顶点式法求二次函数解析式[最终版]

第一篇：顶点式法求二次函数解析式[最终版]

顶点式法求二次函数解析式

①二次函数y=ax+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)+k，顶点是(h,k)2

b24acb2）+,2a4abbb4acb24acb2对称轴是x=，顶点坐标是（，）, h=-，k=, 所以，我们2a2a2a4a4a配方: y=ax+bx+c=___________=_______________=______________＝（x+2把y=a(x-h)+k叫做二次函数的顶点式

②已知二次函数图象的顶点坐标（h，k）或者对称轴方程x=h或者最大值k，最小值k，当

2然还要知道抛物线上的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)+k(a≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a的值，最后写出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a的值或h或k的值。

例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式 解：设所求的二次函数为 y=a〔x-（-1）〕-3=a（x+1）-3，由条件得：点(0,-5)在抛物线上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)-3，即：y=－2x-4x－5

例：已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式

解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（1，2），所以可设二次函数的解析式为22y=a(x-1)+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a(3-1)+2，得a=-2，故所求二次函数的22解析式为：y=-2(x-1)+2，即：y=-2x+4x

例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

22解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a（x-0）+0，即y=ax，桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25ah, 解得

100ah3.1a,12抛物线的解析式为y=-x.2525h1.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.练一练：

①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式

②二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式

③已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式

④已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式

⑤已知二次函数的图象经过原点，且当x=3时，有最小值-4，求这个二次函数的解析式

⑥已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8

⑦已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式

第二篇：求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数解析式

靖和中心学校 王军

一、教学目标

知识目标：通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

能力目标：能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。情感价值观 ：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

二、教学重难点

重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题

三、教学方法：探究法、引导法、归纳法、讲解法

四、教学教具准备：三角板、课件

五、教学时间：1课时

六、教学过程

（一）温故而知新 问题一：（课件展示）

问题二：（课件展示）问题三：（课件展示）

先让学生看教材问题2，让学生知道在解决实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数关系式。在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件，确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件，在确立正比例函数的解析式时，也只要一个条件就行了，下面我们来探讨，要确定二次函数的解析式，需要几个条件？ 归纳总结：二次函数常见的几种表达方式：

(二)例题讲解

例1、已知二次函数的图象过A（0，-3），B（4，5），C（-1，0）三点，求这个二次函数解析式。（设为三点式可解）

小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。变式训练：

1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（-1,0），（3,0）三点，求这个函数的解析式？

2、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？

例

2、已知抛物线的顶点为（1，-4），且与y轴交于点（0，-3）；求这个二次函数解析式。（设为顶点式可解）

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。

例

3、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 小结： 已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2 为两交点的横坐标。变式训练：（课件展示）达标检测：（课件展示）

1、由学生小组讨论，合作交流自己完成。

2、同时，让学生演算，尝试完成。

3、老师点拨。

讨论：某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶． 它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？（1）学生建立坐标系，解答。（2）让学生说一说如何解答的？（3）观察那些方法较为简单？（4）总结应用型函数的解答思路。

（三）课堂小结

1、二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：_______________(a≠0)（2）顶点式：_______________(a≠0)（3）两根式：_______________(a≠0)

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式：

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

（2）当已知抛物线的顶点坐标（或能求出顶点坐标）、对称轴、最值等与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（h、k分别是顶点的横坐标与纵坐标）（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。（其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）

七、作业布置：（见课件）【课后反思】：

第三篇：求二次函数解析式的四种方法

新才教育--王慧敏--专题讲解（授课教师：解老师）

求二次函数解析式的四种基本方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。4.对称点式： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：

例

1、已知二次函数的图象经过点(1,5),(0,4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)abc5a2依题意得：c4 解这个方程组得：b3

abc1c4∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。

例

2、已知抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，最好抛开题目给出的yax222bxc，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。

2解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点(0,3)。

咨询热线：2306086

新才教育--王慧敏--专题讲解（授课教师：解老师）

∴a(0－4)2－1=3 ∴a=∴这个二次函数的解析式为y=

1414

(x－4)2－1，即y=

14x2－2x+3。

例

3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。2

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)

