路的能力也是我们向学生渗透教育的重要内容。所以对于相似三角形面积比的研究，我认为让学生探索所研究问题的基本走向与策略远比解题的结论与过程更有价值。

(师)在学生交流的基本研究方向与策略的基础上，与学生共同活动，作出两个三角形的对应高，通过相似三角形对应部分三角形相似的研究得到相似三角形的对应高之比等于相似比的结论。进而解决相似三角形的面积比等于相似比的平方的问题。体现教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回归生活

拓展研究一：由相似三角形对应高之比等于相似比，类比研究相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的性质;(留待下节课研究，具体过程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多边形研究

师：通过上述研究过程，我们已经得到相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。那么这些结论对一般地相似多边形还成立吗?下面请大家结合相似五边形进行研究。

情境三：如图，五边形ABCDE∽五边形A/B/C/D/E/，相似比为k，求其周长比与面积之比。

说明：对于周长之比，可由学生自行研究得结论。对于面积之比问题，与前面一样，先由学生讨论出研究问题的基本方向与策略转化为三角形来研究。然后通过师生活动合作研究得结论。

拓展结论1：相似多边形的周长之比等于相似比;

相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

(结合相似五边形研究过程)

拓展结论2：相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比;

相似多边形中对应对角线之比等于相似比;

进而拓展到：相似多边形中对应线段之比等于相似比等。回归生活一：

师：通过前面的研究，我们得到了有关相似形的一系列结论，现在让我们回头来看前面的标牌涂漆问题。你能确定是几听吗?如果把题中的三角形条件改成更一般的相似形你还能解决吗?

回归生活二：(以师生聊天的方式进行)

其实我们生活中对相似形性质的直觉解释是正确的，线段、周长都属于一维空间，它的比当然等于相似比，而面积就属于二维空间了，它的比当然等于相似比的平方了，比如两个正方形的边长之比为1：2，面积之比一定为1：4。甚至在此基础上我们也可以想像：相似几何体的体积之比与相似比的关系是什么?

生：相似比的立方。

设计意图：新课程标准指出数学教学活动要建立在学生已有生活经验的基础上---;教育心理学认为：源于学生生活实际的教育教学活动才更能让学生理解与接受，也更能激发学生的学习热情，从而导致好的教学效果;于新华老师在一些教研活动中曾经说过：源于学生的生活经验与数学直觉来展开教学设计，构建知识，发展能力，最终还要回到学生的生活经验理解上来，形成新的数学直觉。这才是教学的最高境界。

而我的设计还有一个意图就是向学生渗透从生活中来回到生活中去的思想，让学生体会学好数学的重要性。

(四)操作应用，形成技能

课内检测：

1.已知两上三角形相似，请完成下面表格：

相似比 2

对应高之比 0.5

周长之比 3 k

面积之比 100

2.在一张比例尺为1：2000的地图上，一块多边形地区的周长为72cm,面积为200cm2，求这个地区的实际周长和面积。

设计意图：落实双基，形成技能

(五)习题拓展，发展能力

已知，如图，ABC中，BC=10cm，高AH=8cm。点P、Q分别在线段AB、AC上，且PQ∥BC，分别过点P、Q作BC边的垂线PM、QN，垂足分别为M、N。我们把这样得到的矩形PMNQ称为△ABC的内接矩形。显然这样的内接矩形有无数个。

(1)小明在研究这些内接矩形时发现：当点P向点A运动过程中，线段PM长度逐渐变大，而线段PQ的长度逐渐变小;当点P向点B运动的过程中，线段PM逐渐变小，而线段PQ的长度逐渐变大，根据此消彼长的想法，他提出一个大胆的猜想：在点P的运动过程中，矩形PQNM的面积s是不变的。你认为他的猜想正确吗?为什么?

(2)在点P的运动过程中,矩形PMNQ的面积有最大值吗?有最小值吗?

答： 最大值，最小值(填有或没有)。请你粗略地画出矩形面积S随线段PM长度x变化的大致图象。

(3)小明对关于矩形PMNQ的面积的最值问题提出了如下猜想：

①当点P为AB中点时，矩形PMNQ的面积最大;

②当PM=PQ时，矩形PMNQ的面积最大。

你认为哪一个猜想较为合理?为什么?

(4)设图中线段PM的长度为x，请你建立矩形PQNM的面积S关于变量x的函数关系式。

设计意图：将课本基本习题改造成发展学生能力的开放型问题研究，体现了课程整合的价值。

(六)作业(略)

另外值得一提的是：本节课对学生的评价，更多的应关注对学生学习的过程性评价。在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平。在学生回答时，我通过语言、目光、动作给予鼓励与表扬，发挥评价的积极功能。尤其注意鼓励学有困难的学生主动参与学习活动，发表自己看法，肯定他们的点滴进步。

第三篇：【华东师大版】九年级数学上册教案23.3.2相似三角形的判定一

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23.3 相似三角形

23.3.2 相似三角形的判定（1）

教学目标：

1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似.2．会用这种方法判断两个三角形是否相似.教学过程：

一、复习

1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似? 根据定义：对应角相等，对应边成比例.3．如图△ABC与△A′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法.二、新课讲解

同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似.(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”.是这样吗?请同学们动手试一试：

1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.教学资料

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2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果.3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?

这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：

如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢? 例题：

1．如图，两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似.2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗? 3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.三、练习

1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由.和你的同伴交流作法是否一样?

