高数1.3教案

第一篇：高数1.3教案

§１.３ 数列的极限

函数研究两个变量的对应关系，而极限则是研究自变量变化时，因变量的变化趋势。

一.极限思想―割圆术：用圆内接正多边形面积逼近圆面积

圆内接正六边形面积记为A1

十二 A2

二十四 A3

62n1 AnnN

A1,A2,,An,构成一列有次序的数――数列.n→大，AnA(圆面积)。不论n如何大，只要n取定, AnA.设想n，即内接正多边形边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形的面积无限接近于圆，同时An→确定的数值（即圆的面积）数学上就称为的极限（n）。

极限方法是高数中一个基本方法。

二.数列的极限定义――xnfn，D为正整数。

1.第一种定义:当项数n无限增大时，如果xn无限接近于一个确定的常数a，则称当n无限增大时xn的极限是a.2.“N”def 当0，不论它多么小，总N0,对于nN的一切xn，恒有xna成立，则limxna.如果数列没有极限，就称是发散的。

n *1.是任意给定（任意性）

*2.N与有关，随给定而选定，一般地越小，N越大，N大到何种程度，取决于使xna成立时xn的项数n的取值，定义中仅要求N有关，并不一定要找出最小的自然数N.*3几何意义：nN时，所有的xn都落在a,a内，即数列只有有限个（最多只有N个）在区间之外。*4利用定义不能直接求极限。

三.极限的证明

1例1 证明lim(1)1

n1n1111，n1 证：0，要使11n1n1111取N[1],则当nN时,有1, 1n1n1 ∴lim(1)1

n1n limxna的证明步骤：

n 1)给定0

2)要使xna,解出NN()3)取N，即N.4)当nN时，有xna

5)下结论。n!例2 证明 limn0

nnn!证：0，要使n0＜，nn!nn111只要n0＝

nnnnnn!11取 N[],则当nN=[]时，有n0

nn!∴limn0 nn 例3 证明.limnn1n0 n1n

证：0，要使只要111,n2

4n1n2n1取N[2]

则当nN时有n1n, 4∴limnn1n0.2n1 例4 设q1，证明等比数列1,q,q,,qn1,的极限是0。

 证：01∵xn0qln取自然对数，解得∴n1，lnqlnn1]，则当nN时有xn0q 取N[1lnq limqnn10。

四.收敛数列的性质

1.极限的唯一性

定理１ 数列不能收敛于两个不同的极限。2.有界性

（1）有界概念：数列xn，若M0，对一切xn有xnM，称xn有界。

（2）收敛数列的有界性

定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

若xn无界xn发散。xn有界，则不一定收敛。

如xn1n1,即1,1,1,1,,1n1,

∴数列有界是收敛的必要条件，非充分条件。3.收敛数列与子数列的关系

子数列：在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的次序，得到的一个数列为原数列xn的子数列。xn

k定理3 若xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

小结：本节介绍了数列极限的定义，理解利用定义证明数列的极限，知道收敛数列的有关性质。



第二篇：高数1.3教案

高

等

数

学

第三次课

教学内容：函数的极限，无穷小，无穷大 教学目的：（1）正确了解函数极限的概念，了解用（xx0)与X（x)语言验证函数极限的步骤。

（2）了解无穷小概念及其与函数极限的关系

（3）了解无穷小与无穷大的关系，函数的左右极限与函数极限的关系 教学重点：函数极限的定义、无穷小的概念 教学难点：函数极限的定义 教学关键：函数极限的定义 教学过程：

一、由数列极限引入函数极限

根据自变量情况的不同，函数的极限分为两类：

（x)（1）自变量趋于无穷大的函数的极限（2）自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

二、定义

1、自变量趋于有限值的函数极限（xx0)

定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|xx0|时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当（xx0)时的极限，记做xx0limf(x)A或f(x)A（当xx0)

说明：

1、对于给定的0，不唯一

2、f(x)在x0有无极限与有无定义无关

（2x3)5 例

1、limx1证明：0,要使|2x35|,|2x35|2|x1|，只要2|x1|,即|x1|例

2、证明极限limx4

x222，0,取2当0|x1|时有|2x35|，得证。

证明：0,要使|x4| 2考虑x2时x2的变化趋势，故不妨设1

只要5|x2|,即|x2〈|

50,取min{1,},当0|x2|时，有|x24|得证

5左极限与右极限

（1）当x从x0的左边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当 xx0的左极限，记作xx0limf(x)A或f(x00)A

第 1 页

2013-4-11 徐屹

高

等

数

学

（2）当x从x0的右边趋于x0时，f(x)A，则称A为f(x)当 xx0的右极限，记作xx0limf(x)A或f(x00)A

xx0f(x00)A 结论：limf(x0)Af(x00）（x)

