人教版数学选修2—1作业本答案与提示

第一篇：人教版数学选修2—1作业本答案与提示

人教版数学选修2—1作业本答案与提示

第一章 常用逻辑用语

1．1．命题及其关系 1．1．1命题 1．1．2 四种命题

1．C 2．C 3．D 4．若A不是B的子集，则A∪B≠B 5．① 6．逆 7．(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数．真命题

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．假命题 8．原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交．

逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行．

否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交．

逆否命题：在平面中?若两条直线相交，则这两条直线不平行。

以上均为真命题

9．若ab≠0，则a，b都不为零．真命题

10．逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)，则a+b＜0，真命题．证明略 11．甲

1．1．3 四种命题间的相互关系

1．C 2．D 3．B 4．0个、2个或4个 5．原命题和逆否命题 6．若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数；真 7．逆命题：若a^2＝b^2，则a＝b．假命题．

否命题：若a≠b，则a^2≠b^2．假命题．

逆否命题：若a^2≠b^2，则a≠b．真命题

8．用原命题与逆否命题的等价性来证．假设a,b,c都是奇数，则a^2,b^2,c2也都是奇数，又a^2+b^2=c^2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a，b，c不可能都是奇数 9．否命题：若a^2+b^2≠0，则a≠0或b≠0．真命题．

逆否命题：若a≠0，或b≠0，则a2+b2≠0．真命题 10．真

┌(4a)2一4(一4a+3)＜0，11．三个方程都没有实数根的情况为┤(a－1)2一4a2＜0，=>－3/2＜a＜－l └4a2+8a＜0 所以实数a的取值范围a≥一l，或a≤－3/2 1．2 充分条件与必要条件 1．2．1 充分条件与必要条件

1．A 2．B 3．A 4．(1)≠>(2)≠>(3)≠>(4)≠> 5．充分不必要 6．必要不充分 7．“c≤d”是“e≤f”的充分条件 8．充分条件，理由略 9．一元二次方程ax^2+2x+l＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a＜0 10．m≥9 11．是 1．2．2 充要条件

1．C 2．B 3．D 4．假；真 5．C和D 6．λ+μ=1 7．略 8．a=－3 9．a≤l 10．略 11．q=－1，证明略 1．3 简单的逻辑联结词 1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)

1．A 2．C 3．C 4．真 5．①③ 6．必要不充分

7．(1)p:2＜3或q:2=3；真(2)p:1是质数或q:1是合数；假(3)非p,p:0∈φ；真

(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分；真

8，(1)p∧q:5既是奇数又是偶数，假；p∨q:5是奇数或偶数，真；┑p:5不是偶数，真

(2)p∧q:4＞6且4+6≠10，假；p∨q:4＞6或4+6≠10，假；┑p:4≤6，真

9．甲的否定形式：x∈A，且x∈B；乙的否命题：若(x－1)(x－2)＝0，则x=1，或x=2 10．m＜－l 11．(5/2，+∞)1．4 全称量词与存在量词 1．4．1 全称量词 1．4．2 存在量词

1．D 2．C 3．(1)真(2)真 4，③

5．所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和 6．若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真

7．(1)x，x^2≤0(2)对x，若6｜x则3｜x(3)正方形都是平行四边形 8．(1)全称；假(2)特称；假(3)全称；真(4)全称；假 9．p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假；

p∨q:有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真；

┑p:所有实数的绝对值都不是正数，假

10．(1)存在，只需m＞一4即可(2)(4，+∞)11．a≥一2 1．4．3 含有一个量词的命题的否定

1．C 2．A 3．C 4．存在一个正方形不是菱形 5．假 6．所有的三角形内角和都不大于180°

7．(1)全称；┑p假(2)全称；┑p假(3)全称；┑p真

8．(1)┑p:存在平方和为0的两个实数，它们不都为0(至少一个不为0)；假 ⑵┑p: 所有的质数都是偶数；

假(3)┑p:存在乘积为0的三个实数都不为0；假 9．(1)假(2)真(3)假(4)真 10．a≥3 11．(一√2，2)单元练习

1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D 11．5既是17的约数，又是15的约数：假 12．[1，2)13．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角 14．充要；充要；必要 15．b≥0 16．既不充分也不必要 17．①③④ 18．a≥3 19．逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；

否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；

逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真； 命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假 20．充分不必要条件

21．令f(x)= x^2+(2k一1)x+k^2，方程有两个大于1的实数根

┌ △=(2k2－1)－4k2≥0，<=>┤ －＞1，即是k＜－2，所以其充要条件为k＜－2．

└ f(1)＞0，22．(－3，2] 10．a√3/3

第二篇：人教数学数学选修不等式选讲简介

人教数学（A版）培训手册之三十九──“不等式选讲”简介

人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的。根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用

一、内容与要求1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）证明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）证

明：

≥。4．用22222参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：5．用向量递归方法讨论排序不等式。6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

二、内容安排 本专题内容分成四讲，结构如下图所n

示：

本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．第一讲是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础．

本讲的第一部分类比等式的基本性质，从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．

绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题

对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。教科书引导学生探讨了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的问题，介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法． 比较法是证明不等式的最基本的方法，比较法可以分为两种，一种是相减比较法，它的依据是：

另一种是相除比较法，是把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系，它的依据是：当b＞0

时，在比较法的两种方法中，相减比较法又是最基本而重要的一种方法。在证明不等式的过程中，根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类，证明方法又可以分为分析法和综合法。在证明不等式时，可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件，从而证明不等式的方法就是分析法．证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发，即假设要证明的结论不成立，经过正确的推理，得出矛盾结果，从而说明假设错误，而要证的原不等式结论成立

在证明不等式的过程中，有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的，这就是所谓的放缩法． 教科书对以上方法都结合实例加以介绍。本讲内容对进一步

讨论不等式提供了思想方法的基础． 本讲的教学内容中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。第三讲是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它们的简单应用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用。在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式。接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明。教科书在讨论排

序不等式时，展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是数学课程标准正式引入到高中数学教学中。第四讲是“数学归纳法证明不等式”．本讲介绍了数学归纳法及其在证明不等式中的应用．对于某些不等式，必须借助于数学归纳法证明，所以在不等式选讲的专题中安排这个内容是很有必要的。教科书首先结合具体例子，提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题．然后，类比多米诺骨牌游戏，引入用数学归纳法证明命题的方法，并分析了数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题（两个步骤缺一不可）．接着举例说明数学归纳法在证明不等式中的应用，特别地，证明了贝努利不等式。本专题的教学重点：不等式基本性质、基本不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用； 教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式；

本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）第一讲 不等式和绝对值不等式

一、不等式约３课时

二、绝对值不等式约２课时第二讲 证明不等式的基本方法

一、比较法约1课时

二、综合法与分析法约2课时

三、反证法与放缩法约1课时

第三讲 柯西不等式与排序不等式一、二维形式的柯西不等式约1课时二、一般形式的柯西不等式约1课时

三、排序不等式约2课时

第四讲 数学归纳法证明不等式

一、数学归纳法约2课时

二、用数学归纳法证明不等式约2课时

学习总结报告约1课时

三、编写中考虑的几个问题

根据课程标准，本专题应该强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，我们在教科书的编写中努力去实现课程标准的思想。

(一)重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解

数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面，不等式则是从数量关系的角度来刻画现实世界的。我们一般借助于代数方法证明不等式。代数证明要经过一系列的变形，人们常常不能很直接地看出其中的数量关系。而借助于几何的方法，把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来，则往往能很好地指明不等关系，使学生从几何背景的角度，直观地，从而也是直接地理解不等式。本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教科书注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质。如对于是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量和三角形中的边长关系，柯西不等式是借助于向量运算，排序不等式是借助于三角形的面积。这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径

(二)重视数学思想方法的教学

数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会。

(三)重视引导学习方式和教学方式的改进

在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够。学生的问题意识不强，发现问题的能力不强，独立地解决问题的能力也不强。针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推广。例如，在讲述了基本不等式以后，教科书就提出了一个思考问题：“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在证明了关于三个正数的均值不等式以后，又直接给出了一般的均值不等式；在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见。