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四、小结

本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两个三角形相似.五、作业 P67练习1，2

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第四篇：2015年秋九年级数学上册 23.3.1 相似三角形教案 (新版)华东师大版

相似三角形

1.相似三角形

【知识与技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；

3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；

4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】

在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】

培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】

掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】

熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识

复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？

二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念：

由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？

如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，ABBCAC，那么△ABCABBCAC1

与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”.由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A与A′是对应顶点，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记

ABBCAC=k，那么这个比值k就表示这两ABBCAC个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指

ABAB=k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不ABABABBCAC=1，所ABBCAC是k了，应为多少呢？同学们想一想.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你会发现什么呢？以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？

2.△ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？

【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得判断出△ADE与△ABC相似.AEDEDEAD，通过度量发现，所以可以ACBCBCAB

思考（1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.2

【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解 1.如图所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.（1）求证：GEAE;GBBC（2）若GE=2,BF=3，求线段EF的长.3

【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=35.2GEED.又∵ED=AE, GBBC2.（1）证明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴∴GEAE.GBBCGEAE, GBBC（2）设EF的长为x,则由（1）知又∵AEGEGEEF,∴,即 BCGBGBBF2x,解得x1=-6（舍去）,x2=1, 2x33∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后独立完成.四、师生互动，课堂小结

你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.

第五篇：九年级数学上册《相似三角形的应用》学案分析

九年级数学上册《相似三角形的应用》

学案分析

【教材分析】

（一）教材的地位和作用

《相似三角形的应用》选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书中数学九年级上册第二十七章。相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换，生活中存在大量相似的图形，让学生充分感受到数学与现实世界的联系。相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化。在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定，这为本节课问题的探究提供了理论的依据。本节内容是相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求。

（二）教学目标

、。知识与能力：）

进一步巩固相似三角形的知识．

2）能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题．

2．过程与方法：

经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

3．情感、态度与价值观：）通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学于生活，服务于生活。

2）通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。

（三）教学重点、难点和关键

重点：利用相似三角形的知识解决实际问题。

难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。

关键：将实际问题转化为数学模型，利用所学的知识来进行解答。

【教法与学法】

（一）教法分析

为了突出教学重点，突破教学难点，按照学生的认知规律和心理特征，在教学过程中，我采用了以下的教学方法：

．采用情境教学法。整节课围绕测量物体高度这个问题展开，按照从易到难层层推进。在数学教学中，注重创设相关知识的现实问题情景，让学生充分感知“数学于生活又服务于生活”。

2．贯彻启发式教学原则。教学的各个环节均从提出问题开始，在师生共同分析、讨论和探究中展开学生的思路，把启发式思想贯穿与教学活动的全过程。

3．采用师生合作教学模式。本节课采用师生合作教学模式，以师生之间、生生之间的全员互动关系为课堂教学的核心，使学生共同达到教学目标。教师要当好“导演”，让学生当好“演员”，从充分尊重学生的潜能和主体地位出发，课堂教学以教师的“导”为前提，以学生的“演”为主体，把较多的课堂时间留给学生，使他们有机会进行独立思考，相互磋商，并发表意见。

（二）学法分析

按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，在本节课的学习过程中，采用自主探究、合作交流的学习方式，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，运用所学知识解决实际问题，启发学生从书本知识到社会实践，学以致用，力求促使每个学生都在原有的基础上得到有效的发展。

【教学过程】

一、知识梳理、判断两三角形相似有哪些方法?）定义:

2）定理:

3）判定定理一:

4）判定定理二:

5）判定定理三:

2、相似三角形有什么性质？

对应角相等，对应边的比相等

（通过对知识的梳理，帮助学生形成自己的知识结构体系，为解决问题储备理论依据。）

二、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所降低。

古希腊，有一位伟大的科学家泰勒斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及大金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶的。亲爱的同学，你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

（数学教学从学生的生活体验和客观存在的事实或现实课题出发，为学生提供较感兴趣的问题情景，帮助学生顺利地进入学习情景。同时，问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能够激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。）

三、例题讲解

例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）

《相似三角形的应用》教学设计

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：略（见教材P49）

问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50练习­——测量河宽问题）

《相似三角形的应用》教学设计《相似三角形的应用》教学设计

分析：设河宽AB长为xm，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有，即《相似三角形的应用》教学设计．再解x的方程可求出河宽．

解：略（见教材P50）

问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？

解法二：如图构造相似三角形（解法略）．

四、巩固练习

．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?

2．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处c看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处c的距离是40米.求塔高?

五、回顾小结

一）相似三角形的应用主要有如下两个方面

测高

测距

二）测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决

三）测距的方法

测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解

（落实教师的引导作用以及学生的主体地位，既训练学生的概括归纳能力，又有助于学生在归纳的过程中把所学的知识条理化、系统化。）

六、拓展提高

怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?

七、作业

课本习题27.2

0题、11题。

【教学设计说明】

相似应用最广泛的是测量学中的应用，在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解。鉴于这一点，我设计整节课围绕测量物体高度这个问题展开，通过一个个问题的解决，一方面，促使学生了解测量物体高度的方法，从而学会设计利用相似三角形解决问题的方案；另一方面，会构造与实物相似的三角形，通过对实际问题的分析和解决，让学生充分感受到数学与现实世界的联系，教学中既发挥教师的主导作用，又注重凸现学生的主体地位，“以学生活动为中心”构建课堂教学的基本框架，以“探究交流为形式”作为课堂教学的基本模式，以全面发展学生的能力作为根本的教学目标，最大限度地调动学生学习的积极性和主动性。