求二次函数解析式的四种方法

第一篇：求二次函数解析式的四种方法

新才教育--王慧敏--专题讲解（授课教师：解老师）

求二次函数解析式的四种基本方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。4.对称点式： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：

例

1、已知二次函数的图象经过点(1,5),(0,4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)abc5a2依题意得：c4 解这个方程组得：b3

abc1c4∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。

例

2、已知抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，最好抛开题目给出的yax222bxc，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。

2解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点(0,3)。

咨询热线：2306086

新才教育--王慧敏--专题讲解（授课教师：解老师）

∴a(0－4)2－1=3 ∴a=∴这个二次函数的解析式为y=

1414

(x－4)2－1，即y=

14x2－2x+3。

例

3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。2

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)

例

4、已知函数y=x2+kx－3（k>0),图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。

变式练习，创新发现

1、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，与y轴交于点(0,5)，求这条抛物线的解析式。

yaxbxc2922、已知二次函数 的图象的顶点为（1，），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。

24、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。

5、已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式

26、已知二次函数y(m1)x2mx(3m2)(m≠1)的最大值是零，求此函数的解析式。

7.已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。

9、已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

5、咨询热线：2306086

第二篇：求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数解析式

靖和中心学校 王军

一、教学目标

知识目标：通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

能力目标：能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。情感价值观 ：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

二、教学重难点

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题

三、教学方法：探究法、引导法、归纳法、讲解法

四、教学教具准备：三角板、课件

五、教学时间：1课时

六、教学过程

（一）温故而知新 问题一：（课件展示）

问题二：（课件展示）问题三：（课件展示）

先让学生看教材问题2，让学生知道在解决实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数关系式。在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件，确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件，在确立正比例函数的解析式时，也只要一个条件就行了，下面我们来探讨，要确定二次函数的解析式，需要几个条件？ 归纳总结：二次函数常见的几种表达方式：

(二)例题讲解

例1、已知二次函数的图象过A（0，-3），B（4，5），C（-1，0）三点，求这个二次函数解析式。（设为三点式可解）

小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。变式训练：

1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（-1,0），（3,0）三点，求这个函数的解析式？

2、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？

例

2、已知抛物线的顶点为（1，-4），且与y轴交于点（0，-3）；求这个二次函数解析式。（设为顶点式可解）

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。

例

3、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 小结： 已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2 为两交点的横坐标。变式训练：（课件展示）达标检测：（课件展示）

1、由学生小组讨论，合作交流自己完成。

2、同时，让学生演算，尝试完成。

3、老师点拨。

讨论：某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶． 它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？（1）学生建立坐标系，解答。（2）让学生说一说如何解答的？（3）观察那些方法较为简单？（4）总结应用型函数的解答思路。

（三）课堂小结

1、二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：_______________(a≠0)（2）顶点式：_______________(a≠0)（3）两根式：_______________(a≠0)

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式：

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

（2）当已知抛物线的顶点坐标（或能求出顶点坐标）、对称轴、最值等与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（h、k分别是顶点的横坐标与纵坐标）（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。（其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）

七、作业布置：（见课件）【课后反思】：

第三篇：顶点式法求二次函数解析式[最终版]

顶点式法求二次函数解析式

①二次函数y=ax+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)+k，顶点是(h,k)2

b24acb2）+,2a4abbb4acb24acb2对称轴是x=，顶点坐标是（，）, h=-，k=, 所以，我们2a2a2a4a4a配方: y=ax+bx+c=___________=_______________=______________＝（x+2把y=a(x-h)+k叫做二次函数的顶点式

②已知二次函数图象的顶点坐标（h，k）或者对称轴方程x=h或者最大值k，最小值k，当

2然还要知道抛物线上的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)+k(a≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a的值，最后写出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a的值或h或k的值。

例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式 解：设所求的二次函数为 y=a〔x-（-1）〕-3=a（x+1）-3，由条件得：点(0,-5)在抛物线上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)-3，即：y=－2x-4x－5

例：已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式

解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（1，2），所以可设二次函数的解析式为22y=a(x-1)+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)+2，得a=-2，故所求二次函数的22解析式为：y=-2(x-1)+2，即：y=-2x+4x

例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

22解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a（x-0）+0，即y=ax，桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25ah, 解得

100ah3.1a,12抛物线的解析式为y=-x.2525h1.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.练一练：

①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式

②二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式

③已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式

④已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式

⑤已知二次函数的图象经过原点，且当x=3时，有最小值-4，求这个二次函数的解析式

⑥已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8

⑦已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式

第四篇：二次函数解析式专项练习

二次函数解析式专项练习

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标

两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式yax2bxc，然后解三元方程组求解；

例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式yaxhk求解。2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式ya(xx1)(xx2)。

例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

综合练习：

1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

第五篇：二次函数的四种形式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：

(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).