(四)注意发展数学应用意识

重要不等式在许多实际问题中可以得到应用，在实际工作中常常能起到节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本专题中，教科书注意体现数学在实际工作中的广泛应用，编写了一些体现数学应用的例、习题。如经典的等周问题、盒子体积问题、施工队临时生活区选点问题、关于面积和体积的最值问题。通过这些简单的应用问题，使学生体会数学在实践中的作用。

四、对教学的几个建议

(一)注意把握教学要求

无论是不等式还是数学归纳法，都已经发展成为内容非常丰富的初等数学分支，也出版了一些专门的论著，老师们对于这些内容一般都有丰富的教学经验，很容易把这些内容作一

些拓展和补充。所以，在这个专题的教学中，要特别注意把握好教学要求，不要随意提高教学要求，而应该按照数学课程标准的要求来控制教学的深广度。课程标准对于本专题的几个教学内容都明确的教学要求，如：对于解含有绝对值的不等式，只要求能解几种特殊类型的不等式，不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式。对于数学归纳法在证明不等式的要求也只要求会证明一些简单问题。只要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，会利用所学的不等式证明一些简单不等式，等等。

另外，在不等式和数学归纳法的许多问题中，常常需要一些技巧性比较强的恒等变形，在本专题的教学中则要控制这方面的教学要求，不要使教学陷于过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中，教学中不要补充一些代数恒等变形过于复杂或过于技巧化的问题和习题，以免冲淡对于基本思想方法的理解，也不要引入一些过于专业和形式化、抽象化的数学符号语言，对于数学归纳法的理解，不必要求学生对于方法的理解水平提高到专业数学工作者才需要的数学理论高度，而只需要通过一些学生容易理解的数学问题中加深对于方法的理解和掌握。对于大多数的学生来说，要重视通过比较简单的问题让学生认识、理解和掌握这部分的基本数学思想和方法。

当然，对于部分确有余力的学生，仍可以适当对于教学内容作一些拓展，如可以介绍一般的均值不等式的证明及其应用，以使学生对于这一重要不等式有一个比较完整的了解。

(二)要抓住教学重点

无论对于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，还是解含有绝对值的不等式，不等式证明的方法，或数学归纳法的教学，都要抓住教学重点，抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁。对于几个重要不等式，最基本的是二元(二维)的情况，核心的思想也是在二元(二维)的不等式中得到直接的体现；对于不等式的证明的最基本的方法是比较法；解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；让学生能对数学归纳法思想真正理解和掌握，就能使学生灵活地加以应用。这样，学生就能掌握本专题最基本也是最重要的知识。

第三篇：人教新课程数学第二册教案2

第一单元、位

置 第一课时

上、下

教学内容：教科书第1页 教学目标：

1、学生初步了解上、下的基本含义，会用上、下描述物体的相对位置。

2、使学生形成辨别一定的空间方位的能力。

3、培养学生观察能力和语言表达能力。

4、使学生感受数学与现实生活的密切联系。

教学重点：使学生初步了解上、下的基本含义，会用上、下描述物体的相对位置。

教学过程：

一、谈话导入

1、同学们，新的一学期开始了，编书的叔叔、阿姨们给我们带来了两位朋友——聪聪和明明。他们可是数学王国里的小精灵噢，当我们遇到困难时，他们就会跳出来帮忙的。同学们愿意和他们成为朋友吗？现在，我们就和聪聪、明明一起进入神奇的数学王国吧！

2、揭示课题

聪聪问我们：“鼻子下面是什么？嘴巴上面有什么？”

同这们说得真好！今天，我们就一起来学习上、下。（板书课题：上、下）

二、探究新知

1、你能说一说我们生活中有关上、下的例子吗？

2、观察画面，体会上、下的含义

（1）你们听说过南京长江大桥吗？谁能给大家介绍一下南京长江大桥是什么样子的？下面我们就一起去南京长江大桥看一看，开开眼界，好不好？

（2）出示主题图课件

请同学们仔细观察：你发现了什么？告诉大家好吗？

1（3）大家发现了这么多东西，真了不起！谁能说出：汽车下面有什么？ 你能像老师这样提出问题吗？

3、看书第1页，完成书上的填空。指名口答订正。

三、活动

1、拍手游戏

（1）教师发口令，学生上下拍手

（2）听反语：教师说“上”学生在下面拍手，教师说“下”学生在上面拍手。

2、小组活动

小组长发口令，其余的同学动手摆。如，把本子书放在数学书上面，把文具盒放在书上面„„

3、画一幅自己喜欢的能够表示上下关系的画

四、小结

今天这节课你认识了谁？你学到了什么知识？ 作业布置：

第二课时

前、后

教学内容：教科书第2页,做一做的第2题。教学目标：

1、使学生初步了解前、后的基本含义，会用前、后描述物体的相对位置。

2、使学生形成辨别一定的空间方位的能力。

3、培养学生观察能力和语言表达能力。

4、使学生感受数学与现实生活的密切联系。

教学重点：使学生认识“前、后”的基本含义，了解它们的相对性。使学生会用“前、后””描述物体的相对位置。

教学难点：三者相比的相对性。教学过程：

一、导入：

小朋友们，今天老师要和大家做个游戏。咱们玩“老鹰捉小鸡”好不好？（师做母鸡，一生做老鹰，其他生做小鸡）

二、学习新知：

1、师生一起玩“老鹰捉小鸡”的游戏。

2、师提问：我的后面是谁？ 生1：是xxx。

生2：是班里的很多小朋友。„„

我在谁的前面？我前面是谁？我后面的3位小朋友是谁？

3、学生自己提出问题并解答。

4、出示第2页主题图。（1）自己根据图画提出问题。（2）小组内解决问题。（3）在书上填写。

三、练习：做一做第2题。

1、学生自己根据图意提出问题。

2、小组解决问题。

3、在书上填写。

四、小结：

通过这节课的学习，你学会了什么？

五、作业布置：

第三课时

左、右

教学内容：教科书第3页内容、2做一做第1题，练习一第6题。教学目标：

1、通过直观演示和动手操作，使学生认识“左、右”的基本含义，初步了解它们的相对性。

2、使学生会用“左、右”描述物体的相对位置。

3、培养学生团结协作的精神。

教学重点：使学生认识“左、右”的基本含义，了解它们的相对性，会用“左、右”描述物体的相对位置。

教学难点：二者相比的相对性。教学过程：

一、导入：

今天我给大家请来了一位老朋友，想知道是谁吗？（课件演示米老鼠智慧交通）指挥交通干什么？我们平时走路靠那边走？由此引出左右。

二、学习新知：

1、分辨自己身体的左右。

（1）你能指出你的左边、右边吗？

（2）其实我们身上有些部分也左右，你能找出来吗？

（3）米老鼠想做健身操给大家看一看。（课件演示，学生跟着一起做）小手拍拍，小手拍拍，小手伸出来。小手拍拍，小手拍拍，右手伸出来。小手拍拍，小手拍拍，左手伸出来。小手拍拍，小手拍拍，左肩抖一抖。小手拍拍，小手拍拍，右肩抖一抖。小手拍拍，小手拍拍，右脚跺一跺。小手拍拍，小手拍拍，左脚跺一跺。