2、自变量趋于无穷大时函数的极限x的三种情况：x

（x0）

x

（x0）

x

（|x|)

定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

limf(x)A，或f(x)A（当x)

x定义：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多小），总存在着正数X，使得当 x满足不等式x>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)A|，那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作

xlimf(x)A，或f(x)A（当x)

说明：类似可以定义函数的左极限

sinx0

xxsinxsinxsinx10|，|0|||证明：0,要使| xxx|x|11只要,即|x|

|x|1sinx0,取X当|x|X时有，|0| 所以得证

x例：利用极限定义证明lim

三、函数极限的性质

1、（唯一性）如果limf(x)存在，则此极限唯一。

xx02、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常数M>0,和0，使得当0|xx0|时有xx0|f(x)|M

证明：因为limf(x)=A，所以取xx01，则0,当0|xx0|时，有|f(x)A|1|f(x)||f(x)A||A||A|1 记M=|A|1，则得证

3、（局部保号性）如果limf(x)=A而且A>0（或A<0）,那么存在常数0，使得当

xx00|xx0|时，有f(x)>0(或f(x)0)徐屹

第 2 页

2013-4-11

高

等

数

学

说明：由此定理可以得到更强的结论：

如果limf(x)=A（A0），那么就存在着x0的某一去心邻域U(x0)，当xU(x0)时，就有xx0oo|A| 20f(x)0），而且limf(x)A，推论：如果x0的某一去心邻域内f(x)（或那么A0或（A0）|f(x)|xx0函数极限与数列极限的关系：如果limf(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数xx0列，且满足：xx0(nN)，那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf(xn)limf(x)

nxx0证明：设limf(x)=A，则0,0,当0|xx0|时有，|f(x)A|<，xx0又因limxnx0,故对0,N,当nN时，有|xnx0|

n由假设，xnx0,。故当nN时，0|xx0|，从而|f(xn)A|，即limf(xn)A

n

四、无穷小与无穷大

1、无穷小：如果函数f(x)当xx0或（x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当xx)时的无穷小。0或（x如x0时：x2,sinx,tgx,1cosx为无穷小 如x时，,e1xx2为无穷小

说明：1任何一个非零常数都不是无穷小量

2一个函数是否为无穷小量，与自变量的变化趋势有关

定理

1、在自变量的同一变化过程xx0或（x)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+，其中是无穷小。

2、无穷大

设函数f(x)在x0的某一去心邻域有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0|xx0|（或|x|X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大。注意：无穷大与很大数的区别

3、无穷小与无穷大的关系

定理：在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1为无穷小：反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)f(x)0，则1为无穷大 f(x)2例：当x0时，x5为无穷小，1为无穷大。2x5说明：此定理只使用于同一变化过程。

徐屹 第 3 页 2013-4-11

第三篇：高数1.1教案

第一章：函数与极限

教学目的 1。正确理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式； 2． 正确理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形。教学重点 分段函数，复合函数，初等函数。教学难点 有界性，初等函数的判断。教学内容： 前言

名称：高等数学

教学过程一学年

主要内容：一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程。教学目的：掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法，培养学生的空间想象能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。为学生进一步学习数学打下一定的基础，还要为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,}

2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB}

C全集I、E

补集A：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)

分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)对偶律

(AB)cAcBc

(AB)cAcBc 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)

闭区间

a,b 半开半闭区间

a,ba,b

有限、无限区间

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径

去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射

1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x),xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

13)符号函数 yx00 1x0

4)取整函数 yx

（阶梯曲线）5)分段函数 yx02x1x0x1x1

2、函数的几种特性

1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）

3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f函数与反函数的图像关yx于对称

1(y)x，称此映射f1为f函数的反函数

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1)幂函数：yx

2)指数函数：ya

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

ysin(x),y

5)反三角函数

axcos(x),ytan(x),ycot(x)

yarcsin(x)，yarccox)s(yarctan(x)yarccot(x)

以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

exexexex

shx

chx

22shxexexthxxchxeex

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：

yarchx yarthx

第四篇：高数级数的教案

第75、76课时：

【教学目标与要求】

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2．熟练掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 2．掌握几何级数收敛与发散的条件。

【教学重点】

1、常数项级数收敛、发散的概念及几何级数；

2、级数的基本性质及收敛的必要条件。

【教学难点】

级数的基本性质及收敛的必要条件。

§12 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

1．常数项级数的定义

给定一个数列

u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式u1  u2  u3     un    叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为un 即

n1

n1unu1u2u3    un    

其中第n项u n 叫做级数的一般项

2．级数的部分和 作级数un的前n项和snuiu1u2u3    un

n1i1n称为级数un的部分和

n1

3． 级数敛散性定义 如果级数un的部分和数列{sn}有极限s 即limsns

n1n则称无穷级数un收敛 这时极限s叫做这级数的和

n1并写成

sunu1u2u3    un    

n1如果{sn}没有极限 则称无穷级数un发散

n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值

n1n1

rnssnun1un2    叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

n0aqnaaqaq2    aqn    的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

当|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a,|q|1综上所述，级数aqn1q

n0|q|1提醒学生一定要熟练记住上述结论！

例2 证明级数

123  n   是发散的

证 此级数的部分和为

sn123    nnn(n1)