例

4、已知函数y=x2+kx－3（k>0),图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。

变式练习，创新发现

1、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，与y轴交于点(0,5)，求这条抛物线的解析式。

yaxbxc2922、已知二次函数 的图象的顶点为（1，），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。

24、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。

5、已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式

26、已知二次函数y(m1)x2mx(3m2)(m≠1)的最大值是零，求此函数的解析式。

7.已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。

9、已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

5、咨询热线：2306086

第四篇：二次函数解析式专项练习

二次函数解析式专项练习

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标

两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式yax2bxc，然后解三元方程组求解；

例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式yaxhk求解。2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式ya(xx1)(xx2)。

例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

综合练习：

1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

第五篇：二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例

二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例

二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学案例二次函数的图象是研究二次函数的重要工具把握好二次函数图象的特点对称轴、开口方向、顶点坐标对研究二次函数的性质和解决实际问题帮助很大而对于一般式二次函数的图像与性质常利用配方法将函数关系式化为、为常数形式再进行研究。在教学过程中存在如下问题。

一、设计方面学生拿到学案后做了复习引入第2题后就束手无策后面的题目不知用什么方法解决了后经老师提示对于一般式的二次函数要用配方法化成顶点式学生才有点头绪学案在复习引入部分可以加以提示讲评。

二、典型错误复习引入

3、二次函数的图像也是抛物线你能写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标吗错解剖析学生把用配方法解一元二次方程和用配方法把二次函数配成顶点式混淆从错解中可知学生对配方法的思想还是很清楚的因此我利用他们对配方法的认识分别讲了下面两种方法供学生参考学生通过对比都能顺利的找到方法进行配方。

三、反思过程、剖析教法、发展自己。经过反思我发现我犯了以下几个错误

一、备课的时候我自以为按经验办事一定错不了但却没有意识到单纯靠经验即便是多年的教学经验也不能够准确地把握我所面临的教学现象首先学生本身已经发生了极大的变化无论是知识背景数学活动经验还是认知手段都与原来旧版教材时的学生有很大的不同现在的学生是在自主学习探究为主导的环境下成长起来的他们需要的不是简单的死记硬背而是建立在本身知识体系上的理解和掌握其次在新课标的环境下学习数学的意义也在发生变化学生不应该为了升学或考试而学习数学而教师也应该把数学当作是一种与生活息息相关的技能来进行教学尤其是一些重要的数学方法如配方法。若像我现在这样把一个重要的数学方法让学生死记硬背学生以后做配方法这种题目时可能得到满分。但若遇到这种题目的变式时他们将不能融会贯通永远不理解配方法的知识根源。

二、在讲课的时候我自以为学生做的不错已经掌握但是却没有想到学生只是在机械的记忆没有在理解的层面上掌握新知识自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平。并没有从根本上解决学生存在的问题只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决问题。尽管学生当时作对了却并不真正的理解问题的本质性的东西如完全平方式的概念完全平方公式的构成恒等式的变形等等。由于我没有在学生原有的知识水平和经验的基础上帮助他们进行构建配方思想并引导学生注意新知识中的某些关键点因此使得学生的思维过程无法连续进行新知识的联系不牢固表面上看是掌握了配方其实他们还是没有真正理解配方的内容。反思整个教学环节这恐怕在平时教学中是一个经常出现的问题难怪学生总是觉得数学难学。

三、培优扶困方面当学生问问题的时候我只是完成任务似的把他的问题解决并没有去了解他的问题出在哪里没有有针对性的解决学生的问题而且在讲解中我没有发挥他的主观能动性没有给足够的时间让学生进行思考无开展合作交流学习一切都自己包办。看上去好像题目解出来了实际上这是重复课堂上原本不恰当的讲解这不仅不能解决学生的根本问题时间久了还会造成他们对教师的依赖和对学数学的倦怠和反感。总之通过本次二次函数一般式用“配方法”化成顶点式教学反思在以后的教学中一定要分析学生的情况根据学生具体的知识背景结合新课标的目标认真备教法、备学生再发挥自己的人格魅力想方设法的做到使自己上的课学生爱听听得懂肯学喜欢学。那么我相信数学学习不会再成为学生的负担他们终将会在学习中享受在享受中学习.