小手拍拍，小手拍拍，右手伸出来。小手拍拍，小手拍拍，左手伸出来。小手拍拍，小手拍拍，小手放下来。（4）出示手模型板帖。

2、进一步认识左和右。

（1）你会用左和右说一句话吗？

（2）在日常生活中左手和右手可以做些什么事？（3）说一说你现在坐的位置（左右、左边几个人），3、左右的相对性。

（1）准备好你的各种学习用品。同位两个合作，动手摆一摆。（2）提出要求：

① 把数学书放在课桌的中间。② 铅笔放在数学书的左边。③ 尺子放在数学书的右边。

④ 橡皮放在数学书的左边、尺子的右边。⑤ 摆在最左边的是什么？摆在最右边的是什么？ „„

（3）小组内打乱顺序摆一摆、说一说，看看自己发现了什么？（我的左边有什么，你的左边有什么？）

（4）师生共同活动：我举右手，小朋友也举右手，发现了什么？

三、练习：

1、第4页做一做第2题。

你的前面是（），后面是（），左边是（），右边是（）。

从前往后数你是第（），从左往右数你是第（）。

2、完成练习一第6题。

四、小结。

通过这节课的学习，你学会了什么？

五、作业布置：

板书设计：

认识左、右 左

右 右

左 第四课时

位置

教学内容：教科书第5~9页

教学目标：

1、结合学生实际，根据行、列确定物体位置。

2、学会确定物体位置。

3、培养学生团结合作的精神。

教学重点：结合实际正确描述物体位置，理解相对性。教学难点：理解相对性。教学过程：

一、导入：

小朋友们，今天有一位小客人来到我们班里，首先让我们表示热烈的欢迎。

二、学习新知：

1、这位小客人坐在哪里呢？他坐在第1组第2个，谁能很快地找出他来？（出现四种找法，分别从前、后、左、右找起）

2、我们一般都是怎样找？（使学生明确一般第一排是从前数，第几个是从左边开始数。）

3、在自己的书上找出第1组第2个小朋友，他就是我们的小客人。

4、教师提问学生指：（1）第5组第4个。（2）第2组第3个。

5、学生小组活动：互相提问并在书上找出相应的小朋友。

6、先说一说你自己的座位，再填空。

你的座位是第（）组第（）个。

你前面的同学是第（）组第（）个。

你后面的同学是第（）组第（）个。

你左边的同学是第（）组第（）个。

你右边的同学是第（）组第（）个。

三、练习：

（一）第6页做一做。

（1）教师提出问题：第1行第2个是（），狗在第（）行第（）个。

（2）你还能提出什么问题？（学生自由提问）（3）解决问题。

（二）完成练习一

1、第1题。

（1）学生按一定的顺序坐成一排，教师提出要求，如：从前往后 第4位同学请站起来，请xxx后面的同学举起右手。学生根据教师的要求做。

（2）学生自己提出要求，其他学生根据要求做。

2、第2题。

（1）教师提出要求：我们来做拍手游戏。两个小朋友一组，做你拍

一、我拍一的游戏。

（2）学生分组活动。

3、第3题。

（1）教师出示第三题图画，提出要求：请帮小明布置房间。说一

说东西放在什么位置合适。

（2）学生先在小组中说，指名在图画板上贴。（3）教育学生要养成自己整理房间的好习惯。

4、第5题。

（1）看图，说一说图上画了什么？

（2）你能根据图提出什么问题？（学生自由提问）（3）学生自己解决问题。（4）在书上填空。

5、数学游戏：听反话

（1）教师提出要求：听老师说位置，小朋友做出相反的动作。（2）教师说学生做。（3）学生在小组里活动。

四、生活中的数学。

1、上下楼梯靠右边走。

2、自行车、汽车都是靠右行。

3、北京的公共汽车停在马路右边。

4、香港的公共汽车停在马路左边。„„

五、小结：

通过这节课的学习，你学会了什么？ 作业布置：

第二单元

20以内退位减法

第一课时

十几减九

教学内容：教科书第9~12页 教学目标：

1、使学生经历与他人交流各自算法的过程，能够比较熟练地口算十几减九的退位减法。

2、使学生初步学会用加法和减法解决简单的问题。

3、培养学生主动探索、合作交流的能力。教学重点：掌握十几减九的算法。教学难点：掌握十几减九的算法。教学过程：

一、复习：出示口算卡片学生口算。

9+4=

9+8=

9+6=

9+2= 9+9=

9+5=

9+3=

9+7=

二、学习新知：

1、导入：

同学们，你们喜欢到公园玩吗？有一些小朋友也喜欢到公园来玩，他们在干什么？（课件出示公园情景图，先突出气球部分）

2、你能不能根据气球部分提个问题？风车部分呢？

3、气球图列式：15-9=

风车图列式：16-9= 小结：刚才同学们通过仔细观察，提出了问题，并列出了算式。

4、公园另一角的小朋友在干什么？（猜谜、套圈）你能提出什么问题？ 列式：13-9=

14-9=

5、观察所列出的算式，引导学生说一说发现了什么？ 揭题：这节课我们就来学习十几减9（板书课题）

6、（1）15-9用手中的学具（小棒）摆一摆怎样计算？还有没有其它方法？（2）小组交流自己的方法。

（3）学生汇报，教师把各种方法板书在黑板上，引导学生仔细观察这些方法，选出自己最喜欢的，在小组众说一说为什么？

（4）小结：小朋友们都选出了自己最喜欢的计算方法，那你能不能用自己最喜欢的方法计算一下剩下的式题，并说一说你的想法。

（5）你还知道那些十几减九的算式吗？

（6）教师板书算式，指名口算，说一说你是怎么想的？

（7）小结：刚才小朋友用自己喜欢的方法计算了这些题。下面我们来做分水果的游戏。

三、练习：

1、做一做第2题；练习第2题。

2、课件练习：跳木桩比赛（用树桩上的数减小白兔身上的数）。

3、课件练习：帮小蚂蚁回家。

四、总结：

这节课学习了什么？通过这节课的学习你学会了什么？ 作业布置：

板书设计： 十几减9 15-9= 6

16-9= 7

13-9= 4

14-9= 5 11-9= 2

18-9= 9

17-9= 8

12-9= 3

第二课时

练习

教学内容：

练习二1~6题。教学目标：

熟练掌握十几减九的内容。教学重点：注意对学困生的辅导。教学难点：掌握十几减九的算法。教学过程：

一、复习：

小朋友们，上节课我们学习了什么内容？

二、练习：

1、第1题：这是一道用数学的题。

（1）学生自己看图，同位两个说说图意，并提出数学问题。（2）根据数学问题列出算式，口算得数。（3）在书上填写。

2、第2题：这是一道计算题。

（1）教师读要求：得数是几就圈上几个。（2）根据算示圈相应的水果。（3）根据自己圈的写出得数。

3、第3题：这是一道游戏形式的计算题。（1）看图，明确图意：帮小鸟回家。（2）快速口算得数，说给同位听。（3）连线，小组订正。

4、第4题：这是一道口算十几减九的题。

学生独立口算，订正。

5、第5题：这是一道计算题。

（1）明确要求：根据两个图形口算得数。

13（2）同位两个互相检查，看谁算得又对又快。（3）学生在课堂作业本上写算式。（4）教师面批面改。

6、第6题：这是一道用数学的题。（1）学生自己看图，明确图意。

（2）同位两个互相说说图意并提出数学问题。（3）根据数学问题列出算式写在书上。（4）全班一起订正。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减九的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、作业布置：

第三课时

练习

教学内容：

练习二7、8题，课堂巩固练习。教学目标：

巩固所学十几减九的内容。熟练掌握十几减九的内容。教学重点：学生能根据第8题提出多个问题。教学过程：

一、复习：想一想，填一填。

9+（）=12

9+（）=18

9+（）=15 9+（）=11

9+（）=13

9+（）=16 9+（）=14

9+（）=17

9+（）=19

二、课堂巩固练习：快速写出得数，比一比谁写得又对又快又好（写在课堂作业本上）。

9+4 =

12-9 =

13-10 = 14-9 =

18-9 =-9 = 17-9 =

11-9 =-9 =

三、练习二7、8题。

1、第7题。

（1）明确要求：快速写出得数，看谁算得又对又快。（2）学生自己练习。（3）全班一起订正。

2、第8题。

（1）引导学生看图，明确图意。（2）学生自己根据图意提出数学问题。

（3）学生根据自己提出的数学问题列算式解答（口头）。（4）学生在书上填写。（5）全班一起订正答案。

四、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减九的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

作业布置： 板书设计：

十几减9 12-9=3

16-9=7（个）15-9=6

第四课时

十几减几

教学内容：教科书第15页例2，练习三第1、2题。教学目标：

1、理解“十几减几”的算理，学会“十几减几”的口算方法，正确计算“十几减几”的题目。

2、能根据自己的情况用自己喜欢的方法较熟练地计算“十几减几”的题目。

3、体验数学与生活的密切联系和探索学习的乐趣。教学重点：掌握“十几减几”的算法。教学过程：

一、复习（卡片出示）：

8+5 =

7+8 =

7+6 =

15-9 =

6+8 =

5+7 =

5+9 =

13-9 =

18-9 =

14-9 =

17-9 =

16-9 =

二、自主探索，学习新知识。

1、出示“鱼缸内金鱼游动、鱼缸外两只小猫走动观看金鱼”的画面。首先请学生说明看到了什么，让学生描述这一生动景象，调动学生的兴趣。

2、多媒体发出声音，同时在左边小猫嘴边出现“13条金鱼，花的8条，黑的有几条“的文字。然后，多媒体再次发出声音，同时在右边小猫的嘴边出现“有13条金鱼，黑的5条，花的有几条？”的文字。