2显然 limsn 因此所给级数是发散的

例3 判别无穷级数

的收敛性

提示 un111    1   

122334n(n1)111

n(n1)nn

1二、收敛级数的基本性质

性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也n1n1收敛 且其和为ks

性质2 如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks

n1n1

性质3 如果uns 则kunks

n1n1

性质4 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

性质5 如果uns、vn 则(unvn)s

n1n1n1

性质6

在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)级数100001111        也是收敛的

122334n(n1)级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质7 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和n1不变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

（11)+（11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件

性质8 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例

4证明调和级数

n1n123    n    是发散的 111调和级数的敛散性也必须要记熟！

证： 假若级数1收敛且其和为s s是它的部分和

nnn1nn显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

n

但另一方面

s2nsn11    111    11

n1n22n2n2n2n21必定发散

n1n故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n小结

1.常数项级数及其敛散性的概念； 2.常数项级数的性质；

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解，尤其要熟练的记住等比级数与调和级数的敛散性。

师生活动设计P255:3（2）4（1）（2）（3）作业 P255: 3(3)；4(4),(5)

第77、78、79、80、81、82课时：

【教学目标与要求】

1．熟练掌握正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件。2．熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法。3．理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，记住绝对收敛与条件收敛的关系。

【教学重点】

1．正项级数的审敛法（比较判别法、比值判别法、根值判别法和极限判别法），熟练掌握p级数收敛与发散的条件；

2．交错级数的莱布尼茨判别法；3.任意项级数绝对收敛与条件收敛 【教学难点】

1、比较判别法的极限形式；

2、任意项级数敛散性的判别。

第五篇：1.3能被2,5整除的数教案

课题:1.3能被2，5整除的数（第一课时）

一、教学目标

1.经历观察与思考，概括出能被2，5整除的数的特征，并会运用判断一个正整数能否被2，5整除;2.经历观察与思考，概括出能同时被2，5整除的数的特征;3.理解奇数与偶数的意义.二、教学重、难点

教学重点: 掌握能被2、5整除的数的特征

教学难点：发现奇数、偶数的一些规律，并会灵活运用

三、教学过程 1.复习导入

通过昨天的学习,我们知道了

(1).因数和倍数的定义______________(2).一个整数的因数有_____个,最小因数是_____,最大因数是________;(3).一个整数的倍数有_____个,最小因数是_____,无最大倍数.(4).倍数和因数是相互存在的.2.请写出15个2的倍数,并观察这些数由什么规律？

规律:2的倍数,个位数字为0,2,4,6,8 ,能被2整除,偶数(even number)请同学对比归纳,奇数的定义? 不是2的倍数,个位数字为1,3,5,7,9,不能被2整除,奇数(odd number)正整数 奇数 偶数

3、请写出4个5的倍数,并观察这些数由什么规律？ 规律：5的倍数，各位数字为0或5，能被5整除 2.课堂练习

（1）请把下列各数填入相应的圈内：15、40、53、264、376、540、1001 奇数 偶数 5的倍数

（2）完成书P10，练习1.3③，并概括能同时被2、5整除的数的特征。注：可以把题目铺垫下

改为：能被2整除的数有：_____________________;能被5整除的数有:_______________________;能被2和5同时整除的数有: ______________________.再介绍”韦恩”图

【推论】同时能被2、5整除的数，一定能被10整除。

（3）最值问题：

1）写出能被2整除的最大两位数 2）写出能被2整除的最小两位数 3）写出5的倍数中最小的三位数 4）写出5的倍数中最大的三位数

（4）一个数为2012，1）至少减去什么正整数，是奇数？ 2）至少加上什么正整数，是5的倍数？ 3）至少乘以什么正整数，能同时被2、5整除？

四、挑战

“转糖盘”是一个固定不动的圆盘，盘面被平分为10格（如图）。在偶数格内放一块糖，在奇数格内放上值钱的物品。某人给摊主5角钱，即可沿着顺时针方向转动圆盘一次。圆盘停转后，指针指到哪一格，摊主便依据该格的数顺着圆盘转动方向从下一格起数格，数到哪一格，该格中的物品就归这个人。例如：指针停在3，则从4起再数3格，即第6格中的物品就是奖品.实际上，不管您怎么转，永远都拿不到奇数格中的物品。请你试着填写下列表格，看看你的奖品是什么.为什么呢？

五、作业 1.《堂练》5-6 2.挑战题