函数解析式的七种求法

第一篇：函数解析式的七种求法

函 数 第二讲 解 析 式 的 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知f(x11)x22(x0)，求 f(x)的解析式 xx

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知f(x1)x2x，求f(x1)

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

例5 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1x1,试求f(x)和g(x)的解析式 x

1六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例6 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

第二篇：函数解析式求法总结及练习题

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例

1设解：设

则

xx22xx42，解得：，点M(x,y)在yg(x)上，yxx． yyy6y32f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)．

把xx42代入得：6y(x4)(x4)．

y6yyx27x6，g(x)x27x6． f(x)axb(a0)，则 f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb2整理得

a2a4，a2　或 ． b3b1abb

3五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得

函数解析式．

f(x)2x1 或 f(x)2x3．

二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域． 时，常用配凑法．但要注意所求函数

1f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)．

x11解 f(x)2f()x

①

显然x0,将x换成xxx2解① ②联立的方程组，得：f(x)．

33x例

5设例6 设，得：

11f()2f(x)

②

xx11f(x)x22(x0)，求 f(x)的解析式． xx11122解：f(x)(x)2，x2，f(x)x

2(x2)．

xxx例2

已知

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例

3已知解：令t1,试求f(x)和g(x)的解析式 x11解 f(x)f(x),g(x)g(x)，又f(x)g(x) ①，用x替换x得：

x111

1f(x)g(x)，即f(x)g(x)②，解① ②联立的方程组，得f(x)1，g(x)22x1x1xxx11小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换

xf(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题

具体化、简单化，从而求得解析式．

例7

已知：f(x1)x2x，求f(x1)．

x1，则t1，x(t1)2 ．

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)．

f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，f(x1)x2x，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)，f(x1)(x1)21x22x(x0)．

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数

解对于任意实数x、y，等式

不妨令x再令

0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1．

yx 得函数解析式为：f(x)x2x1．

yx2x与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式．

例5：已知

f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),求f(x)。

解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点．

解析：令a0,则

f(b)f(0)b(1b)b2b

1令bx

则f(x)x2x1

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条

件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 例8

设求

8．（1）若

（五）．特殊值代入法

9．若

f(x)f(x1)1x,求f(x).（2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).xf(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的N a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，f(x)

f(xy)f(x)f(y),且

f(1)2，求值 解f(a)f(b)f(ab)ab，a,bNf(x)f(1)f(x1)x，不妨令

ax,b1，得：

f(2)f(3)f(4)f(2005).f(1)f(2)f(3)f(2004)

10．已知：

（六）．利用给定的特性求解析式.11．设 又f(1)1,故f(x1)f(x)x

1①

n(n1)，2令①式中的x＝1，2，„，n－1得：f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，，f(n)f(n1)n 将上述各式相加得：



三、练习

（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2．若

（二）．配变量法3．已知

（三）．待定系数法5．设求

6．设二次函数

f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

f(n)f(1)23n，f(n)123nf(x)121xx,xN 22f(x)是偶函数,当x＞0时, f(x)ex2ex,求当x＜0时，f(x)的表达式.1xf()x1x,求

f(x).12．对x∈R，达式.例

6、已知函数11f(x)x22xxf(x)满足f(x)f(x1),且当x∈[－1,0]时, f(x)x22x求当x∈[9,10]时f(x)的表, 求

f(x)的解析式.4．若f(x1)x2x,求f(x).f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2，f(x)对于一切实数x,y都有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0。(1)求f(0)f(x)与g(x).的值；(2)求

f(x)的解析式。

f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.（四）．解方程组法 7．设函数求

1f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式3f(x)2f()4x,x f(x)的解析式.练习