3、引导学生讲述两只小猫对话的意思，明确要解决的问题。

4、启发学生根据图意和要解决的问题，想象自己准备用什么方法解决。

5、组织小组讨论，广泛发表自己意见。小组内可能出现如下意见。（1）两只小猫的对话中，已说出了花金鱼8条，黑金鱼5条。（2）求黑金鱼的条数，10-8=2，2+3=5，5条黑金鱼。求花金鱼的条数，10-5=5，5+3=8，8条花金鱼。（3）我一条一条仔细数的，花金鱼8条，黑金鱼5条。

17（4）这样算得快，8+5=13，13-8=5，13-5=8，5条黑金鱼，8条花金

鱼。

……

6、组织全班同学交流，对各种方法进行评议。

在各组讨论的基础上，广泛反映出各种方法。教师要表扬同学想的方法多，能独立发表自己的意见。然后，请同学们说出自己在解决问题时喜欢那种方法，并说明理由。

7、教师有导向性的小结。

教师以参与者的语言，表明自己根据大家的发言很受启发，乐意运用“想加算减”的方法，但也要肯定“破十减”等方法的合理性。

三、巩固计算方法。

1、先在书上完成“做一做”第1题，先请同学讲一讲上下两题有什么关系，并举几个例子口头考考其它同学。一方面扩大练习量，另一方面提高兴趣。

2、为变化方式，课把“做一做”第2题做成卡片，以二人“找朋友”的方式，先说加法题后说减法题，互相练习，活跃气氛，提高练习的速度。

四、联系实际，解决问题。

练习三第1、2题完全放给学生独立完成。完成后，分别说说解题时自己的想法。也可以分小组，由组长组织同学们交流，交流时要照顾到每一个同学，特别是差一点的同学。教师应加强巡视，主动参与一些小组的交流，了解情况，帮助学习有困难的学生。

五、作业布置：

六、板书设计：

十几减几

13-8=5

13-5=8

第五课时

练习

教学内容：课堂练习。教学目标：

巩固本单元所学十几减几的知识

教学重点：通过练习，口算达到一定熟练程度。教学过程：

一、揭题：

今天我们来做课堂练习，比一比谁算得又对又快，书写工整。

二、复习：

1、出示：

6+5=

7+8=

4+8= 11-5=

15-7=

12-8= 看到这些题，你想到什么？你发现每一组题有什么特点吗？

2、填空，在括号里填上合适的数。

8+（）=11

8+（）=16

6+（）=15 11-3=

16-（）=

15-6= 独立完成，订正。说一说你发现了什么？

三、课堂练习：

1、两步运算：

11-9=

15-7=

17-6=

12-6=

15-9=

14-7=

18-9=

12-5=

11-4=

16-8=

13-6=

17-8=

2、连加、连减、加减混合：

7+8-9=

16-8+4=

10+7-9=

14-6+5=

11-7+9=

13-6+10=

18-9+2=

14-7+6=

15-8+10=

12-3+7=

11-6+3=

17-8+9= 19

13-8+7=

15-6+8=

12-9-3=

6+8+5=

19-7-6=

13-5-3=

3、教师面批面改，发现问题及时解决。

四、小结：

谈谈你这节课的收获。作业布置：

板书设计：

8+（3）=11

11-8=3

十几减几

8+（8）=16

6+（9）=15 16-8=8

15-6=9 第六课时

练习

教学内容：练习三3～6题。教学目标：

巩固所学十几减几的知识。教学重点：对学困生的辅导。教学过程：

一、回忆上节课所学内容：

小朋友们，上节课我们学习了什么内容，谁能来说一说？

二、完成练习：

1、第3题：这是一道计算题。（1）明确要求：先说得数，再写算式。

（2）同位合作，互相检查，看谁说得又对又快。（3）全班用开火车的形式练习。

（4）学生在课堂作业本上写算士并算出得数。（5）教师进行面批面改，发现问题及时解决。

2、第4题：这是一道计算题。（1）明确要求：看谁都能算对。（2）学生练习，在书上填写。（3）对速度特别快的学生要提出表扬。（4）全班共同订正。

（5）对全部做对的学生提出表扬。

（6）请做错的同学讲讲自己错在那里，改正错题。

3、第5题：这是一道游戏形式的计算题。

（1）明确要求：帮小朋友坐椅子。五个小朋友各拿一张卡片，卡片上有算式；他们前面有五把椅子，上面有得数，请帮助小朋友坐到相应的椅子上去。

（2）学生口算得数并连线。（3）全班一起订正答案。

4、第6题：这是一道连线题。（1）明确要求：找朋友。

（2）学生根据给出的算式和得数连线。（3）全班共同订正答案。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减几的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、作业布置：

板书设计：

十几减几

11-6=5

13-7=6

第七课时

练习

教学内容：练习三7——13题。教学目标：

巩固所学十几减几的知识。教学重点：对学困生的辅导。教学过程：

一、复习（口算）：

14-7 =

11-5 =

11-8 =

16-7 =

15-6 =

12-6 =

14-8 =

17-9 =

13-6=

二、练习：

1、第7题：

（1）明确要求：看谁全都能做对。注意看清运算符号。（2）学生独立完成。（3）订正答案。

（4）对全做对的学生提出表扬。

2、第8题：小动物爱吃什么？

（1）明确要求：各种水果和蔬菜的旁边有算式，小动物旁边有得数，算一算，看看这些小动物喜欢吃什么。

（2）学生独立完成，连线。（3）订正答案。

3、第9题：渗透函数概念。

（1）明确要求：先算出得数，再看看被减数、减数、差有什么特点。（2）学生独立在书上填写得数。（3）小组讨论。

（4）教师小结：被减数不变的情况下，减数增大，差随之减小，相反减数减小，差随之增大。

4、第10题：在里填上“〉”、“〈”、“=”。（1）明确要求。（2）学生独立完成。（3）全班一起订正。

5、第11题：

（1）看图：说一说图上画的什么意思？

（2）提出数学问题，学生提得只要合理就给予肯定。

（3）引导学生读一读图中对话框中的内容，根据此内容列算式解答。（4）订正。

6、第12题：口算，看谁算得又对又快。

7、第13题：

（1）看图：说说图上画的什么意思？（2）根据图意提出数学问题。（3）列算式解答，订正。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减几的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、作业布置： 板书设计：

