大学中常用不等式

第一篇：大学中常用不等式

大学中常用不等式,放缩技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi 若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi 三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n 4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n 6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4 四：一些重要极限

(书上有，但这些重要极限需熟背如流)

假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）LHopital 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 2 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

（从网上发现，谢谢总结者)

大学中常用不等式,放缩技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi 若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi 三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n 4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n 6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4 四：一些重要极限

(书上有，但这些重要极限需熟背如流)10

第二篇：大学中常用的不等式

大学中常用不等式,放缩技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n 6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第三篇：大学数学中不等式的证明方法

龙源期刊网 http://.cn

大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2013）01－0076－02

第四篇：考研数学中的不等式证明

考研数学中的不等式证明

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．

关键词：考研数学不等式中值定理幂级数

（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用． 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．

例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

(2)设bae，证明ab ba

xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，f(x)ax，f(a)0，然后证明

在xa时，f(x)0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．

证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna

lnblna lna

lnblnalna baa

1lna，其中eablnabaa

1

1lna，其中eab． a

原命题得证．

证：Ⅱ 利用微分中值定理，abeblnaalnb









blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a

1

lna，（1b）a

原命题得证．

证明Ⅲ 利用幂级数展开：

设bax，原不等式等价于

aaxa (ax)aaaax(a)x

xa(1

而 xa)，a

ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()()． aa2!an!a

a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通过比较以上两个级数可知原na

不等式成立．

对于不等式a(1

一下．

例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a

设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2)． 证：不妨设x1x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1)

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1x2)(x2)x10

f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减．原不等式得证．

例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

论证：当x0时,(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx

证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22

(x1)lnx1 x1

(x1)lnx(11)ln11，（柯西中值定理）x1

ln(1)

1，（介于1与x之间）

1ln0． 当1时，上式显然成立；当01时，我们可以证明，

命题得证．

例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）

(15)设eabe2，证明lnblna

22224(ba)． 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e

142ln2，(eabe2)e

1

ln2，2e

因为eabe2，所以，lnelne222． eee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）

证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa．

证：令f(x)xsinx2cosxx

bsinb2cosbbasina2cosaa

f(b)f(a) 0

f(b)f(a)0 ba

f()cossin0，0ab

令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0．

原命题得证．

例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题

(1)比较1

0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。01

解：因为lnt[ln(1t)]n

tnlnt[ln(1t)]n tn

[ln(1t)nln(1t)ln(10)n][]（拉格朗日中值定理）tt0

()1，0t1，1n



所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1

0lntt)]dtn10tnlnt。

例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）

1xx2

cosx1，(1x1)．证明：xln1x2

证：原不等式等价于：

x2

x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2

xx2

（仅当x0时取等号）x[ln(1x)ln(1x)]2sin222

[ln(1x)ln(1x)]1（当x0时）2xxx2sin222

11111，（柯西中值定理，其中0x1），sinx

21，0x1 2(sin)(1)x

因为(sin)(12)22x，所以不等式成立．

利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立．

综上所述，原不等式成立．

xx例8 证明：当x0时，xe1xe．

证：当x0时，ex1xxe1xe1e xxx

exe0

1ex，（利用柯西中值定理）x0

1eex，其中0x．

原不等式成立．

例9 证明：当0x

2时，sinxtanx2x．

证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x

sinxtanx(sin0tan0)2 x0

cossec22（柯西中值定理）1

cossec22，因为

cossec2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

2，

第五篇：导数在不等式中的应用

指导教师：杨晓静

摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。

关键字：导数的应用不等式证明方法

引言

不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。

拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f()'f(b)f(a)

ba 应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)f(a)M(ba)或 证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。

（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)f(a)f()(ba)，(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)M，xa,b，则由上述等式得到不等式

f(b)f(a)M(ba)，或由的不确定性，计算出若f'(x)的取值范围m,M,xa,b,则进而有不等式m(ba)

例：证明nbn1f(b)f(a)M(ba)(ab)ab

nnnnan1(ab)证明：构造函数f(x)x，则显然f在区间b,a上满足拉格朗日中值定理，且

f(x)nx

nn'n1，n1有abn(ab)，又