求函数的解析式

例1．已知f(x)= x22x，求f(x1)的解析式．（代入法 / 拼凑法）

变式1．已知f(x)= 2x1，求f(x2)的解析式．

变式2．已知f(x+1)＝x22x3，求f(x)的解析式．

例2．若f [ f(x)]＝4x＋3，求一次函数f(x)的解析式．（待定系数法）

变式1．已知f(x)是二次函数，且fx1fx12x24x4，求f(x)．

例3．已知f(x)2 f(－x)＝x，求函数f(x)的解析式．

（消去法/ 方程组法）

变式1．已知2 f(x) f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式．

变式2．已知2 f(x)f 1x＝3x，求函数f(x)的解析式．

例4．设对任意数x，y均有fxy2fyx22xyy23x3y，求f（x）的解析式．（赋值法 / 特殊值法）

变式1．已知对一切x，y∈R，fxyfx2xy1y都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式．

第三篇：几种典型函数解析式的求法集合

函数的解析式的求法

一． 换元法

题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若f（1x)x

1x,求f(x).二．配变量法

题2．已知f(x1

x)x21

x2, 求f(x)的解析式.练习2．若f(x1)x2x,求f(x).三．待定系数法

题3．设f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2,求f(x)与g(x).练习3．设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.四．解方程组法

题4．设函数f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

13f(x)2f()4x,求f(x)的解析式.x

x1)1x,求f(x).练习4．若f(x)f(x

五．特殊值代入法

题5．对于一切实数x,y有f(xy)f(x)(2xy1)x都成立，且f(0)1.求f(x).f(x)1练习5．设f(x)是定义在N上的函数,且f(1)2,f(x1)，求f(x)的2解析式.练习

1．设f(x)是定义在N上的函数,若f(1)1,且对任意的x,y都有：

1f(x)f(y)f(xy)xy, 求f(x).(f(x)(x21))22、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

3、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+74、已知f(x+1)=x+2x，求f(x)的解析式

5、已知f(x-1)= x2-4x，解方程f(x+1)=06、已知f(x+1)= x2+1，求f(x)解析式。

7、设函数F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x2的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F（x)的解析式。

8、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

9、设f(x)=2x2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f [g(2)].10． 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x6，求f(x)．

（f(x)2x2或f(x)2x6）

11． 若f(1)x

x1x,求f(x)．（f(x)1

x1）

12．若f(x1

x)x21

x2，求f(x)．（f(x)x22）

13．若f(1

x)2f(x)x,求f(x)．(f(x)2x21

3x)

14．若f(3x2)x2x，求f(2)．（f(2)＝4

9）

15．已知f(x)3f(x)2x6,求f(x)．（f(x)1

2x3）

第四篇：二次函数的几种解析式及求法教学设计

二次函数的几种解析式及求法教学设计

福泉一中：齐庆方

一、指导思想与理论依据

（一）指导思想：本次课的教学设计以新课程标准关于数学教学的核心理念为基本遵循，坚持以教师为主导，以学生为主体，以培养能力为基准，采取符合学生学习特点的多样式的学习方法，通过教学内容和教学过程的实施，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．

（二）理论依据：本次课的教学设计以新课程标准关于数学教育的理论为基本依据，主要把握了两个方面的理论：

1、新课程标准关于数学整体性的理论．教学中注意沟通各部分之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．

2、新课程标准关于教师教学的理论．教师应该更加关注：1）科学的基本态度之一是疑问，科学的基本精神之一是批判．要注意培养学生科学的质疑态度和批判性的思维习惯；2）提出问题是数学学习的重要组成部分，更是数学创新的出发点．要注意培养学生提出问题的能力；3）在教学中更加关注学生知识的储备、能力水平、思维水平等；4）关注学生的学习态度、学习方法、学习习惯，在思维的最近发展区设计教学内容．

二、教学背景分析

（一）学习内容分析

“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，初中阶段要求学生初步学会用待定系数法求函数解析式；因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用．另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用．

（二）学生情况分析

对于初三学生来说，在学习一次函数的时候，学生对于用待定系数法求函数解析式的方法已经有所认识，他们已经积累了一定的学习经验．在学习完一次函数后继续学习用待定系数法求函数解析式，学生已经具备了更多的函数知识，同时，初三的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中，学生还会继续运用待定系数法解决相关问题．新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求，在教学中还有待加强相应能力的培养．