十几减几

12-5=7（只）

7+6=13（只）13-7=6（只）

13-6=7（只）

第八课时

用数学

教学内容：教科书19页例3，20页做一做。教学目标：

1、进一步复习巩固所学十几减几的内容。

2、较熟练地掌握十几减几的算法。

3、感受数学与实际生活的密切联系，体会用数学的乐趣。教学重点：根据图意提出合理的数学问题。教学过程：

一、复习（开火车练习口算）：

12-5=

11-8=

8+3=

18-9=

13-7=

11-3=

18-9=

11-9=

15-8=

11-7=

8+7=

16-8=

15-6=

17-8=

16-7=

17-9=

14-6=

9+5=

13-4=

12-6=

13-6=

9+9=

11-2=

16-9= 12-7=

6+8=

15-9=

14-9=

二、探索有关例3的知识：

1、出示例3情景图：

（1）请学生说说图上画了什么？

（2）由图上的内容你能想到什么？引导学生说出想提数学问题。（3）教师提问：根据图上所画内容你能提出什么问题？先自己进行独立思考。

2、小组活动：

（1）在小组里把自己的数学问题说给小伙伴听，看谁提得问题多，不合式的其它

同学给他指出来，并讲清原因。（2）学生在小组中提数学问题。

25（3）教师巡视。

3、全班共同提数学问题：只要提的合理的都予以肯定。加、减法均可，重点研究减法。

4、根据问题列出算式并解答，写在课堂练习本上。

三、练习：做一做

1、出示情景图：

（1）看到这幅图你想到了什么？

（2）你能根据这幅图提出数学问题并解决它吗？请你在小组中互相提问并列算式解答，我们比比看那个小组提得问题最多。

2、学生小组活动。

3、学生列式解答，并说一说算理。

四、小结：

通过这节课的学习，你学会了什么？

五、作业布置： 板书设计：

用数学

13-6=7（人）

8+6=14（个）

16-9=7（人）

第九课时

练习

课型：练习课

授课时间：第周第课时 教学内容： 练习四的练习题。教学目标：

巩固用数学的有关知识及十几减几的内容。教学重点：能用所学数学知识熟练地解决问题。教学过程：

一、揭题：

小朋友们，今天这节课我们一起来做练习。

二、练习四：

1、第1题：

（1）看图，读题，明确题意。（2）指名说图意。（3）列算式解答。

2、第2题：（1）读题明确图意。

（2）根据问题列算式并解答。（3）订正答案。

3、第3题：看谁都能算对。（1）明确题目要求。（2）学生独立算出得数。

（3）订正答案。（对算得又对又快的学生提出表扬）

4、第4题：（1）看图明确要求。

（2）读题，同位两个口头列算式解答。（3）在书上填写。

5、第5题：

27（1）明确要求：找朋友。（2）口算得数并连线。（3）订正答案。

6、第6题：在（）里填上“〉 ”、“〈

”或“=”。（1）明确要求。（2）学生独立填写。（3）订正答案。

7、第7题：

（1）看图，明确图意。（2）你能提出什么问题？（3）学生根据图意提问题。（4）列算式解答。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减几的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、作业布置： 板书设计：

用数学 1、15-7=8（只）

15-6=9（只）2、15-6=9（个）

15-7=8（个）4、13-6=7（人）

第十课时

整理复习

教学内容：教科书23页退位减法表。教学目标：

初步感知20以内退位减法表的排列规律；引导学生找规律；让学生根据自己的发现重新排出一个减发表。

教学重点：提升学生对本单元知识的掌握水平。教学过程：

一、出示20以内退位减法表： 11-9 12-9 13-9 14-9 15-9 16-9 17-9 18-9 11-8 12-8 13-8 14-8 15-8 16-8 17-8 11-7 12-7 13-7 14-7 15-7 16-7

11-6 12-6 13-6 14-6 15-6

11-5 12-5 13-5 14-5

11-4 12-4 13-4

11-3 12-3

11-2

二、引导学生找规律：

1、仔细观察20以内退位减法表，看看算式是怎样排列的，一共有多少个？

2、小组活动：请小朋友们在小组中互相商量商量，看看这个表有那些规律？

学生可能找到横、竖、斜等各种规律。

3、组与组之间交流，教师启发：还能发现什么规律？

三、各小组用事先准备好的算式卡片重新排一个表，以展示各组的新发现。

四、利用退位减法表复习：

1、把差是6„„的算式一组一组地说出来。

说一说差是6的算式有哪几道？除了表中算式，还有哪些？生答，师板书。

2、看一看这些算式，哪些是我们上学期学过的？哪些是我们刚刚学习的？ 29 哪些是以后要学算式？

四、小结：

通过这节课，你学到了什么？

五、作业布置：

板书设计：

整理和复习

11-9 11-8 11-7 11-6 11-5 11-4 11-3 12-9 12-8 12-7 12-6 12-5 12-4 12-3 13-9 13-8 13-7 13-6 13-5 13-4

14-9 14-8 14-7 14-6 14-5

15-9 15-8 15-7 15-6

16-9 16-8 16-7 17-9 17-8

18-9

第十一课时

练习

教学内容：练习五1～7题。

11-2 教学目标：

巩固本单元所学20以内退位减法。教学过程：

一、揭题：

小朋友们，今天我们一起来做练习。

二、练习：

1、第1题：把差是6„„地算式一组一组地说出来。

小组合作完成。

2、第2题：

（1）看图，明确题意：一图四式。

（2）学生同位两个互相说图意，并提出数学问题。（3）根据图意和问题列算式解答，写在书上。（4）订正答案。

3、第3题：

（1）明确要求：看谁算得又对又快。（2）学生独立完成。

（3）订正答案（对算得又对又快的学生提出表扬）。

4、第4题：

（1）明确题意：根据图写算式。

（2）学生自己尝试读题，并提出数学问题。（3）列算式解答，写在课堂作业本上。

5、第5题：

（1）明确要求：先算出得数，再仔细观察竖着每一组的三个算式有什么联系。

（2）学生书写得数。（3）订正答案。

31（4）说说自己发现的规律。

6、第6题：小松鼠采松果。

（1）故事形式引出：有一天，松鼠妈妈对松鼠哥哥和松鼠弟弟说：“孩子，你们已经长大了，要帮妈妈做事了。今天，你们就去森林里采些松果来吧！”小松鼠愉快地答应了。过了一会儿，两只小松鼠回来了，松鼠妈妈看到孩子这么能干，高兴极了。一个劲儿夸奖他们，说：“你们真能干，一共采了12个松果。”松鼠弟弟说：“哥哥猜得多，我只采了5个。”亲爱的小朋友，你知道松鼠哥哥采了多少个吗？”

（2）让学生根据故事内容说答案，并说一说自己是怎样想的。（3）口头列算式解答。（4）写在书上。

7、第7题：旅游公司汽车出租情况。（1）看统计表，明确要求的是还剩多少辆？（2）学生根据题意自己解答。

（3）订正答案，让学生说说自己是怎样想的。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减几的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、作业布置： 板书设计： 整理和复习4、16-9=7（只）6、12-5=7（个）

第十二课时

练习

教学内容：练习五8~11题，思考题。

教学目标：

巩固本单元所学20以内退位减法。教学过程：

一、揭题：

小朋友们，今天我们一起来做练习。

二、练习：

1、第8题：这是一道计算题。（1）明确要求：看谁算得又对又快。（2）学生独立完成。（3）订正答案。

（4）有错的学生，说一说计算顺序是怎样的，每一步的计算结果是多少？

2、第9题：这是一道用数学的题。

（1）看图，同位两个互相说说图意，并提出数学问题。（2）根据问题列算式解答。（3）订正答案。

3、第10题：比一比。

（1）明确要求，看谁先夺得红旗。（2）各小组派代表参加比赛。

（3）对算得又对又快的学生提出表扬，并奖励给一个小标志。（4）再加入几组比赛题，尽量让学生多参与。

4、第11题：这是一道用数学的题。（1）看图，说图意，提出数学问题。（2）列算式解答，指名板演订正。（3）说一说为什么用加法计算？

5、思考题：小组讨论完成。

一共12人，每两人之间插入一个女生，一共能插入11人。

三、小结：

小朋友们，今天我们一起复习了有关十几减几的内容，做了很多练习。下面请谈一谈你的收获。

四、补充练习

1、在○

里填上“〉 ”、“〈

”或“=”。

5+6 ○8

15-7○ 6

12-6 ○15-4

五、作业布置：板书设计：

13-6 ○6

12+2 ○15

16-8○ 8

11-2○ 7 10+5○ 13-7

17-9 ○18-10 整理和复习

11-5=6

13-4=9 第三单元

图形的拼组

第一课时

平面图形的拼组

教学内容：教科书27页例

1、例2，28页做一做，练习六1、2题，30页折纸飞机。

教学目标：

1、通过操作活动，使学生体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形边的特征。

2、通过观察、操作，使学生初步感知所学图形之间的关系。

3、能根据要求自己操作学具。

4、培养学生团结协作的精神。教学重点：

平面图形之间的关系。教学过程：

一、激趣导入：

小朋友们，老师知道大家平时特别喜欢折纸，今天我们一起来折一折好吗？

二、学生自主探索有关平面图形相互转换的知识：

1、做小风车：

（1）小朋友们，我们一起来做一个小风车。

（2）拿出一张长方形的纸和一张正方形的纸根据例1要求：沿虚线折一折。（3）汇报交流自己折后的发现，教师小结：长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。

（4）做小风车，使学生既体会平面图形的特征又看到它们之间的关系。如把长方形纸折成正方形利用了正方形四边相等的特征，把正方形纸剪成四个三角形时，看到了三角形和正方形的关系，转动风车时，又看到了风车所转动的路径是一个圆。

2、平面图形的关系：

（1）学生准备好学具（各种平面图形的卡片）。

35（2）教师提出要求：能不能用几个相同的正方形拼成一个长方形？能不能用几个相同的长方形拼成一个正方形？学生独立操作。

（3）用你手中的图形拼组，可以拼学过的图形，也可以拼没学过的图形。学生独立操作。

（4）小组互相交流：用了几个什么图形拼成了一个什么图形。（5）全班共同交流，学生到黑板上演示。

（6）说一说你通过这些平面图形的拼组有什么收获？

三、练习：

1、完成28页做一做：你会剪出一个吗？（1）先让学生独立思考，想各种办法。（2）教给学生最简单的方法。

（3）让学生说一说通过用圆形纸剪成一张正方形的纸，你发现了什么？使学生看到有时圆和正方形是可以转化的，从而学习用变化的观点来看问题。

2、完成练习六第1、2题。

4、自己想想还能用什么拼成什么？

5、30页教你折纸飞机。

四、小结：

1、小朋友们，今天我们一起学习了什么内容？

2、谈一谈你的收获。

五、作业布置：

第二课时

平面图形的转换

教学内容：教科书第27页 教学目标：

1、创设探究式的教学氛围，让学生通过动手操作，合作交流，充分感知长 36 方形、正方形边的特征，并能用自己的语言将它描述出来。

2、让学生在自主探究的过程中，充分发挥自己的个性特长，引导学生探究各种平面图形之间的关系。

3、在活动中，进一步培养学生的观察力、想象力和动手操作能力，激发学生探索数学的乐趣，发展学生的创新意识。

教学过程：

一、激发兴趣，导入新课

今天，咱们班来了一位小客人，让我们用掌声将它请出来！

演示：小鸡豆豆自我介绍：我叫豆豆，是图形王国的向导。如果你想到图形王国去游玩，就得先说一说图形王国里面有哪些图形是你学过的？（演示：引出四种平面图形。）

这些图形，已经是我们熟悉的朋友了，今天呀，我们就来学习如何将它们进行转换。（板书课题：图形的转换）

二、动手操作，感知长方形、正方形边的特征

演示：豆豆送来长方形和正方形。

瞧！豆豆给我们送来了什么图形？（长方形、正方形。）

1、认识长方形、正方形的边。

你们说，长方形和正方形都有几条边呀？（四条。）演示：四条边分别闪烁，变色。

请大家先拿出长方形的纸，我们一道来摸摸长方形的四条边。（师生同步操作）再拿出正方形的纸，摸摸它的四条边。（师生同步操作。）引导学生认识长方形的两组对边。

好！我们已经认识了长方形和正方形的边。豆豆！你还有什么问题要问？ 豆豆：长方形四条边的长度有什么特点？

正方形四条边的长度又有什么特点呢？你们谁知道？（指几名学生口答。）他们说得对不对呢？下面，我们分组来动手找一找，比一比，说一说。

2、合作交流。探究长方形、正方形边的特征。

大家看一看，红盆中都有哪些东西？（毛线、直尺、笔。）待会儿，你们在找长方形、正方形边的特点的时候就可以用它。当然了，如果你有别的方法，不用这些东西也可以。学生操作、探究、交流，教师指导。

谁愿意把你找的结果告诉大家？

三、探究平面图形之间的关系

刚才，大家用很多方法知道了长方形的长边和长边一样长，短边和短边一样长。也就是说长方形对边相等。（板书：对边相等）

还知道了正方形的四条边都一样长。（板书：四边相等）

现在，豆豆要来考靠大家。

1、长方形转换成正方形。（出示一张长方形的纸。）

你能将这个长方形变成正方形吗？拿出长方形纸试试看。把你的方法说给同组的小朋友听。谁愿意说给大家听？（学生边做边讲。）

2、正方形转换成三角形。（出示一张正方形纸。）

怎么样才能将这个正方形变成两个三角形呢？你来试试看！（学生边做边讲。）

3、圆转换成正方形。（出示圆和正方形。）

圆和正方形是一对好朋友，你想知道怎么样才能把圆变成正方形吗？好，我们先来看看书上的方法。看明白了，就可以动手来折一折、剪一剪（学生操作。）

4、不规则图形转换成规则图形。

蓝色学具盆里，还有很多不规则图形，拿出来看一看，能不能将它们变成我们学过的图形？

四、小结

今天这节课你学会了什么？图形王国中还有很多奥秘等着我们去探索，下节课，我们接着来学习。

作业布置：

第三课时

立体图形的拼组

教学内容：教科书28页例3，28页做一做，练习六3——7 教学目标：

1、感知立体图形之间的关系。

2、能根据要求自己操作学具。

3、培养学生团结协作的精神。

教学重点：立体图形之间、平面图形和立体图形的关系。教学过程：

一、导入

小朋友们，上节课我们一起学习了拼面图形的拼组。今天我们一起来学习立体图形的拼组，看看立体图形之间有什么关系？

二、学生活动

1、教师提出要求：每个小组的桌子上都有一些长方体和正方体的积木块，请你选择一些自己拼组看看发现了什么？拼完后在小组内互相交流一下。

2、学生进行拼组活动。

3、小组内交流自己的体会。

4、全班共同交流。总结出立体图形之间的转换关系。

三、练习1、28页做一做：这是一个由平面图形向立体图形的转换的活动。用一张长方形或正方形的纸做一个圆柱，学生独立操作即可。做完后谈谈自己的体会。使学生看到平面图形与立体图形的关系。