（三）教学方式与教学手段、技术准备以及前期的教学状况、问题、对策说明

针对这节课的特点，本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法．

为了在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，我设计了环环相扣的问题，将探究活动层层深入，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历知识形成的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题．围绕本节课所学知识，我设置具有挑战性的开放型问题，采用让学生多角度地自己给出合适的已知条件，并自己解决问题的教学模式，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力．

初三的学生虽然已经具备了一定的数学基础，但他们还缺乏体验数学发现和创造的历程，缺乏对知识的更加深刻的认识和理解．在这节课的课堂教学过程中，我通过精心设计问题情境，鼓励学生积极参与数学活动，通过课上积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化和顺应，深化思维，使学生既有参与的机会，又有拓展、探索的余地，在获得必要发展的前提下，不同的学生能获得不同的体验．

通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法． 教学目的：

1、理解求二次函数解析式的方法及步骤；掌握二次函数解析式的三种形。

2、通过复习归纳，使学生经历结合所给条件灵活选择二次函数解析式的形式，达到简便运算，提高学生分析、探索、归纳、概括的能力。

3、让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。教学重难点：

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题。教学过程

（一）引入新课

函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件，确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件，在确立正比例函数的解析式时，也只要一个条件就行了，下面我们来探讨，要确定二次函数的解析式，需要几个条件？

（二）进行新课 例

1、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(-1,0），B(3，0)，并且过点C(0,-3)，求抛物线的解析式？

解法一：，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

解法二： 已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为两交点的横坐标。

例

2、已知抛物线的顶点在(5,-1),且与x轴两交点的距离为6,求此二次函数的解析式。

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。难点，抛物线与x轴的两个交点坐标。

（三）体现自我

1、由学生分组讨论，合作交流自己完成。

2、同时，让学生演板，尝试完成。

3、教师与学生一起进行点拨。

（四）小试牛刀

１、已知抛物线过（-3,0）和（1,0）两点，与y轴的交点为（0,4），求抛物线的解析式。

3、已知抛物线经过（1,0）和（0,12）两点，其顶点的纵坐标是4，求抛物线的解析式。

点拨：让学生思考每道题只有一种方法吗？不同的方法看哪种更简单。

（五）知识应用

若二次函数y=x2-2x+c的图象经过点（1，2），求这个二次函数的关系式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标。

点拨：（1）学生建立坐标系，解答。（2）让学生说一说如何解答的？（3）观察那些方法较为简单？（4）总结应用型函数的解答思路。

（六）总结

1、二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：_______________。(a≠0)（2）顶点式：_______________。(a≠0)（3）两根式：_______________。(a≠0)

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式：

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点坐标（或能求出顶点坐标）、对称轴、最值等与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（h、k分别是顶点的横坐标与纵坐标）

（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。（其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）

3、求二次函数解析式的思想方法 待定系数法、配方法、数形结合等 教学反思：

1、求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式在黔南州中考压轴中题固定出现，更是联系高中数学的重要纽带。在求函数的解析式时，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐，甚至解不出题来。在初中阶段，主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识。其中，学生在学习二次函数的解析式时感到比较困难。

2、教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件。在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识。在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获。

第五篇：二次函数解析式求法的教学反思.doc.

二次函数解析式求法的教学反思

郭利强

求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容,而在初中阶段主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。本人在初三数学教学工作中发现，要使每位学生都能掌握求函数解析式，这不是一件容易解决的问题。

曾听过这样的一个比喻，说“教师就象用以识别地图的图例”。教师必须解释教学过程中不同阶段出现的标志，使学生不断地追求、探索和获得。细究起来，它包涵着深层的含义：教师必须不断丰富自己的内涵、增强自己的业务技能，才能适应教学中时刻变化的新情况，才能照亮学生成长之路中的每一个标志。教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围及一般应已知的条件。在信息社会飞速发展的今天，我们教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来。《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长。