2、第3题：这是一道数小正方体个数的题。数正方体的个数。

3、第4题：这是一道连线题，考查学生的空间感。

给出了一个长方体，另外给出了它的三个面，让学生判断这三个面哪个是它下面的面，哪个是左边的面，哪个是后边的面。

4、第6题：这是一个拼图的活动。

5、第7题：

四、小结：

1、小朋友们，今天我们一起学习了什么内容？

2、谈一谈你的收获。

作业布置：

板书设计：

立体图形的拼组

第四单元

100以内数的认识 第一课时

数数

数的组成

教学内容：教科书31~33页，练习七2、4题。教学目标：

1、能够熟练地数出数量在100以内物体的个数，掌握100以内的数是由几 41 个十和几个一组成的。

2、培养学生动手、动脑、动口能力，在各种数数活动中培养学生的问题意识，渗透数与实物对应的思想。

3、培养学生对100以内数的兴趣，养成在活泼氛围中进行合作学习的兴趣。教学重点：熟练地数100以内的数。

教学难点：数到接近整十数时，下一个整十数应该是多少。教学过程：

一、利用旧知引入，提出问题

1、创设情境：今天是我妹妹的生日，这儿有一块插了蜡烛的蛋糕（20根），猜猜看有多少根？

2、谈话：老师把蜡烛变成了小棒，在你的桌子上，请你数一数到底有多少根？

3、引导学生思考：这些小棒怎样表示能使人一眼就看出是20根？

4、小结：10个一是一十，2个十就是二十。

5、以这二十根小棒为标准，估计桌上的小棒总共多少根，引入课题“100以内数的认识”。提出问题：你们想学些什么呢？

二、重视学法探究，解决问题

1、在尝试和思考中学会数数：你们会数20到100之间的数吗？（学生试数）

（1）同位配合，一人拿小棒，两人一起数：从21数到30。（2）一根一根地试数小棒，从31数到100。

（3）10根10根地数100根小棒，归纳：几个十就是几十，10个十是100。

2、在观察和游戏中掌握数的组成：（1）观察三张卡片：

用小棒表示64、22、42的组成、用汉字表示三个数的组成。（2）看图回答问题：

① 出示6捆小棒（每捆10根）和4根小棒，它是怎样组成的？一共是多少？

② 出示2捆小棒和2根小棒，一共是多少？它是怎样组成的？ ③ 出示数（四十二），用小棒表示，说说它的组成。

④ 小结：几十就是由几个十组成的，几十几总是由几个十和几个一组成的。（3）师生“对口令”：

师生

2个十9个一

4个十8个一

6个十

七个十9个一

…… 学生当小老师，出题考大家。（4）33页做一做：独立完成。

三、体验成功愉悦，独闯难关：

让学生独立解决智慧爷爷在各个难关中提出的问题。

1、与七十相邻的两个数是（）和（）。一百里面有（里面有（）个一。

4个一和6个十组成（）。

数出三十二前面的五个数：

.2、接着数：

九十四、九

十五、（）、（）、（）、（）、（）。（）、（）、（）、（）、八十一、八

十二、（）。

3、练习七第2题：百球图（估一估，数一数）。

4、练习七第4题：帮小动物回家。

四、总结：

43）个时，一百这节课我们学习了什么？你有那些收获？

五、作业布置：

板书设计：

数数

数的组成

10个 十是100，10个一是10，2个十是20 64由6个十和4个一组成 22由2个十和2个一组成 42由4个十和2个一组成第二课时

读数

写数

教学内容：教科书34~35页。教学目标：

1、能够正确地、熟练地读写100以内的数。

2、结合具体事物，使学生感受100以内数的意义，会用100以内的数表示日常生活中的事物，并进行简单的估计和交流。

3、进一步尝试用自主探索的方法获得新知。

教学重点：100以内数的读法和写法。

教学难点：数位的意义。教学过程：

一、复习：

1、十个十是（），一百里面有（）个一。2、6个一和3个十组成（）。3、7个十和6个一组成（）。4、89里面有（）个十和（）个一。5、62里面有（）个一和（）个十。

二、学习读数、写数：

1、教学例4：

（1）同位两个一组摆出24根小棒。先说一说它的组成，然后想一想，2捆（即20根）应摆放在计数器的那个数位上？4根呢？

（2）学生在计数器上拨珠表示24。边拨边叙述：2个十在十位上拨2颗柱，4个一在各位上拨4颗珠。

（3）在数位板上用数字卡片摆出24，并读出来。提问：“2在哪个数位上？4在哪个数位上？”

（4）教师再摆出42根小棒，用同样的方法完成以上过程。当学生写出并读出42以后，让学生对比24与42中的“4”、“2”的意义，加深对不同数位上的数所表示的意义的理解。

2、教学例5：

（1）学生独立写出例5中上面一组数，写完后轻声读一读。教师将写得又整洁又美观的学生作业进行展示，并抽出其中一个数（如67）提问：6在哪个数位上？它表示什么？7呢？”

（2）例5下面一组数的教学过程与上面一组数大体相同，应强调的是：当个位上一个也没有时，要用0占位。

3、教学例6：

45（1）让学生利用计数器拨珠。先一个一个地拨，在个位上拨9颗珠后提问：“再拨上一颗是几颗？”“10个一是非颠倒多少？怎样用计数器上的珠子表示？”

（2）在十位上，一个一个地拨，拨出9颗后提问：“这9颗珠表示多少？”“再拨一颗表示几个十？”“10个十怎样用计数器上的珠子表示？怎样读写？”

（3）学生在课本上尝试写出一百，并轻声读一读。

（4）教师在黑板上展示100的写法，让学生将自己写的和老师写的比一比，看谁写得整洁、美观。对写得不美观的在练习本上再写一次。

（5）请学生对着数位表，同位互相说一说，从右边起，第一、二、三位各是什么数位？每个数位上的数各表示什么？然后在数上填空。

（6）让学生再回头看例

6、例6中自己写的数，并读一读，然后想一想，写数和读数是从哪边（左边和右边）开始的？最后引导学生概括出小精灵聪聪说的话：“读书和写数，都应从高位起。”

三、练习：35页做一做1、2题。

学生独立完成，指名板演订正。

四、小结：通过本节课的学习，你有什么收获？

五、作业布置

第三课时

练习

教学内容：练习七的练习、生活中的数。教学目标：

1、巩固前面所学的读数、写数的知识。

2、熟练地读写100以内各数。

3、感受数学与生活的密切联系，增强学好数学的信心。教学过程：

一、复习

1、请你按要求数数：

46（1）从31数到42。（2）从89数到100。（3）从99数到90。（4）数出50后面的7个数。（5）数出66前面的8个数。

2、听老师读数写数：

二十八

三十七

四十九

一

百 七十七

五十四

三十二

二十一 六十八

五十一

三十三

九十六

二、练习七 ：

1、第1题：这是一道数数题。指名让学生数出本班同学的人数。

2、第2题：这是一道估数题。

先让学生估计一下一共有多少个皮球，说一说你是怎样估计的？再让学生数一数，看看自己估计的差多少，并说一说怎样数比较快？

3、第3题：这是一道数数题，数出指定数的后面的五个数。让学生同位两人合作完成，教师抽查。

4、第4题：这是一道以游戏形式复习数的组成的练习题。

让学生说一说这道题的要求。独立连线，指名说一说怎样帮助小动物找家的？

2、第5题：找出数学课本的第23、36、50、79、87、100页。先摸摸50页有多厚，再摸摸一百页有多厚，以增强学生的数感。

3、第6题：这是一道写数的题。教师读数，学生独立写数，指名板演。

4、第7题：这是一道按顺序填数的题。

要求学生先想一想数序列化，再填数。口答订正。

5、第8题：这是一个猜数游戏。猜一猜，我卡片上的数是几？

三、生活中的数：

1、2000年奥运会我国取得28枚金牌。

2、今年十月一日中华人民共和国成立53年。

3、公共汽车准乘56人。

4、想一想：我们生活中还有哪些事物的数量能用100以内的数来表示？

四、小结：

通过这节课，你有什么收获？ 作业布置：

板书设计：

读数

写数 10个 十是100 10个一是10 2个十是20

第四课时

数的顺序

比较大小

教学内容：教科书38～40页。教学目标：

1、掌握100以内数的顺序，会比较100以内数的大小。

2、掌握比较两个数大小的一般方法，能根据数位的意义解决一些简单的问题。

3、培养学生探究的乐趣，发展学生的思维。教学重点：掌握比较两个数大小的一般方法。教学过程：

一、复习：

1、数数：从77数到100；从63数到56。

2、写数：三十六

四十八

五十二

七十五

二、自主探索：

1、数的顺序。

（1）观察100以内百数图（课本上），想一想这些数的排列有那些特点？（2）学生独立填满表中空格，重温100以内各数的顺序。然后两人一组，进行找数活动。可模仿小精灵聪聪和明明的提问，采用互问互答的方式找数。

（3）按第1题的要求给指定的数涂色。在涂色活动中加深对数位意义的理解，提高学习数学的兴趣。

（4）进一步探索百数图的排列规律。让学生4人一组，利用手中的其它百数图进行。找出规律后派代表在全班交流。

2、比较大小。

（1）出示39页主题图：左边母鸡一个月下28个蛋，右边母鸡一个月下26个蛋，比一比，哪只母鸡下蛋多？

让学生交流不同的比法。

（2）比较学生的各种比法，引导思考：“如果没有鸡蛋图，怎样来比较两个两位数的大小？能不能找到一个比较方便的比较方法呢？”由此引入比较用计数器表示的两个数的大小的问题。

（3）学生四人一组，用计数器摆出例8左图中的两个数38和45，然后想一想：怎样比，就能很快知道哪个数大？哪个数小？再用同样的方法比较右图中32和30的大小。

（4）引导学生归纳比较两个两位数大小的一般方法：先看十位上的数，十位上的数大，这个两位数就大；如果十位上的数相同，再看个位上的数，个位上的数大，则这个两位数就大。

三、练习：

1、39页做一做。

先让学生应用学到的方法比较两个两位数的大小，在圆圈里填上“>”、“<”、或“=”。订正时说一说比较的方法。

2、39页的思考题。

讨论一下，小兔手里的卡片应该怎样放？为什么？指名说一说。答案：38 <58< 60< 79< 98

四、小结：

这节课我们学习了什么？你学到了哪些知识？ 作业布置：

板书设计：

数的顺序

比较大小

28>26 39<45 32>30

第五课时

比多少

教学内容：教科书40页例9，练习8第4题。教学目标：

1、使学生在具体的情境中感知100以内的数的多少，会用“多一些、少一些、多得多、少得多”描述数之间的大小关系，感受数学无处不在。

2、使学生从活泼可爱的小金鱼身上感受生活的丰富多彩。

教学重点：能在具体的情境中用准确的语言描述100以内数之间的大小关系。

教学过程：

第四篇：人教A版数学必修2立体几何测试题及详细答案

高一数学必修二立体几何测试题

一 ：选择题（5分10题=50分）

1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）

A.空间任意三点B.空间两条直线C.空间两条平行直线D.一条直线和一个点2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．

A．l1l2，l2l3l1//l

3B．l1l2，l2//l3l1l3

D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面

C．l2//l3//l3l1，l2，l3共面

3．已知m，n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是：

A．若,，则∥B．若m,n，则m∥n C．若m∥，n∥，则m∥nD．若m∥，m∥，则∥ 4.在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）

A.0 个B.1个C.3个D.4个 5,下列命题中错误的是()．．

A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面



6.如图所示正方体AC1,下面结论错误的是（）A.BD//平面CB1D1B.AC1BD

C.AC1平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1角为60

A.120B.150C.180D.240

8.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，下列命题正确的是（）









7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）

A.ABBCB.ACBD C.CD平面ABC D.平面ABC平面ACD 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A

P

A.180B.200C.220D.240

左视图

A

10.如上图所示点P为三棱柱ABCA1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥PBCC1B1的体积为V,则三棱柱ABCA1B1C1的体积为（）

A.2VB.3VC.二．填空题（5分5题=25分）

4V3VD.3

211.如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______,面积是_________.12．已知m,l 是直线，,是平面，给出下列命题正确的是________________.(1)若l垂直于内的两条相交直线，则l(2)若l平行于，则l平行于内所有直线；(3)m,l,且lm,则；(4)若l,且l,则；(5)m,l,且//，则m//l.13.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PBPC个点到这四个点距离相等，则这个距离是 ___________.14.一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写序号)．

2，已知空间中有一

15．已知圆台的上下底面半径分别为2,6，且侧面面积等于两底面面积之和，则它的侧面积_______,体积_______ 三．解答题

16.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图

5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面

PEG

17．如图，已知PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB2,C是圆O上的一点，且

ACBC,PC与圆O所在的平面成45角，E是PC中点，F为PB的中点.(1)求证：EF//面ABC;(2)求证：EF面PAC;(3)求三棱锥BPAC的体积

18如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A 作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BCSA.19.如图1，在RtABC中，C90，D,E分别为AC,AB的中点，点

F图

1C

A

F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。（Ⅰ）求证：DE//平面ACB； 1（Ⅱ）求证：A1FBE；

图

220.如图3所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AB2，BC

1，AA1（Ⅰ）证明：AC1

平面AB1C1；（Ⅱ）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．

21.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEACAF

AD

(01).（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？(14分)

A

F

B

D

高一立体几何测试参考答案

一：1-5;CBBDD6-10;DCBDD

二:11._16cm_;82cm2____12._1,4____13.;14.①②③

215.母线长为5，侧面积为40，高为3，体积为52.16．(1)

解：(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：VVPEFGHVABCDEFGH

4026040220320003200064000cm2

3（３）如图,连结EG, HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面EFGH , HF平面EFGHPOHF又EGHF PO

EGO PO平面PEG EG平面PEG

HF平面PEG又 BD//HFBD平面PEG；

17.(1)证明：在PBC中，EF为中位线，所以EF//BC,EF平面ABC,BC平面ABC所以EF//平面ABC.(2)AB是圆O的直径，BCCA;

PA面ACB,BC面ACB,PABC;BCCAC,BC面PAC,又BC//EF, EF面PAC.(3)由第2问知BC面PAC,BC是三棱锥BPAC的高；ACBCPA2,1112VBPAC(SPAC)BC(22)2

3323

18．证：（1）

SABA，AFSB，SFBF，由题SEEA，EF//AB，EF平面

ABCAB平面ABC，EF//平面ABC，同理EG//平面ABC，两条相交直线，∴平面EFG//平面ABC，（2）

EF与EG为平面EFG内的平面SAB平面SBC于SB，AF平面SAB，AF平面SBC，AFBC，又ABBC且AB与AF为平面SAB内的两条相交直线，BCSA。

19．（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F 平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE

20证明：（Ⅰ）∵ACB90，∴BCAC．

∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，∴BCCC1．

∵AC

CC1C，∴BC平面ACC1A1．

∵AC平面ACC1A1，∴BCAC1，1∵BC∥B1C1，∥则B1C1AC1．在RtABC中，AB2，BC

1，∴AC

∵AAACC1A1为正方形． 1∴ACAC1． ∵B1C11

平面AB1C1．

AC1C1，∴AC1

（Ⅱ）当点E为棱AB的中点时，DE//平面AB1C1．证明如下：

如图，取BB1的中点F，连EF、FD、DE，∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，∴EF∥AB1∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1．同理可证FD∥平面AB1C1． ∵EF

FDF，∴平面EFD∥平面AB1C1．∵DE平面EFD，∴DE∥平面AB1C1．

21.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.3分

又AEAF(01),ACAD

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF平面ACD=EF

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴BD

A

B

F

D

2,AB2tan606,11分

AC

ACAB2BC27,由AB=AE·AC 得AE6,AE6,13分

故当

时，平面BEF⊥平面ACD.14分 7

第五篇：数学选修2-2_推理与证明例题1

知识要点分析：

1.推理

根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论.2.合情推理：

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

3.演绎推理：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

4.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。综合法的思维特点是：由因导果

5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。分析法的思维特点是：执果索因

6.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。可能出现矛盾的四种情况：①与题设矛盾；②与假设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

7.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基（或递推基础），第二步是归纳递推（或归纳假设），两步缺一不可

8.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

【典型例题】

考点一：归纳推理

例

1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

33sin230sin290sin21502；2；

33sin245sin2105sin2165sin260sin2120sin21802；2 sin215sin275sin2135

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”

【解析】猜想：sin2(60)sin2sin2(60)

3222证明：左边=(sincos60cossin60)sin(sincos60cossin60)33(sin2cos2)2=右边 =

2【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

考点二：类比推理

例

2、观察下列等式：15C5C5232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1591317C17C17C17C17C1721527，„„„

由以上等式推测到一个一般性的结论：

*对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1

4n12n1212答案： n1594n

1【解析】这是一种需用类比推理方法破解的问题，结论由二项式构成，第二项前有1n，二项指数分别为

24n14n1,22n1，因此对于nN*，4n14n14n12n1212。nCC

54n1C9

4n1C

反思：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

考点三：演绎推理

例3.证明函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.证明：满足对于任意x1，x2∈D，若x1

因为x10

因为x1，x2<1所以x1+x2－2<0

因此f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

所以函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.考点四：综合法

例

4、对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，)(1；总有f(x)0；②f1③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

成立，则称函数f(x)为理想函数.（1）若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

（2）判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；

【解析】（1）取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0.又由条件①f(0)0，故f(0)0.xg(x)21在[0，1]内满足条件①g(x)0；（2）显然

也满足条件②g(1)1.若x10，x20，x1x21，则 x

g(x1x2)[g(x1)g(x2)]2x1x21[(2x11)(2x21)]

2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件③，故g(x)为理想函数.【反思】要证明函数g(x)21（x[0,1]）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。

考点五：反证法 x

例

5、已知，a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于4。

11111ab1bc1ca4，4，4 证法一：假设三式同时大于4，即

11ab1bc1caa,b,c0,1，三式同向相乘得64，又

1aa1111bb1cc1aa24，同理4，4 

11ab1bc1ca64，这与假设矛盾，故原命题得证。

2证法二：假设三式同时大于4，0a11a0，1,22 1bc1,1ca1,3322三式相加得22，这是矛盾的，故假设错误，22同理1a

b

所以原命题得证

点评：“不能同时大于4”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则

反

（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。

与公理矛盾与题设矛盾

（2）用反证法的步骤是：①否定结论ABC②而C不合理与假设自相矛盾

③因此结论不能否定，结论成立。

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

考点六：数学归纳法

3aa0,aca1c,nN*，其中c为实数。n1n1n例

6、设数列满足

求证：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1]； *

证明：必要性：∵a10,∴a21c，又 ∵a2[0,1],∴01c1，即c[0,1]

充分性：设c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1] *

当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0 3

3∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

反思：数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标、完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

【本讲涉及的数学思想、方法】

推理在高考中刻意去考查的虽然很少，但实际上对推理的考查却无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。